Baixe W Granville - Elementos de Clc e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! w. A. GRANVILLE EX-PRESIDENTE DO COLEGIO GETTYSBURG (U.S.A.) P. F. SMITH, W. R. LONGLEY PROFESSORES DE MATEMATICA DA UNIV. YALE (U.S.A.) [ l [ M[ NT0S O[ CAl CUl 0 Dlf[R[NCIAl [ INT[CRAl TRADUZIDO DO INGLES POR J. ABDELHA Y PROFESSOR DA UNIV. DO BRASIL EDITORA CIENTIFICA RIO DE JANEIRO ORIGINAL EM LiNGUA INGLtSA ELEMENTS OF THE DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUS REVISED EDITION by Willian Anthony Granville, Ph. D., LL. D. Formerly President of Gettysburg College Percey F. Smith, Ph. D. and William Raymond Longley, Ph. D. Professors of Mathematics, Yale University Ginn and Company Boston, New York, Chicago, London, Atlanta, Dallas, Columbus, San Francisco COPYRIGHT BY GINN AND COMPANY OF BOSTON Direitos exclusivos da tradu<tao em lingua portuguesa, da Editora Cientifica, Spivak & Kersner Ltda., Rio de Janeiro, Brasil PREFAero DO TRADUTOR Procuramos manter na tradu~o as qualidades que fizeram do texto original um dos livros mais difundidos entre nossos estudantes de matematica. Esperamos, por isto, que 0 nosso trabalho repre- sente um auxilio a mais para 0 estudante brasileiro. Rio de Janeiro, maio de 1961. JOSE ABDELHAY. GOTTFRIED WILHELM LEIBNlTZ INDICE (das materias) CALCULO DIFERENCIAL CAPiTULO I. FORMULARIO 1 Formulas da 8lgebra e geometria elementares, 1. Formulas da tri· gonometria plana, 2. Formulas da geometria analitica plana, 4. For· mulas da geometria analitica do espa~o, 6. Alfabeto grego, 8. CAPiTULO II. VARIAVEIS, FUNQOES E LIMITES 9 Variaveis e constantes, 9. Intervalo de uma variavel, 9. Varia~ao continua, 10. Fun~oes, 10. Variaveis dependentes e independentes, 10. Nota~ao de fun~oes, H. Impossibilidade da divisao por zero, H. Grafico de uma fun~ao; continuidade, 12. Limite de uma va· riavel, 13. Limite de uma fun~ii.o, 14. Teoremas sobre limites, 14. Fun~oes continuas e descontinuas, 15. Infinito, 16. Infinitesimo, 20. Teoremas relativos a infinitesimos e .limites, 20. CAPiTULO III. DERIVAQAO 23 Introdu~ii.o, 23. Acrescimos, 23. Compara~lio de.acrescimos, 24. Deri- vada de uma fun~lio de uma variavel, 25. Simbolos para as deriva· das, 26. Fun~oes derivaveis, 28. Regra geral de deriva~ao, 28. In- terpreta~ao geometrica da derivada, 31. CAPiTtJLO IV. REGRAS DE DERIVAQAO 34 Formulas de derivagao, 34. Derivada de uma constante, 35. Derivada de uma variavel em rela~ao a si propria, 35. Deriva~lio de uma soma, 36. Derivada do produto de uma constante por uma fun~ao, 37. De· riva~ii.o do produto de duas fun~oes, 37. Derivada do produto de n fun~oes, sendo n fixo, 38. Deriva~o de uma fun~ao com expoente constante, 39. Deriva~o de um quociente, 39. Deriva~lio de uma fun~o de fun~o, 45. Derivagao da fun~ao inversa, 46. Fun~oes implicitas, 48. Derivac;lio das fungoes implicitas, 48. CAP!TULO V. VARIAS APLICAQOES DAS DERIVADAS 51 Direglio de uma curva, 51. Equa~oes da tangente e normal; subtan· gente e subnormal, 53. Maximo e minima de uma fun~ao, introdugao, 57. Fun~oes crescentes e decrescentes, 61. Maximo e minimo de uma fun~ao, defini~oes, 62. Primeiro metodo para 0 exame de uma fungao no que concerne a maximos e minimos, 64. Maximo e minimo quando f'(x) e infinita, 66. Aplicagoes dos maximos e minimos, 69. Deri- vada como velocidade de varia~ao, 77. Velocidade num movimento I'etilineo, 79. CAPiTULO VI. DERIVAQAO SUCESSIVA E APLICAQOES 89 Definigao de derivadas sucessivas, 89. Derivagao sucessiva das fun- goes implicitas, 90. Concavidade de uma curva, 92. Segundo metodo para 0 exame de maximos e minimos, 92. Pontos de inflexao, 96. Tra- ~ado de curvas, 98. Aceleragao num movimento retilineo, 101. IX XlI INDICE CAPiTULO XXI. EQUAQOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS . Equa!ioes diferenciais, ordem e gran, 475. Solu!iOes, constantes de integra!i8.o, 476. Equa!ioes diferenciais de primeira ordem, 479. Dois tipos especiais de equ~oes diferenciais de ordem mais elevada. Equa!i8.o linear de segunda ordem com coeficientes constantes, 493. Aplica~esl lei dos juros compostos, 505. Aplic~oes a problemas da mecamca, 509. Equ~oes lineares de n-egesima ordem com coeficientes consta.ntes, 516. CAPiTULO XXII. FUNQOES HIPERB6LICAS . Seno e cosseno hiperMlicos, 524. Outras fuu!ioes hiperb6licas, 525. Tabela de valores do seno, cosseno e tangente hiperMlicos. Gra- ficos, 526. Fun~es hiperMlicas de v + W, 528. Derivadas, 531. Rela!ioes com a hiperbole equillitera, 531. Fun!ioes hiperMlicas in- versas, 535. Derivadas (continu~8.o), 537. Linha telegrafica, 540. Integrais, 540. Integrais (continn~iio ) ,546. A gudermaniana, 549. Carta de Mercator, 553. Rel~oes entre fuu!ioes trigonome- tricas e fun~ hiperMlicas, 556. CAPiTuLO XXITI. DERIVAQAO PARCIAL . Fun!ioes de diveraas variaveis, continuidade, 561.. Derivadas par- ciais, 563. Interpret~iio geometrica da derivada parcial, 563. Di- ferencial total, 568. Valor aproximado do·acrescimo, pequenos erros, 571. Derivadas totais velocidades, 576. Mudan!ia de variaveis, 578. Deriva!;8.o das fuu!ioes implicitas, 580. Derivadas de ordem mais alta, 586. CAPiTULO XXIV. APLICAQoES DAS DERIVADAS P ARCIAIS ... Envolt6ria de uma familia de curvas, 591. Evoluta de uma curva considerada como envolt6ria de silas normais, 595. Tangente e plano normal a uma curva reversa, 597. Comprimento de arco de uma curva reversa, 600. Reta normal e plano tangente a urna su- pedicie, 603. Interpreta!iao geometrica da diferencial total, 605. Outra forma para as equac;oes da tangente e do plano normal a uma curva reveraa, 609. Lei da Media, 612. MlUimos e minimos para func;oes de vanas variaveis, 613. Teorema de Taylor para func;oes de duas ou mals variaveis, 619. CAPiTULO XXI. INTEGRAlS MuLTIPLAS . Integrac;ao parcial e sucessiva, 623. Integral dupla definida, in- terpreta!iao geometrica, 624. Integral dupla extendida a urna regiao, 630. Area plana como integral definida, coordenadas retangulares, 631. Volume sob uma superficie, 635. Diretrizes para formar uma integral dupla com dadas propriedades, 638. Momento de area e centr6ides, 638. Teorema de Pappus, 638. Centro de pressiio de um fluido, 642. Momento de inercia de uma area, 644. Momento polar de inercia, 647. Coordenadas polares, area plana, 649. Pro- blemas resolvidos com coordenadas polares, 652. Metodo geral para achar a area das superficies curvas, 656. Volume por integra!iao tripla, 662. Volumes com 0 uso de coordenadas cilindricas, 665. CAPiTULO XXVI. CURVAS DE REFER~NCIA . CAPiTULO XXVII. TABELA DE INTEGRAlS . '1DICE 475 524 561 591 623 674 681 701 , CALCULO DIFERENCIAL CAPiTULO I FORMULARIO 1. - FOrIIlulas da algebra eleIIlentar e da geoIIletria. Para a comodidade do leitor, daremos nos § § 1 - 4 as seguintes listas de f6rmulas. Com~aremos pela algebra. (1) EQUA~AO DO SEGUNDO GRAU Az2 + Bx + C = O. SOLUC;Io: 1. - Por fatora~: Fatora-ee 0 primeiro membro e cads. fator igualado a zero fornece uma raiz. 2. - Completando 0 quadrado: Passa-se C para 0 segundo membro, divi- de-se pelo coeficiente de :r?-, acrescenta-se a ambos os membros 0 quadrado da metade do coeficiente de x e extrai-se a raiz. - B ± YB2 - 4 AC 3. - Pela f6rmula x = 2 A • Natureza das raizes. 0 binomio B2_4 AC sob 0 radical da f6r- mula chama-se descriminante. As duas raizes sao reais e desiguais, reais e iguais ou imaginarias, segundo 0 descriminante seja posi- tivo, zero ou negativo, respectivamente. (2) LOGARITMOS log ab = log a + log b. a log b = log a - log 9. log aft = n log a. _fir 1 log v a = - log a. n log 1 = O. log. a = 1. 2 FORMULA-RIO CAP. I (3) F6RMULA DO BINOMIO (sendo n um inteiro positivo) n(n- 1) n(n-1) (n-2) (a+b)n=an+nan-1b + ~ an-2b2 + !l an-3b3 + .... + n(n-1) (n-2) ... (n-r+2) n--r+lb......1 +Ir-1 a .... (4) NUMEROS FATORIAIS. n! = In = 1.2.3.4 ... (n - 1) n. N as f6rmulas seguintes, da geometria elementar, r ou R indica raio, a, altura, B, area da base e s, geratriz. (5) CiRcuLO. Comprimento da circunferencia = 2 1rr. Area = 1rr2• (6) SETOR CIRCULAR. Area ~ r2a, onde a = lingulo centrico do setor medido em radianos. (7) PRISMA. Volume = Ba. (8) PlRAMIDE. Volume = ~ Ba. (9) CILINDRO CIRCULAR RETO. Volume = 1rr2a. Area lat~ ral = 21rra. Area total = 21rr (r + a). (10) CONE CIRCULAR RETO. Volume = ~ 1rr2a. Area lat~ ral = 1rrs. Area total = 1rr (r + 8). (11) ESFERA. Volume = f 1rr. Area da superficie = 41rr2• (12) TRONCO DE CONE CIRCULAR RETO. Volume = = ~ 1ra (R2 + r 2+ Rr). Area lateral = 1rS (R + r). 2. - Formulas da trigonometria. Muitas das seguintes serio llsadas. (1) MEDIDA DE ANGULOS. Ha. duas unidades muito uaadas. Grau. ~ a medida de um lingulo que aubtende um areo igual 1 d . nf A • a 360 a Cll'Cll erenCla. Radiano. E a medida de um lingulo que subtende urn area cujo comprimento e igual ao do raio do arco. § 3 :r6RMULAS DA GEOMETRIA ANALfTICA PLANA 5 Coejiciente angular de PI P 2 Ponto media (2) ANGULO DE DUAS RETAS YI - Y2m = ...;;..;..--=-- Para retas paralelas, ml = m2; para retas perpendiculares (ml m2 = - 1) (3) EQUA90ES DA RETA: Normal., Y - YI = m (x - Xl) Y = mx + b. Por dois pontos. Y - Yl X - Xl &gmentdria. (4) DISTANCIA DA RETA Ax + By + C = 0 a PI (Xl, Yl) d = AXI + BYI + C v!A'2+B2 (5) RELA90ES ENTRE COORDENADAS RETANGULARES E POLARE X = p cos 8, Y = P sen 8, p = v'x2 + y 2, 8 = arc tg.1L . x (6) EQUA9AO DA CIRCUNFEF.:~JNCIA Centro (h, k). (7) EQUA90ES DA PARABOLA Vertice na origem. y 2 = 2 px, x 2 =r,2 PY, foco (~ p, 0). foco (0, ~ p). Vertice (h, k). (y - k)2 = 2 p (x - h), eixo Y = k. (x - h)2 = 2 p(y - k), eixo X = h. Eixo, eixo dos yy. Y = Ax 2 + C. 6 FORMULARIO CAP. I (8) EQUA90ES DE OUTRAS CURVAS Elipse com centro na origem e Jocos no eixo dos xx (a > b). Hipbbole com centro na origem e Jocos no eixo dos xx. x2 y2 -2--'-=1. a b2 H ipbbole equilatera com centro na origem e com os eixos coordenados por assintotas. xy = C. Veja tambem 0 Capitulo X.xVI. 4. ForInulas da geoInetria analitica do espa~o. Serao dOOas algumas das mais importantes. (2) LINHA RETA Cossenos diretores: cos a, cos (3, cos 'Y. Parametros diretores: a, b, c. Entao cos a cos (3. cos 'Y --=--=--. abc COS2a + cos2 (3 + cos2 'Y = 1. a cosa = --;===== ± va2 + b2 + c2 ' c cos'Y = ---;====== ± va2 + b2 + c2 FORMULAS DA GEO~:lETRIA ANAL. DO ESPAQO 7 cos a cos {3 Y2 - YI (3) DUAs RETAS Cossenos diretores: cos a, cos {3, cos 1'; cos a', cos {3', cos 1". Parametros diretores: a, b, c; a', b', e'. Se () = angulo das duas retas, cos () = cos a cos a' + cos {3 cos {j' + cos I' cos 1" , e'b'a' aa' + bb' + ee' cos () = ----;;=======----;:====:== va2+ b2+ e2 va'2 + b'2 + e'2 abc -=-=-Retas paralelas. Retas perpendiculares. aa' + bb' + ce' = O. (4) EQUAQOES DA RETA C,OM PARAMETROS DIRETORES, a, b, c, PASSANDO POR (Xl' YI, Zl) X - Xl a Y - ?h b Z - Zl= ----. c (6) PLANO. Dado a plano Ax + By + Cz + D = 0, as coefi- dentes A, B, C, sao as parametros diretores de uma reta perpendi- cular ao plano. Equar;iio de um plano passando por (Xl, YI, Zl) e perpendicular Ii ref.o, de parametros diretores A, B, C. (6) Dors PLANOS Equayoes: Ax + By + Cz + D = 0, A'x + B'y + C'z + D' = O. Parametros diretores da reta interse9ao: BC' - CB', CA' - AC', AB' - BA'. 10 VARIAVEIS, FUNgOES E LIMITES CAP. II 8. - Varia~ao continua. Diz-se que uma variavel x varia contlnuamente num intervalo [a, b) quando x <:resee do valor a para ovaloI' b de tal modo a tomar todos os valores compreendidos entre a e b na ordem de suas grandezas, ou quando x deeresee de x = b para x = a tomando sucessivamente todos os valores intermediarios. Isto pode ser ilustrado geometricamente pelo diagrama abaixo. Sobre a reta em que se fixou uma origem 0, marquemos os pon- tos A e B correspondentes respectivamente aos mlmeros a e b. Mar- quemos tambem 0 ponto P cor- ha x respondente a um valor da va- 0 0 0 riavel x. Evidentemente 0 in- 0 A P B tervalor [a, b) e representado pelo segmento AB. Quando x vana contlnuamente no intervalo [a, b), 0 ponto P descreve 0 segmento AB se x cresce, ou 0 segmento BA se x decresce. 9. - Fun~oes. Quando duas vanaveis estao relacionadas de modo tal que 0 valor da primeira e conhecido quando se da 0 valor da segunda diz-se que a primeira variavel e uma fun~iio da segunda. Praticamente em todos os problemas cientificos intervem gran- dezas e rela<;oes desta especie e na nossa experien cia diaria conti- nuamente encontramos situa<;oes ilustrando a dependencia de uma grandeza da de outra. POI' exemplo 0 peso que urn homem pode levantar depende da sua for9a, a distancia que um garoto percorre depende do tempo gasto no percurso. A area de urn quadrado e fun<;ao do comprimento do lado, 0 volume de uma esfera e fun<;ao do seu diametro. 10. - Variaveis independentes e dependentes. A segunda variavel, a qual se padem atribuir valores arbitnlria".'1lente escolhidos dentre os limites impastos pela natureza particular do problema, diz-se varidvel independente ou argumento. A primeira variavel, aquela cujo valor e detennine-do quando se da 0 valor da variavel independcnte, diz-se variavd de pendente ou funr;ao. Freqi"-cntemente, quando se consideram duas variaveis inter- relacionad3.s, e-nos permitido fixar qual delus e a variavel indepen- dente; feita a e.scoiha, a troea de variavel independente sem outras precau<;oes nao e permitida. POl' exemplo, a area de urn quadrOOo e fun<;ao do lado, e reelprocamente, 0 ludo e fun<;ao da area. S 12 IMPOSSffiILIDADE DA DIVISAO POR ZERO 11 ll. - Nota~ao das fun~oes. 0 sfmbolo f (x) e usado para indicar uma func;ao de x e le-se "1 de x". Para indicar diferentes func;oes, muda-se a primeira letra como em F (x), 1> (x), l' (x), etc. No curso de um problema, um simbolo funcional indica a mesma lei de dependeneia entre a func;ao e a variavel. Nos casos mais sim- ples esta lei toma a forma de uma serie de operac;oes analiticas sobre a variavel. Neste caso, 0 simbolo funcional indicara as mesmas opel'ac;oes ou series de operac;oes aplicadas aos diferentes valores da variavel. Assim, se tem-se Tem-se tambem 1 (x) = x 2 - 9 x + 14, 1 (y) = y2 - 9 y + 14. 1 (b + 1) = (b + 1)2 - 9 (b + 1) + 14 = b2 - 7 b + 6. 1(0) = 02 - 9 . 0 + 14 = 14, j( -1) = (- 1)2 - 9( -1) + 14 = 24, 1 (3) = 32 - 9 . 3 + 14 = - 4. 12. - hnp'lssibilidade da divisao par zero. 0 quociente de dois numeros a e b e urn numero x tal que a = bx. Desta definic;ao resulta que a divisao pOl' zero e impassivel, pois se b = 0, 0 pro- duto de b pOl' um numero qualquer e zero e pOl'tanto nao existe x, se a =;6. 0 e x pode ser um nu.mero qualquer se a = O. As operac;oes a 0 0' 0' sao, pois, impossiveis. Deve-se tel' cuidado nas divisoes. Dividir pOl' zero inadverti- damente conduz a absurdos, como 0 seguinte: Suponhamos Entao Subtraindo b2, Fatorando Dividindo pOl' a - b, Mas, logo ou seja a = b. ab = a2 • ab - b2 = a2 - b2 • b (a - b) = (a + b) (a - b). b=a+b. a = b; b = 2 b. 1 = 2. o absurdo proveio da divisao pOl' a - b = 0 . 12 VARIAVEIS, FUN~ES E LIM:ITFI; CAP. II PROBLEMAS 1. Sendo} (x) = X 3 - 5 x 2 - 4 x + 20, mostre que }(1) = 12, } (5) = 0, } (0) = -2}(3), } (7) = 5j(-I), 2. Sendo } (x) = 4- 2x2 +x4 ache j(0), }(1), j(-I),} (2), j( -2). 3. Senda F (0) = sen 2 0 + cos 0, ache F (0), F ct 11"), } (11"). 4. Sendo} (x) = x 8 - 5 x 2 - 4 x + 20 mostre que } (t + 1) = t 3 - 2 t 2 - 11 t + 12. 5. Sendo} (y) = y2 - 2 y + 6, mostre que } (y + h) = y2 - 2 y + 6 + 2 (y - 1) h'+ hZ, 6. Sendo} (x) = x8 + 3 x, mostre que j (x + h) - j (x) = 3 (x 2 + 1) h + 3 xh2 + h3, 1 h 7. Sendo j (x) = -, mostre que j (x + h)-j (x) = - 2 + h x x x 8. Sendo 1> (z) = 4', mostre que 1> (z + 1) - 1> (z) = 31> (z). 9. Se 1> (x) = a"', mostre que 1> (y) , 1> (z) == 1> (y + z), I-x 10. Sendo 1> (x) = log 1 + x' mostre que 1> (y) + 1> (z) = 1> ( i::z)' 11. Sendo j (x) = sen x, mostre que } (x + 2 h) - } (x) = 2 cos (x + h) sen ho SUGEST.A.O. Use (6), p 30 13. - Grafico de uma fun!;;ao. Consideremos a fun<;ao x 2 e ponhamos (1) Esta rela<;a.o da um valor de y para cada valor de x, isto e, y edejinida para todos os valores da va- riavel independente. 0 conjunto de todos os pon- tos que satisfazem (1), uma parabola (vo figura), e chamado 0 grd}ico da fun98.0 x 2• Se x variar con- tinuamente (§ 8) de x = a a x = b, y variara con- --0 X tlnuamente de y = a2 a y :;: b2 e 0 ponto P (x, y) descrevera, com movimento continuo a por<;ii.o do grafico que vai do ponto (a, a2) a S 17 FUN<;OES CONTfNUAS E DEscoNTINuAs 15 Se c e uma constante e B nao e zero, entao, do que ficou dito acima, resulta: (4) lim (u + c) = A + c, lim cu = cA. , "'_ ~ll Consideremos alguns exemplos: 1. Provar que lim (:z;2 + 4 x) = 12. ~2 lim !:- = !:.- :->0 V B sOLugA:O. A dada fun¢o e :1 soma de :z;2 e 4x; primeiro achamos, enta~, os limites destas fUD~oes. Por (2) , lim x2 = 4, pois n 2 = x x ~2 Por (4), lim 4x = 4 lim x = 8. ~2 ~2 Logo; por (1), a resposta e 4 + 8 = 12. . z2-9 5 2. Prove que lim -- = - - . .-.2 z + 2 4 SOLUgA:O. CODsiderando 0 numerador, lim (z2 - 9) = - 5, por (2) e (4). %->2 Para 0 denominador, lim (z + 2) + 4. Logo, por (3), obtem-se 0 resultado. %->2 17. -FW1~oes continuas e descontinuas. No Exemplo 1 do § precedente, onde se mostrou que lim (x 2 + 4x) = 12, ,.-+2 observamos que a resposta e 0 valor da fun<;ao para x = 2, isto e, o limite da fun<;ao quando x tende a 2 e igual ao valor da fun<;ao para x = 2. Diz-se que a fun<;ii.o e continua para x = 2. A defi- ni<;ao geral e a seguinte. DEFINI<)AO. Uma fun<;ao j (x) diz-se continua para x = a se 0 limite da fun<;ao quando x tende a a e igual ao valor da fun<;ao para x = a. Em sUnbolos, se lim j (x) = j (a), "'- entao j (x) e continua para x = a. A fun<;ao diz-se descontinua para x = a se esta condi<;ao nao e satisfeita Pede-se a aten<;ao para 0 seguinte. 16 CAP. IT A defini<;ao de fun<;ao continua nurn ponto a supoe que a fun<;ao estS. definida para x = a. Se isto nao se da., e possivel, contudo, em alguns casos, atribuir urn valor a fun<;ao no ponto a tal que ela resulte continua nesse ponto. 0 teorema seguinte diz respeito a isto. TEOREMA. Se f (x) 000 edefinida para x = a e se limf (x) = B,....... entao f (x) sera cantinua para x = a se 0 valor B for altribuido a f (x) para x = a. Assim, a fun<;ao :1:2 - 4 x-2 nao e definida para x = 2 (pois nao e possivel a divisao por zero) Maa para todo outro valor de x, x 2 - 4 ---=x+2' x - 2 ' ora, logo lim (x + 2) = 4; _21 . x 2 - 4 hm --- = 4_2 x - 2 . Embora a fun9ao nao seja definida para x=2, se lhe atribuirmos o valor 4 para x = 2, ela tornar-se-a. continua para este valor. Uma fun~ao f (x) diz-se continua num interoalo quando ecantinua para todos os valores de x deste intervalo.* Freqiientemente devemos calcular 0 limite de uma fun9ao de uma variavel v quando v tende a um valor a de um intervalo em que a fun<;ii.o e continua. 0 limite e 0 valor da fun9ii.o para v = a. 18. - Infinito (ex». Se v e uma vadavel tal que, dado um numero qualquer, existe um valor de v maior que 0 nlimero dado, dizemos que v tende a + ex>. Se existe um valor de v menor que 0 • Neste livro consideraremos spenas B8 funcOes que sllo contlnuas em gera), isto ~, contlnuas pl\ra todos os va)ores de z, oom a possfve) excec~ de oertas valores i80lados, fioando, pois, enten- elido qu'e os n08808 resultados sio validos em gersl para 08 valores de z nOS quais s funcAo em estudo e' contlnua. § 18 IN FIN ITO 17 nUmero dado, dizemos que v tende a - co. Dizemos que v tende ao infinito quando Ivl tende a+ co. A notayao usada para os tres casos e lim v = + co, lim v = - co, lim v = co. N&tes casos, v nao tende a urn limite como foi definido no § 14. A not8.9ao lim v = co, ou v - co le-se "v tende ao infinito". * Tem-se, por exemplo ou seja lim 1. = co, z-+O x 1 d 'nf' , d d *.- ten e ao 1 illltO quan 0 x ten e a zero. ¥ x Do § 17 resulta que se lim f (x) = co , z-+O entao j (x) e descontinua para x = a. Uma fun<jao pode tender a um limite quando a val'iavel inde- pendente tende ao infinito. Por exemplo, lim ~ = O. ~<DX Se a fun<j.ao f (x) tende a um limite A quando x - co, usaremos a nota<jao do § 17 e escreveremos lim j (x) = A. ~<D Alguns limites especiais ocorrem freqtientemente. Sao os dados abaixo. A constante c nao e zero. Limites Formas abreviadas (de muito uso) (1) lim c c co co z--->O V 0 (2) lim cv = co c. co co D-+<D V co '(3) lim -= co co D-+<D C C • Semelbantemente, 0-+ + co 1~·8e "II tende a mais infinite/'. ll-Jo - CD 1~·80 Uti tende a men08 infinito". Esta nomenclatura ~ cOmoda; contudo. 0 leitor nAo deve esquecer que 0 iniinito nAo ~. abao- utamente. um ndmero• •• Dii.emoa que lim I (:z:) - <D. ae dado um numero k qualquer. pod<Hle determinar um nu--mero poaitivo 6 tal que V(:z:)1 > k para todo :z: 'do intervalo (ll - 5. II + 5) (N,T.). 20 VARIAVEIS, FUNgOES E LIMlTES 18. Sendo f (x) = ax2 + bx + c, mostre que lim f (x + ~ - J(x) = 2 ax + b. h->O 1 19. Bendo J(x) = -;-, mostre que :CAP. II I " f (x + h) - J(x) 1m h h->O 1 20. Se j (x) =:ca, ache lim j (IX + h) - j (x) h->O h 19. - Infinitesimo. Uma variavel v que tende a zero diz-se um injinitesimo, ou urn infinitamente pequeno. Escreve-se (§ 14) lim v = ° ou v ---+ 0, e significa que os valores sucessivos de v se aproximam de zero de modo tal que a partir de dado momento 0 valor absoluto de v tor- na-se e permanece menor do que urn n11mero qualquer prefixado ainda que muito pequeno. Se lim v = l, entao lim (v - l) = 0, isto e, a dijeren~a entre a va- ridvel e ° seu limite e um injinitesimo. Reclprocamente, se a dije- re~a entre uma varidvel e uma constante e um injinitesimo, entao a varidvel tende d constante. 20. - Teoremas relativos aos infinitesimos e limites. Nas considera~oes a seguir, supoe-se que tOdas as vanaveis sejam fun~oes de ~ma mesma variavel independente e que tendem aos respectivos limites, quando esta variavel tende a um valor fixo a. A constante E e tun D11mero positivo prefixado, tao pequeno quanto se queira, mas nao zero. Demonstraremos primeiro quatro teoremas sobre infinitesimos. I. Uma soma algebrica de n injinitesimos e um injinitesimo, sendo n um numero Jixo. Realmente, 0 valor absoluto da soma fica e permanece menor do que E quando 0 valor absoluto de cada infinitesimo fica e per- E manece menor do que - . n § 20 TEOREMAS RELATIVOS AOS INFINITESIMOS E LIMITES 21 II. 0 produto de uma eonstante e por um injinitesimo e um inji- nitesimo. Realmente, 0 valor absoluto do produto ficara e permanecera menor que f, quando 0 valor absoluto do infinitesimo for menor f que -. lei III. 0 produto de n injinitesimos e um injinitesimo, sendo n um numero jixo. Realmente, 0 valor absoluto do produto ficara e permanecenl menor que f, quando 0 valor absoluto de cada infinitesimo for e per- manecer menor que a raiz n-egesima de f. IV. Se lim v = l e l e dijerente de zero, entao 0 quociente de um injinitesimo i por v e tambem um injinitesirrio. De fato, podemos escolher um nllinero positivo e, menor que Ill, tal que IvI se tome e permane<}a maior que e e tal que Ii I se • tome e permaneQa menor que ef. Entao 0 valor absoluto do quo- ciente se tomara e permanecera menor que f. DEMONSTRAQOEs DOS TEOREMAS DO § 16. Seja (1) u - A = i, v - B = j, w - C = k. Entao i, j, k sao funQoes de x e cada uma delas tende a zero quando x ~ a, isto e, elas sao infinitesimos (§ 19). Das equaQoes (1) obtemos (2) u + v - w - (A + B - C) = i + j - k. o segundo membro e um infinitesimo pelo teorema I acima; logo, pelo § 19, (3) lim (u + v - w) = A + B - C. x->o De (1) deduzimos u = A + i, v=B + j. Multiplicando e mudando AB de membro, obtemos (4) uv - AB = Aj + Bi + ij. Pelos teoremas I-III acima, 0 segundo membro e um infinitesimo; logo (5) lim uv = AB. "' ....0 22 VARIAVEIS, FUNQOES E L?lITES CAP. II A demonstraQao se estende facilmente ao produto uvw. Finalmente, podemos escrever (6) u A A + i A Bi - Aj -; - B = B +j - B = B (B + j) o numerador Bi - Aj e um infinitesimo, pelos teoremas I e II. Por (3) e (4), lim B (B + j) = B2; logo, pelo teorema IV, 0 segunde membro de (6) e um infinitesimo, e portanto (7) Conseqiientemente as afirm~oes do § 16 estao demonstradas. § 24 DERIVADA DE UMA FUNgl0 DE UMA VARIAVEL 25 Valor ini- Novo va- Acrescimo Valor ini- Novo va- Acrescimo fiy cial de x lor de x fix cial de y lor de y fiy fix 4 5,0 1,0 16 25, 9, 9, 4 4,8 0,8 16 23,04 7,04 8,8 4 4,6 0,6 16 21,16 5,16 8,6 4 4,4 0,4 16 19,36 3,36 8,4 4 4,2 0,2 16 17,64 1,64 8,2 4 4,1 0,1 16 16,81 0,81 8,1 4 4,01 0,01 16 16,0801 0,0801 8,01 Ve-se logo que D.y decresce quando D.x decresce e que a razao ~ toma os valores sucessivos 9; 8,8; 8,6; 8,4; 8,2; 8,1; 8,01, mos- d D.1I . d 8tran 0 que ~ se aprOXlIlla e tanto quanto se toma D.x suficientemente pequeno. Logo 1· D.y = 8 ~D.x . se queira quando 24. - Derivada de Ulna fun!;ao de uma variaveI. A defi- niyao de derivada, fundamental no Calculo Diferencial, e a seguinte. Derivada de uma jun~ao e 0 limite da razao do acrescimo da jun~ao para 0 acrescimo da varidvel independente, quando este ultimo tende a zero. Quando existe 0 limIte mencionado, diz-se que a funyao e deri- vdvel ou que possui uma derivada. Derivada de uma funyao (1) y = 1(x) e, pois, 0 seguinte. Supondo que x tenha urn valor fixo, da-se a x urn acrescimo Ax; entao a funyao y recebe urn acrescimo D.y, e se tern (2) y + D.y = j (x + D.x), ou seja, tendo (1) presente, '"!) D.y = j (x + D.x) - 1(x). 26 DERIVAQAO CAP. TIl Dividindo ambos os membros pel6 acrescimo da variavel, &:, tem-se (4) Ay Ax= J(x + Ax) - J (x) Ax (A) que e a razao entre os acrescimos Ay e Ax. 0 limite desta razao quando Ax ~ 0 e, pol' definic;ao, a derivada de J (x), ou, POl' (1), de y, e se indica pelo simbolo :' Portanto dy = lim J(x + Ax) - J (x) dx ~ Ax define a derivada de y (ou J (x) ) em rela~ao a x. De (4) obtemos tambem dy dx 1 , !J.y 1m - ~Ax Semelhantemente, se u e uma func;3.o de t, entao du I' Au d' ad d 1-d = 1m -A = env a e u em re aQ[o a t. t At-+O t o processo para se achar a derivada de uma funQao chama-se deriv~iio ou diJerencia~iio, 25. - Shnbolos para as derivadas. Como Ay e Ax sao nu- meros, a razao !J.y &: e 0 quociente de Ay par !J.x, 0 simbolo dy dx ' contudo, nao representa um quociente; ele e 0 valor do limite de ~ quando Ax tende a zero. Em muitos casos 0 simbolo se comporta como se fosse urn quociente e a razao disto sera vista mais tarde; tenha-se presente, pOl'em, que, pOl' ora, ~ nAo e urn quociente e deve ser tornado como um todo. § 25 SiMBoLOS PABA AS DERIYADAS Como a derivada de uma funlj&o de x e tambem uma fun9&o de x, 0 simbo1o J' (x) e tambem usado para indicar a derivada de j (x). Logo, se y = J(x), podemos escrever : = J' (x), que se 1~ "derivada de y em re1a<;&0 a x igual a J 1inha de x". 0 simbo1o d dx eonsiderado como um todo, chama-se operador de deriiJO{iio e indica que uma funljao escrita a sua direita deve ser derivad a em l'elaljao a x. Assim, dy d dx ou dx y indica a derivada de y em re1alj8.o a Xi ~ J(x) indica a derivada de J (x) em rela<;&o a Xi d~ (2 x 2 + 5) indica a derivada de 2 x2 + 5 em re1ar;ao a x. y' e ums. forma abreviada para : . o simbolo D e usado pOl' alguns autores ao inves de ~. Por- tanto, se y = 1 (x) . podemos escrcver , dy d d y = dx = dx Y = dx 1(x) = D 1(x) = l' (x). Deve-se observar que quando se faz &1: tender a zero, e &1:, e nlio x, a varia-vel. 0 valor de x foi fixado de inicio. Para pOl' em destaque 0 valor de x fixado de inicio - digamos x = xo, es- creve-se l ' ( ) - 1· 1 (Xo+ &1:) - J (xo)Xo - ~ &1: 30 DERIVAQAO TerU>iro pa8so. fl.y 2 x + fl.x - = -c' fl.x :r;2 (x + fl.x)2 CAP. III Quarto Pll8SO. Fa\tamos no segundo membro, fl.x-+O. Vem, por (A). ~~ = - c' X22(:)2 = - ~3C. Resp. (y, = d: (; ) = _ 2; ) . PROBLEMAS Use a Regra Geral para derivar as fun90es abaixo. Reap. Reap. y=2-3x. y'=-3. 1 dy 2 1. 12. y=I-2x' dx = (1-2x)2 2. y=mx+b. y'=m. J. y=ax2• y'=2 ax. 0 dp 2 13. P = 0 + 2' dO (8 + 2)2 .!.8=2t-t2. 8'=2-2 t. y=ex3• y'=3 ex2. At+B d8 AD-BC 5. 14. 8 = Ct + D' dt (Ct + Dr 6. y= 3 x-x3• y'=3-3x2• x3 + 1 15. Y =--. x dy 1 -= 2x--· dx x2 19 y=3x2 -4x-5. 20. 8 = at2+bt+e. 2 9. p= f) + I' 3 10. y= ---. x 2+2 t + 4 11.8= --. t dp 2 1 dO = - (0+ 1)2 . 16. Y = x 2 + a2 ' dy 6x x dx =-(x2+2)2' 17. Y = x 2+ l' ds 4 x2 dt = - ti . 18. Y = 4-x2 . 26. dy 2x dx = - (x 2 +a2r dy l-x2 dx = (x 2+ 1)2 dy 8 x dx = (4-x2)2 8 = (a + bt)3. x 21. u = 2 v3 - 3 v2 • 22. Y = ax3 + bx2+ ex + d. 23. P = (a - bO)2. 24. 11 = (2 - x) (1 - 2 x). 25. Y = (Ax + B) (Cx + D). 27. Y = a + bx2 • a + bx2 28. u=---· v x2 29. Y = a + bx2 ' § 28 INTERPRETA~AO GEOMETRICA DA DERIVADA 31 28. - Interpret~ao geom.etrica da derivada. Nas aplica- ~oes do Calculo Diferencial a Geometria e fundamental 0 teorema que damos abaixo. Para estabelece-Io, e mis- ter, primeiro, recordar a defini~ao de reta y tangente a uma curva num ponto P da curva. Por P e por urn outro ponto Q da eurva (V. figura) tracemos uma reta PQ. Fazendo Q tender a P, movendo-se sobre a curva, a reta PQ girara em tomo de Pea sua posi~ao limite e a tangente em P. Seja (1) y=j(x) a equ~ao da curva AB. (V. figura). Derivemos (1) pela Regra Geral e interpretemos cada passo geome- tricamente pela figura. Escolhamos um ponto P (x, y) sobre a curva e urn segundo ponto Q(x + Llx, y + t:..y) pr6ximo a P, tambem sobre a curva. PRIMEIRO PASSO. SEGUNDO PASSO. y + t:..y = j (x + Llx) y + t:..y = j (x + Llx) = NQ = NQ TERCEIRO PASSO. y = f (x) = AII' = NR t:..y = f (x + t:..x) - j(x) = RQ t:..y j (x + Llx) - j (x) RQ RQ Llx = Llx = MN = PR = tg ang. RPQ = tg cf> = coeficiente angular da reta PQ. Vemos, pois, que a razao entre os acrescimos t:..y e t:..x e igual ao coe- ficiente angular da reta que passa por P (x, y) e Q(x + t:..:I:, y + t:..y), situados sobre 0 grafico de j (x). Examinemos 0 significado geometrico do QUARTO PASSO. 0 valor de x est8. fixado, logo P e um ponto fixo sobre a curva. Quando t:..x varia tendendo a zero, 0 ponto Q tambem varia. Varia sabre a t:;urva e tende a P. Conseqiientemente, a reta PQ varia, rodando 32 DERIVAgAO CAP. III Supondo que tg cP seja uma fun9ao continua em tOrno de P e aproximando-se cada vez mais da tangente a Curva .no ponto P, com a qual, por fim, coincide. Na figura, cP = inclin~ao da reta PQ T = inclin~ao da reta tangente PT; logo, lim cP = T. t.z-+O (v. § 70), temos pois, QUARTO PASSO. dy = l' (x) = lim tg cP = tg T, dx &t--->O = coeficiente angular da reta tangente em P. Obtivemos, assim, 0 importante TEOREMA. 0 valor da derivada na abscissa de um ponto de uma curva e igual ao coeJiciente angular da tangente a curva nesse ponto. Foi este problema da tangente q'ue conduziu Leihnitz* a desco- berta do Calculo Diferencial. Exemplo ilustrativo. Achar os coeficientes angulares das tangentes a para- bola y = z2 no vertice e no ponto onde x = ! . SOLU<;AO. Derivando pela Regra Geral (§ 27), obtemos (2) dy 2 f' .dx = x = coe lClente (x, y) qualquer. angular da tangente a curva num ponto Para achar 0 coeficiente angular da tangente no vertice, faz-se x = 0, 0 que da dy = 0 dx ' Conseqiientemente, a tangente no vertice tem 0 coefi- ciente angular igual a zero, isto e, e paraiela ao eixo dos xx e, neste caso, coincide com ele. Para achar 0 coeficiente angular da tangente no ponto P, onde x = !, substituamos em (2), x pelo valor! ; vira c!J!_ = 1 dx ' isto e, a tangente no ponto P faz um lingulo de 450 com 0 eixo dos xx, * Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) nasceu em Leipzig, Contribuiu notAvelmente pars 0 des<:,Ilvolvimento de diversos ramos do saber. SU88 descobertae no CaJculo foram publica- das pela revista Acta Eruditorum, de Leipzig, em 1684. Babe-se, contudo, que na 6poca ill. existiam msnuscritos sabre as IlFluxiona" de Newton e a.lguns &Cham que deles Leibnitz tirara as novas id6;as. Considers-s. atualmente, ao que parece, que Newton e Leibnitz inventaram 0 Cll.lculo independentemente urn do Qutro. VII a VIII IX ~ (.!:) dx c du 1 dx=ax' dy du dx c dv _ dx ' sendo yuma fun<;ao de v. sendo yuma fungiio de x. 30. Deriva!;ao de uxna constante. Uma fun<;iio que toma o mesmo valor para eada valor da variavel independente e eonstante e podemos indica-la por y=c A fun9iio niio muda de valor quando se da a x um. aerescimo !lx, isto e, !ly = 0, qualquer que seja Llx; logo, /1y = 0 Llx ' ou seja I ··'adc=o. x A derivada de uma constante e zero. o resultado era faeil de imaginar, pois a equa<;iio y = c repre- senta uma reta paralela a OX e, portanto, de eoeficiente angular igual a zero. Ora, 0 eoeficiente angular e 0 valor da derivada (§ 28); logo, esta e nula. 31. - Deriva~ao de uxna variavel em rela~ao a si propria. Seja y = x. 36 REGRAS DE DERIVAQAO Seguindo a Regra Geral (§ 27), temos CAP. IV PRIMEIRO PASSO. SEGUNDO PASSO. TERCEIRO P ASSO. QUARTO PASSO. II y + D..y = x + b.x. D..y = b.x. D..y = 1 b.x . du = 1 dx· . rL" . d." = 1. A derivada de uma varidvel em relw;iio a si propria e um. Este resultado podia ser previsto facilmente, POlS 0 coeficiente angular da reta y = x e urn. 32. - Deriva~ao de ulna SOlna. Seja Pela Regra Geral, PRIMEIRO P ASSO. SEGUNDO PASSO. TERCEIRO PASSO. Ora (§ 24), y = u + v - w. y + D..y = u + D..u + v + D..v - w - tlw. tly = D..u + tlv - tlw. !J..y D..u + I\u D..1O .6.x =. t>x b.x - b.x . lim tlu = du l' 6..v _ dv Jim D..w = dw . ~ D..x dx' ~ & - dx' ~ L.l.<: dx Logo, por (1), § 16. QUARTO PASSO. III dy d1L + dv d10 dx=dx dx-dx' d du dv dw -(u+v - w) = -+-- _. dx dx dx dx A demonstrayao para a soma algebrica de urn nillncro finito qualquer de func;oes e amUoga. A derivada da soma algebrica de n junr;oes e igual a soma alge- b-rica da8 derivadas das parcelas, sendo n um inteiro positivo ji;r;o. § 34 DERIVAgio DO PRODUTO DE DUAS FUNgOES 37 33. - Derivada do produto de uma constante por lllIla fun!Oao. Seja Pela Regra Geral, PRIMEIRO P ASSO. SEGUNDO PASSO. TERCEIRO PASSO. y = cv. y + b.y = c (v + b.v) = cv + c&. b.y = cb.v. b.y b.v &;=c&;· Logo, pOl' (4),§ 16, QUARTO PASSO. IV dy = c du . dx dx d dv -. (cv) = c-· dx dx A clerivada do produto de uma constante por uma fu~ao e igual ao produto da const.ante pela den:vada da fu~ao. 34. - Deriva!Oao do produto de duas fun!Ooes. Seja Pela Regra Geral, PRIMEIRO P ASSO. y = Uti. y + b.y = (u + b.u) (v + b.v). Feita a rnultiplicayao, tern-se SEGUNDO PASSO. TERCEIRO PASSO. y + b.y = uv + u& + vb.u + b.ub.v. b.y = ub.v + vb.u + b.ub.v. b.1.J b.v b.u b. v ~ = u Llx + v Llx + b.u &; . QUARTO PASSO. Aplicando (2) e (4), § 16, notanda que lim b.u = 0, e que, por- &.-.0 tanto, 0 limite do produto b.u ~ e zero, vern dy = u dv + v du . dx dx dx 40 REGRAS DE DERIVAQAO CAP. IV SEGUNDO PASSO. A _ u+ Au y - v + Av u v· Au - u· Av v v (v + Av) Ay TERCEIRO P ASSO. Ax = Aplicando (1)-(4), § 16, Au Av vL:-uLi; v (v + Au) QUARTO PASSO. dy dx= du dv v- -u- dx dx v2 VII du dv v- -u- dx dx v2 A derivada de uma jra~ao eigual ao denominador vezes a derivada do numerador, menos 0 numerador vezes a derivada do denominador, tUM dividido pelo quadrado do denominador. Quando 0 denominador e constante, v = c, a VII fornece VII a [ dv de ] pois dx = d~ = o. Podemo.., tambem obter VII a de IV, como segue: du .!!:...(~) = ~du = d:-c dx c cdx c A derivada do quociente de uma jun~iio por U'1W constante eigual d derivada da jun~iio dividida pela constante. § 37 DERIVA9AO DE UM QUOCIENTE 41 PROBLEMA s* Derive as seguintes funQoes. 1. y = x3• SOLu9AO. ~~ = d: (x3) = 31? Regp. [n=3] per VI a '"3. Y = x3 + 5.. d d~· d SOLU9AO. ...JL = - (x 3 ) +- (5) dx dz dx 1 '" -= 3" Z3. Resp. SOLU9AO. dy d • d d - = - (ax' - bX"') = - (ax') - - (bx2) dz dz dz dz d ) d.)= a- (x' - b- (X" dz rlx = 4ax3 - 2 b:z:. Regp. per III per IV per VI a per III per VI a e I 8 '" '"39 - 7'- - "4 -- = 5' z 5 + 3" z 3 + ~ X 7. Regp. per IV e VI a 5. Y = (x 2 - 3)5. SOLu9AO. ~~ = 5 (z2 - 3)4 d: (r - 3) per VI [v = r - 3, e n = 5.] = 5(r -3)4 . 2 x = 10 z(r - 3)4. Regp. Podiamos tel' desenvolvido a funQ8.o com a f6rmula do bin6mio ((3), p. 1), e depois aplicado III, etc., mas 0 processo acima e pre- ferivel. . 6. Y = va2 - x 2• SOLU9AO. dy= ~ (a2 _ r)i = ~ (a2 - x2)-1~ (a2 - r) per VI dzdz 2 dz • Quando aprendendo a derivar, 0 estudante deve fazer eserclciol or";. de deriva~iode lun~Oes limpl... • 42 ~EGRAS DE DERIVAgAO [v = a2 -:rl-, e n = !.] =.! (a2 _ x2)-i (- 2 x) = _ _x_ Resp.va2 - x2 CAP. IV 7. Y = (3 x 2 + 2) V 1 + 5 x 2• _ dy d d SOLUQAO. dx = (3 x2 + 2) dx (I + 5x2)i + (1 + 5x2); dx (3 x2 + 2) por V [ll = 3x2 +2, e v = (1 +5x2);.J = (3 x2 + 2) ! (1 + 5 x2)-; d~ (1 +5 x2)+(1 +5 x2); Gx por VI, etc. = (3 x2 + 2) (1 + 5 x2)-; 5 x + 6 x (1 + 5 x2); = 5 x(3 x 2 + 2) + 6 x VI + 5 x2 = 45 x3 + 16 x • Resp. ·~1+5x2 VI+5x2 a 2 + x 2 8. y= ---va2 - x2 • (a2 - x2)!~ (a2 + x2) - (a2 + x2)~ (a2 - x2)! dy dx dx SOLUQAO. - - ---~---=----,-----~--- dx - a2 - x 2 2 x(a2 - x2) + x (a2 + x2) 3 (a2 - x2)T [Multiplicando 0 numerador e denominador por (a2 - x2)t] por VII Prove que: 3 a2x ..:. x3 3 (a2 - Xl)2 Rcsp. 9. 10. II. 12. d d (3 x4 - 2 x 2 :-r- 8) = 12 x 3 - 4 x. x d - (4 + 3 x - 2 x 3) = 3 - 6 x 2ax .!!:.- (at S - 5 bt3) = 5 at4 - 15 W. dt . 3:.- (Z2 _ i!-.) _= z _ Z6 dz 2 7 . §38 DERIVAQAO DE UMA FUNQAO DE FUNQAO 45 Em cada um dos exercicios seguintes achar 0 valor de dy dx para 0 dado valor de x. 52. Y = (x2 - X)3; X = 3. 53. Y = ..:;;+ V;; x = 64. 1 2 54. Y = (2 x). + (2x)l; x = 4. 55. Y = V 9 + 4 x2; X = 2. 1 56. y= V25 - x2 ; X = 3. 57. V16 + 3x ; x = 3.y= x 58. Y = x V8 - x2; x = 2. 59. Y = X Z VI + x3 ; x = 2. 60. Y = (4 - X 2)3; x = 3. 63. 61. X Z + 2 ; x = 2. 64.Y = 2 - x2 62. V5-2x ; x =!. 65.y= 2x + 1 Resp. 540. Resp. tz. 5 6' 8 S' o 20. Y = x V3 + 2 x; x = 3. J4x+ 1 y = 15x _ 1 ; x = 2. 38. - Deriva~ao de uma fun~ao de fun~ao. Acontece mui- tas vezes que y, 800 inves de ser definida diretamente como fun9ao de x, e dada como fun9ao de outra vanavel v, a qual e definida como fun9ao de x. Neste caso, y euma fun9ao de x atravea de vee chs.- mada uma JU~iio de Ju~iio. Por exemplo, se e 2v y = 1 - v2 entao y e uma fun9ao de fun9ao. Eliminando v, podemos exprimir y diretamente como fun9ao de x, mas, em geral, quando se quer h dy limin' - - ~ lh minhac ar dx ' a e 8.9&0 nao t: 0 me or ca o. Se y = J (v) e II = cJ> (x), entao y e fun9ao de x atravea de v. Por isto, dado urn acreacimo t::.x a x, II sera. acrescida de um certo & e tambemy de um certo acreacimo !!J.y. Tendo isto presente, 46 REGRAS DE DERIVAQAO CAP. IV apliquemos a Regra Geral simulM.neamente as duas fun90es y = j(v) e v = c/> (x). PRIMEIRO PASSO. y+fly=j (v + flv) v+flv=c/> (x + ilx) SEGUNDO PASSO. y+fly=j (v + flv) v+flv=c/> (x + ilx) =4> (x) flv=4>(;r+ilx)-4>(x) . y = f(v) 11 --..,.-_--:-..:-...:.---,---- fly = j(v +flv) -j(v) TERCEIRO PASSO. fly f(v+flv)-f(v)* flv = flv flv 4>(x+1lx) - 4>(x) fl:r. - flx Os primeiros membros mostram uma forma da razao entre 0 acrescimo de cada fun9ao e 0 acrescimo da correspondente variavel e os segundos membros fornecem as mesmas razoes em outra forma. Antes de passar ao limite fa9amos 0 produto destas duas razoes, escolheIido, para isto, as forrrias dos primeiros membros. Vira QUARTO PASSO. F~amos 1lx~ 0; entao flv ~ 0 e a igual- dade acima fornece (A) dy dy dv dx = dv . dx por (2), § 16 Isto pode ser escrito tambem sob a forma (B) dy -' = f' (v) 4>' (x) dx Se y = j (x) e v = c/> (x), a derivada de y em relat;fio a x e i{fual ao produto da derivada de y em 'relat;ao a v pela derivada de v em re- lat;ao a x. 39. - Deriva~ao das fun~oes inversas. Seja dada a fun~ao y = j (x) e suponhamos, 0 que sucedera com muitas das fun90es consideradas neste livro, que a equa9ao Y = j (x) permita exprimir x em termos de y. x = c/> (y); • Supondo t.. ;>< 0 (N. T.). § 49 DERIVAQl0 DAS FUN'i5ES INVERSAS 47 dizemos, n~ste caso, que f (x) e (j> (x) sao fun~i5es inversas uma da outra. Como f (x) foi dada inicialmente e a partir deIa construirnos (j> (y), costuma-se tambem dizer que f (x) e a fU~fio direta e (j> (y) a Jun~fio inversa. Esta nomenclatura e usada somente quando hi interesse em distinguir qual das fun90es foi dada a principio. Assim, nos exemplos que seguem, dando-se inicialmente as fun90es da primeira coluna, as correspondentes da segunda sao as fun90es inversas. y = x 2 + 1, y = a"', y = sen x,. x = ±.yy=I. x = log,. y. x = arc sen y. Pela Regra Geral derrvemos, simultaneamente, as funyoes ill- versas y = f (x) e x = (j> (y). Temos, sendo f:.x arbitnhio, PRIMEIRO PASSO. y+.iy= f (x+f:.x) ~EGUNDO PASSO. y+.iy= f (x+&;) x+.1.'t= (j>(y+.iy). x + f:.x = (j>(y +.iy) y = f(x)x_ --:-_=~(j>:-,-(y,,-:,-)----:---::---:-:--:- .iy=f(x+ tix) -f(x) f:.x = (j>(y+ l1y) - (j>(y) TERCEJRO P ASSO. .iy f(x+f:.x)-f(x) f:.x= f:.x f:.x (j>(y+.iy)-(j>(y)* l1y = l1y Tem-se, pois, multiplicando membro a membro: f (x + f:.x) - f(x) . (j>(y + .iy) - (j> (y) = 1 f:.x l1y. . QUARTO PASSO. Fa9amos f:.x -. O. Entao l1y -.0 porque f(x) 6 derivavel, e se tem: * Supondo t:..11 "" 0 (N. T.). 50 REGRAS DE DERIVA~AO CAP. IV Resp.19. 20. 21. 22. x 2 + xy + 2 y2 = 28; (2,3). x3 - 3 xy2 + if = 1; (2, -1). V2x+V3y=5; (2,3). 23. x2-2~-y2=52;(8,2). 24. 1 - 2' 3 - s' x3 -axy+3ay2 = 3a3 ; (a, a). XLX~- 2y 2= 6; (4,1). 25. Mostrar que as parabolas y2 = 2p x + p2 e y2 = p2 - 2px cortam-se ortogonalmente. 26. Mostrar que a cil'cunferencia x 2+y2-12x-6y+25 = 0 e tangente a circunferencia x2 + y2 + 2x + y = 10 no ponto (2,1). 27. Sob que angulo a reta y = 2 x corta a curva x 2 - xy + + 2 y2 = 28? 28. Se f (x) e 1> (y) sao funr;oes inversas uma da outra, mostre que 0 grafico de 1> (x) pode ser obtido como segue: construindo-se o grafico de - f (x) e fazendo-o girar em volta da origem, no sentido ante-horario, de um angulo de 90°. OUfROS PROBLEMAS 1. 0 vertice da parabola y2 = 2 px e 0 centro de uma elipse. o foco da parabola e um extremo de um dos eLxos principais da elipse. A parabola e a elipse cortam-se ortogonalmente. Achar a equar;ao da elipse. Resp. 4 x 2+ 2 y2 = p2. 2. Uma circunferencia de centro em (2 a, 0) corta ortogonal- mente a elipse b2x 2+ a2y2 = a2b2. Achar 0 raio da circunferencia. Resp. r2 = i- (3 a2 + b2). 3. De um ponto P de uma elipse trar;am-se retas passando pelos focos. Prove que estas retas fazem angulos agudos iguais com a normal a elipse no ponto P. 4. Prove que a reta Bx + Ay = AB e tangente a elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 se, e somente SE', B2a2 + A 2b2 = A 2B2. 5. Ache a equar;ao da tangente a curva xmyn = am+n num ponto qualquer. Prove que a parte dela compreendida entre os eixos e dividida pelo ponto de contato na razao min. Resp. my I (x - X1) + nXl (y - YI) = o. 6. Se k e 0 coeficiente angular de uma t.angente a hiperbole b2x 2 - a2y2 = a2b2, provar que y = kx ± Va2k 2 - b2 e a equar;ao deJa e que 0 lugal' dos pontos de interser;ao das tangentes perpen- diculares e x 2+ y2 = a2 - b2• CAPITULO V VARIAS APLICACOES DA DERIVADA 42. - Dire~ao de uma curva. Viu-se no § 28 que se y = f (;x) x ea equar;ao de uma curva (ver figura), entao dV j' . l d~ = coe tCtente angu ar da tangente d curva no ponto P (x, y). A direr;iio de uma cur- va em urn ponto qualquer e, por defini<;ao, a direr;ao da tangente a curva nesse ponto. Seja T = inclinar;ao da tangente. Entao, coefi- ciente angular = tg T, e portanto ~~ = tg T = coeficiente angular da curva no ponto P (x, y). Em pontos como D, P, H, onde a dile9ao da curva e paralela ao eixo dos xx, ou seja, a tangente e horizontal, d1/ T = 0; port,anto -d' = O. x Em pontos como A, B, G, onde a direr;ao da curva e perpen- dicular ao eixo dos xx, au sej a, a tangente e vert'ical, T = 90°; portanto dy e infinita. dx 51 52 VARIAS APLICAQOES DA DERIVADA CAP. V Exemplo ilustrativo 1, x3 Dada a curva y = 3" - :r? + 2 (ver figural: (a) Achar a inclinac;ao T quando x = 1; (b) Achar T quando x = 3; (c) Achar os pontos onde a direc;ao da curva e paralela a OX; (d) Achll.r os pontos onde T = 45°; (e) Achar os pontos onde a direc;ao da curva e paralela a reta 2x - 3y = 6 (reta AB). SOLU9AO. Derivando, ~~ = x2 - 2 x = tg T. (a) Para x = 1, tg T = 1 - 2 = - 1; logo T = 135°. Resp. (b) Para x = 3, tg T = 9 - 6 = 3; logo T = 71°34'. Resp. (c) Para T = 0, tg T = 0; logo :r? - 2 x = 0. Resolvendo esta equac;ao, obtemos x = °ou 2. Substituindo na equac;ao da curva, achamos y = 2 quando 2 . ( 2)x = 0, y = "3 quando x = 2. Logo, as tangentes em C (0, 2) e D 2'"3 sao horizontais. Resp. (d) Quando T = 45°, tg T = 1; logo :r? - 2 x = 1. Resolvendo esta equa- c;ao, obtemos x = 1 ± V2 = 2,41 e - 0,41, abscissas de dois pontos onde 0 coeficiente angular da curva (ou tBngente) e a unidade. (e) Coeficiente angular da dada reta = ~ ; logo, :r? - 2 x = ~ . Resolvendo, obtemos x = 1 ±~ = 2,29 e - 0,29, abscissas dos pontos FeE onde a direc;ao da dada cUI'va (ou tangente) e paralela a reta AB. Como uma curva tern, em cada ponto, a mesma dire9ao que a tangente a ela nesse ponto, 0 lingulo entre duas curvas Dum ponto comum sera 0 lingulo entre as tangentes a elas nesse ponto. Exemplo ilustrativo 2. Achar 0 Angulo de intersec;ao dos clrculos (A) x2 + y2 - 4 x = 1, (B) x2 + y2 - 2 y = 9. SOLU9AO. ResolvendQ 0 sistema, achamos que os pontos de interse9ao sao (3, 2) e (1, - 2). § 43 EQUAci>ES DA TANGENTE E NORMAL 55 A 8ub8titui~ao em (3) dl1 TM = ; = comprimento da 8ubtangente. A 8ubstitui~ao em (4) dl1 MN = 2a = comprimento da 8ubnormal. Logo, PT= ";CTM)2+CPM)2=~~+a2= ; V5 = comprimento da tang. e PN = VCMN)2 + CPM)2 = V4a2 + a2 = a V5 = comprimento da normal. Achar as equaQoes da tangente e da normal no ponto dado. 2. 4. Y = x3-3 x; (2,2). Resp. 9x-y-16=0, x+9y-20=0. 2x + 1 Y = 3 _ x ; (,2 5). 7x-y-9=0, x+7y-37=0.. 2x'/ - xy + y2 = 16; (3,2). 5. y2 + 2 y - 4 x + 4 = 0; (1, -2). 6. Achar as equartoes da tangente e da normal a elipse b2x 2 + + a 2y2 = a 2b 2 no ponto (Xl, YI). Resp. b2XIX + a2YlY = a2b2, a2Ylx - b2XlY = XlYI (a 2 - b 2). 7. Achar as equaQoes da tangente e da normal e os compri- mentos da subtangente e da subnormal no ponto (Xl, YI) do circulo x 2 + y 2 = r2• yl2 Resp. XIX + YIY = r2, XIY - YIX = 0, - - , - Xl. Xl 8. Mostre que a subtangente aparabola y 2 = 2 px edividida ao meio pelo vertice e que a subnormal e constante e igual a p. Achar as equartoes da tangente e da normal e os comprimentoe da subtangente e da subnormal a cada uma das seguintes curvas nos pontos indicados. a 9. ay = x 2; (a, a). Resp. 2 X - Y = a, X + 2 Y = 3 a, 2" ' 2a. ) Ie 5 10. x 2 -4y2 =9;(5,2. 5x-8y=9,8x+5y=50,"i'",7' 11. 9 x2+ 4 y2 = 72; (2,3). 12. xy + y2 + 2 = 0; (3, -2). 13. Achar a area do triangulo formado pelo eixo dOB XX, a tan- 425 gente e a normal a curva y = 6 X - x 2 no ponto (5,5). Resp. 8 14. Achar a area do triangulo formado pelo eixo dos yy, a tangente e a normal a curva y2 = 9 - X no ponto (5, 2). 56 VARIAS APLICAcj5ES DA DERIVADA CAP. V Achar OS Angulos de interse<jB.o de cada um dos seguintes pares de .curvas. 15. y2 = x + 1, x 2+ y2 = 13. Resp. 109° 39'. 16. Y = 6 - x 2, 7x2+ y2 = 32. Resp. Em (± 2,2), 5° 54'; em (± 1, 5), 8° 58'. 17. Y = x2, y2 - 3 y = 2 x. 18. x2+ 4 y2 = 61, 2x2 - y2 = 41. Achar os pontos de contato das tangentes hoIizontais e vel'- ticais a cada uma das curvas seguintes. 19. y = 5 x - 2 x 2• Resp. Horizontal, (~, 2:). 20. .3 y2 - 6 y - x = O. Vertical, (-3, 1). 21. x2+ 6 xy + 25 y2 = 16. 22. x 2 - 8 xy + 25 y2 = 81. 23. x2 - 24 xy + 169 y2 = 25. 24. 169 x 2 + 10 xy + y2 = 144. Horizontal, (3, -1,) (- 3, 1). Vertical, (5, - t), (- 5, t)· 25. Mostrar que a hiperbole x2 - y2 = 5 e a elipse 4 x2+ + 9 y2 = 72 cortam-se ortogonalmente. 26. Mostrar que 0 circulo x 2+y2=8ax e a ciss6ide(2a-x)y2=x3• (a) sao ortogonais na origem; (b) cortam-se sob um Angulo de 45° em dois outros pontos (V. figura no Capitulo XXVI). 27. Mostrar que as tangentes ao folium de Descartes x3 + y3 = = 3 axy nos pontos onde ele encontra a parabola y2 = ax sao para- lelas ao eixo dos yy (V. figura no Capitulo XXVI). 28. Achar a eqU3.9aO da normal a parabola y = 5 x + x 2 que faz urn Angulo de 45° com 0 eixo dos xx. 29. Achar as equ3.9oes das tangentes ao circulo x2+ y2 = 58 que sao paralelas a reta 3 x - 7 y = 19. 30. Achar as equa<;:oes das normais a hiperbole 4 x 2 - y2 = 36 que sao paralelas a reta 2 x + 5 y = 4. 31. Achar as equa<;:oes das duas tangentes a elipse 4 x 2 + y2 = = 72 que passaro pelo ponto (4, 4). Resp. 2x + y = 12, 14x+y = 60. § 44 MAXIMO E MINIMO VALORES DE UMA FUNgAO 57 32. Mostrar que a soma dos segmentos interceptados sobre os eixos coordenados pela tangente em urn ponto qualquer da parabola 1 1 1 X2 + 1(2 = a2 e constante e igual a a, (V. fignra no Capitulo XXVI). 2 2 2 33. Dada a hipocicl6ide Xl + Y3 = ai, mostrar que 0 com- primento da poryao da tangente, em um ponto qualquer da curva, compreendido entre os ei."os coordenados e constante e igual a a. (V. figura no Capitulo XXVI). 34. Dma ~ola foi lanyada. A equayao da trajet6ria que seguiu 2 e y = X - 1~0 ; a unidade de comprimento e 0 metro, 0 eixo dos xx e horizontal e a bola foi atirada da origem. Pergunta-se: (a) sob que angulo foi a bola atirada; (b) sob que angulo a bola en- eontrara urn muro vertical situado a 75 metros do ponto inicial; (c) se a bola cai sobre um telhado horizontal de 16 metros de altura, qual 0 angulo de incidencia; (d) se atirada do cimo de uma casa de 24 metros de altura, qual 0 angulo de incidencla com 0 solo; (e) se atirada do cimo de uma coluna com declive de 45°, qual 0 angulo de incidencia com 0 solo. ~ ~:r 35. 0 cabo de uma ponte pencil se prende I--- ItO'-j1 em forma de parabola a dois pilares distantes entre si de 200 metros. 0 ponto mais baixo do cabo esta 40 me- tros abaixo dos pontos de suspensao. Achar 0 angulo entre 0 cabo e os pilares de suspensao. 44. - Mc'ixim.o e IIllniIIlo valores de UIIla funi;ao j introdu- ~ao. Em urn grande numero de problemas praticos devemos lidar com funyoes que tern urn maximo valor ou lim minimo valor, * e e importante saber que valor da variavel independente fornece urn tal valor para a funyao. Suponhamos, POI' exemplo, que se quer achar as dimensoes do retangulo de area maxima entre os que podem ser inscritos numa circunferencia de raio igual a 5 em. Trayando-se urn circulo de raio 5, inscrevendo-se-lhe urn retangulo qualquer e chamando de x uma das dimensoes desse retangulo, a figura abaixo fornece (1) A = x -vi100 - x 2 , tendo-se indicado com A a area do retangulo. Somos levados, • Pode existir mais de urn de cadI', como ae mostra no par§.grafo 48. 60 VARIAS APLICAgOES DA DERIVADA CAP. V Podemos tambem expnrmr a area de madeira necessaria em fun9ao de x, pois, chamando de }y[ essa area, temos M = area da base mais area das quatro faces. Ora, Area d~ base = x 2 em quadr. 432 Area das 4 faces = 4 xy = -- em quadr.; logo, x (2) x M 1 433 2 220 3 153 4 124 5 111 6 108 7 111 8 118 9 129 10 143 M = x2 + 432 . x M 250 225 200 175 150 125 100 , I I I I I I I 75 I I I II , , I I 50 I I I I I I I I I I25 I I I I I I I I I I 0 ~ ~ 6 7 8 9 X A formula (2) da a area de madeira necessaria para a constru9ao da caixa. Tracemos 0 grafico da fun9ao (2), como na figura. Que nos ensina 0 grdjico? (a) Be tra9ado com cuidado, podemos medir a ordenada COrres- pondente a qualquer comprimento (= x) do lado do quadrado base e assim determinar a area de madeira necessaria. (b) Ha uma tangente horizontal (RS). A ordenada do ponto de contato T emenor que qualquer outra ordenada; logo, esta obser- va9ao: uma das caixas requer menos madeira que qualquer das outras. Em outras palavras, podemos inferir que a fUD9ao definida pOl' (2) tern urn minimo valor. Vamos acha-lo, usando 0 calculo. Deri- vando (2), para obter 0 coeficiente angular em qualquer ponto, temos dM 432 -- 2x--·dx - x 2 § 45 FUNQOES CRESCENTES E DECRESCENTES 61 No ponto mais baixo T, 0 coeficiente angular a zero; logo isto a, quando x = 6 tem-se a menor area de madeira necessaria. Substituindo em (2) vemos que esta area a M = 108 cm quadI'. o fato de que 0 minimo valor de M existe, ve-se tambam com o seguinte raciocinio. Se a base a muito peqnena, a altura deve ser muito grande e pOl' isto a area da madeira necessaria a grande. Fazendo a base crescer, deve decrescer a altura e a area da ma- deira decresce. Isto, pOl'am, acontece ata certo ponto, pois, quando a base a excessivamente grande, 0 consumo de madeira a tambam muito grande. Portanto, M decresce de urn valor muito grande ate urn certo valor e depois deste torna a crescer novamente ate outro valor muito grande. Resulta dai que 0 grafico deve tel' urn ponto "mais baixo", correspondendo, precisamente, as dimensoes que requerem menor area de madeira. Passaremos agora ao estudo detalhado do assunto concernente a maximos e minimos. 45. - Fun~oes crescentes e decrescentes.* Uma fun gao y= f (x) diz-se crescente, se y cresce (algebricamente) quando x cresce. Diz-se decrescente, se y decresce (algebricamente) quando x decresce. o grafico de uma fungao indica claramente se ela a crescente ou decrescente. POl' exemplo, consideremos 0 grafico da Fig. a. Quando nos movemos sobre a curva da esquerda para a direita, observamos que ela sobe, isto e, quando x cresce, a fun<;iio (= y) cresce. Obviamentc,!1y e !1x tem 0 mesmo sinal. No grafico da Fig. b quando nos mo- vemos sabre a curva da esquerda para a direita, observamos que ela desce, isto a, quando x cresce, a fun9ao decresce. Nes- te caso, !1y e !1:t tern sinais contrarios. Yo o Fig. a * As demonstracOes dadas aqui dependem da intuiciio geom~trie8. 0 tratameoto analltico de assuntos de maximo e m!nimo sera leito no § 125. 62 VARIAS APLICA~6ES DA DERIVADA CAP. V Que uma curva possa ser crescente num intervalo e decrescente noutro, mostra-o 0 grafico (Fig. c) de (1) y = 2x3 - 9 x 2 + 12 x - 3. y Quando nos movemos sobre a curva da esquerda para a direita, observamos que ela sobe ate alcanc;ar 0 ponto A, depois desce desde A ate B e sobe, de novo, a partir de B. Logo (a) de x= - ro a x= 1, ajuni;uo ecrescente; (b) de x = 1 a x = 2, a juni;ao edecrescente; (c) de x= 2 a x =+ ro, a juni;M ecrescente. Fig. b x Em cada ponto, como C, onde a func;ao e crescente, a tangente faz urn angulo agudo com 0 eixo dos xx. 0 coeficiente angular e positivo. Em cada ponto, como D, onde a func;ao e decrescente, a tangente faz urn angulo obtuso com 0 eixo dos xx e, portanto, 0 coeficiente angular e y negativo. Temos, pois, 0 seguinte criterio: E Uma juni;uo e crescente quando sua deri- vada e positiva e decrescente quando a deri- vada e negativa. POI' exemplo, derivando (1) acima, temos Fig. c dy (2) dx = l' (x) = 6 x 2 - 18 x + 12 = 6 (x - 1) (x - 2). Quando x < 1, l' (x) e positiva, logo j (x) e crescente. Quando 1 < x < 2, j' (x) e negativa, logo j (x) e decrescente. Quando x > 2, l' (x) e positiva, logo j (x) e crescente. ~stes resultados estao de acordo com as conclusoes acima, obti- das do exame do grafico. 46. - MaxiIno e minimo valores de uma fun!;ao; defini- !;oes. Um maximo (valor) de uma func;ao j (x) e urn valor da fun- Ciao - digamos j (xo) - maior que todos os valores que a func;ao toma quando x e suficientemente pr6ximo a xo• § 47 EXAME DE UMA FUNQAO 65 Se 0 sinal da derivada e + para os ligeiramente menores e - para os ligeiramente maiores, e:n1ao a fun~ao tem um maximo para 0 valor cri- tico em exame; se eo contrario que se da, a funr;ao tem um minimo. Se o sinal nao muda, a fun~ao 000 tem maximo nem minimo. No TERCEIRO PASSO e conveniente, muitas vezes, fatorar j'"(x), como no § 46. Exemplo ilustrativo 1. No primeiro problema resolvido no § 44 mostra- mos, por meio do grMico do. funyao A = x .ylOO - x2 , que 0 retangulo de area maxima inscrito numa circunferencia de raio 5 m, mede 50 m2• lsto pode ser provado agora analiticamente pela aplicayao do. regra acima. SOLUQAO. Primeiro Passo. } (x) = x .ylOO - x2 . }' (x) ... 100 - 2 x2 . .y100 - x2 Segundo Passo. Pondo j'(x) = 0, temos x = 5 .y2 = 7,07 , que e 0 valor crftico. Toma-se apenas 0 sinal positivo do radical, pois, pela na- tureza do problema, 0 sinal negativo nao tem sentido. Terceiro Passo. Quando x < 5.y2, entao 2 x2 < 100, e j'(x) e +. Quando x > 5.y2, entao 2 x2 > 100, e j'(x) e - . Como 0 sinal do. derivada primeira muda de + para -, a funyao tem um maximo valor} (5 .y"2) = 5.y2 . 5 .y2 = 50. Resp. Exemplo ilustrativo 2. Examinar a funyiio (x - 1)2 (x + 1)3 no que con- cerne a maximos e millimos. SOLUQAO. } (x) = (x - 1)2 (x + 1)3. Primeiro Passo. }'(x) = 2 (x - 1) (x + 1)3 + 3 (x - 1)2 (x + 1)2 = = (x - 1) (x + 1)2 (5 x + 1) . Segundo passo. (x - 1) (x + 1)2 (5 x-I) = 0. Logo, x = I, - I, ~ , sao os valores crfticos. Y B Terceiro Passo. }'(x) = 5(x - 1) (x + 1)2(x- ~). Examinemos primeiro 0 valor crftico x = 1 (C -::;...A_"---::i....L.._.3l.ooC----: no. figura). X Quando x < 1,}'(x) = 5 (_) (+)2(+) = - . Quando x> 1,j'(x) = 5(+) (+)2(+) = +. Logo, quando x = 1 a funyao tem um mlnimo } (1) = 0 (= ordenada de C). Examinemos agora 0 valor crftico x = ~ (B, no. figura). 66 VARIAS APLICAgOES DA DERIVADA 1 Quando x < "5' f' (x) = 5 (-)(+)2 (-) = +. 1 Quando x > "5' l' (x) = 5 (- ) (+)2 ( +) = - . CAP. V Portanto, quando x = ~, a funQiio tem um ma.ximo f ( ~) = 1,11 (= or- denada de B) Examinemos finalmente 0 valor critico x = - 1 (A na figura) Quando x < -l,f' (x) = 5 (-) (_)2 (-) = +. Quando x> - 1,f' (x) = 5 (_) (+)2 (-) = +. Consequentemente, quando x = - 1, a funQao nao tem nem maximo :l0ID minimo. 48. - Maxhno ou rn.inirn.o quando l' (x) e infinita e 1 (x) continua. Consideremos 0 grafico da figura abaixo. Em B, ou G, 1 (x) e continua e tern urn maximo, mas 1 '(x) e infinita, pois a Fig. d tangente em B e paralela ao eixo dos yy. Em E, 1 (x) tern urn mi- nimo e l' (x) e infinita. Na pesquisa dos maximos e minimos de J (x), devemos, pois, incluir como valores crUicos os valores de x para os quais l' (x) einfinita, ou, 0 que ea mesma coisa, valores de x satis- fazendo (1) 1 l' (x) = O. o SEGUNDO PASSO da regra do paragrafo precedente deve entao ser ampliado, devendo-se considerar tambem a equa~ao (1). Os outros passos nao sofrem modifica~ao. Na figura d acima, observe que J' (x) etambern infinita em A, maS a fun~ao nao enem maxima nem minima na abscissa desse ponto. § 48 MA.x:rMO E MiNIMO QUANDO f' (X) E INFINITA 67 x p y o 2b I'(x) = - ----=:...:--1- 3 (x - C)3 2 J(x) = a - b (x - C)3.SOLUQAO. 2 Exemplo ilustrativo. Examina.r a fun¢o a - b (x -- c)ano que conceme a maximo e mmimo. 1 1 3(x -- c)1I J'(x) = -- 2 b Como x = c e um valor crftico no qual l' ~x) = 0, mas no qual} (x) nao e infinita, examinemos a funQao no que concerne a maxim.o e m.mimo quando x = c. Quando x < c, }' (x) = + Quando x > c, l' (x) = - . Logo, quando x = c = OM, a fun9ao tern urn maximo jf (c) := = a = MP. PROBLEMAS Examine cada uma das seguintes fun90es no que concerne aos maximos e minimos. 1. x3 - 6x 2 + 9 x. Resp. x = 1, da max. = 4. x = 3, da mIll. = O. 2. 10 + 12x - 3x2 - 2x3• X = 1, da max. = 17. x = -2,damfll. = - 10. 3. 2x3 + 3 x 2 + 12 x - 4. Nem max. nem mfn. 4. x3 + 2 x 2 - 15 x - 20. 5. 2x2 - x4• X = 0, da mIn. = O. x = ± 1, da max. = 1. x = 1, da mIn. = -3. 6. x4 - 4x. 7. x4 - x2 + 1. 8. 3 x4 - 4 x3 - 12 x 2• x = -1, da mm. = -5. x = 0, da max. = O. x = 2, dB. mIn. = -32. 9. x5 - 5x4• X = 0, da max. = O. x = 4, dB. mIll. = - 256. 10. 3 x5 - 20 x3• 2al x = a, da min. = 3 a'.11. x' +-'x 70 VARIAS APLICAQOES DA DERIVADA CAP. V (b) Quando c e uma constante positiva, cf (x) e um maximo ou um minimo para, e somente para, os valores de x que tornam maxima ou minima a fun~ao f (x). No exame do comportamento do' sinal de f' (x) bern como na determinar;ao dos valores criticos de x pode-se, pois, omitir qualquer fator constante. Quando c enegativa, cf (x) emaxima quando f (x) eminima e rec~ procamente. (c) Se c euma constante, f (x) e c + f (x) tem maximo e minimo valores para os me81lws valores de x. PROBLEMAS 1. Quer-se fazer uma caixa sem tampa de urn pedar;o quadrado de lata, cnjo lado mede a, cortando-se dos cantos da lata quadra- dOB iguais e depois dobrando convenientemente a parte residua. Qual deve ser 0 lado dos qnadrados cort·ados afim de que a caixa encerre 0 maximo volume? BOLUgAO. Beja. z = lade do quadrado cortado = = altura da caixaj enta~, a - 2 z = lade do quadrado formando o fundo da caixaj portanto V = (a - 2 x)2 z e 0 volume da caixa. Eata e a fun~ao cujo maximo se procura. Aplicando a regra, § 47, temos Primeira Pa880. dV dz = (a - 2 Z)2 - 4 z(a - 2 z) = a2 - 8 az + 12 z2. Segundo Pa880. A resolu~o de a2 - 8 az + 12 z2 = 0 fornece os valores cdticos z = ~ e ~. 2 6 :f; evidente que x = ; deve dar um minimo, pois neste caso a lata e toda cortada nao !:'obrando material para fazer a caixa. 0 outro valor critico x = : 2a3 fornece 0 "olume maximo 27 ' como se pode comprovar pem regra do § 47. Logo, 0 lado do quadrado a sar cortado de cada canto da lata e um sexto do lado da lata. Deixa-se ao leitor neste, e nos problemas seguintes, 0 trar;ado do grMico da iunr;ao. § 49 VALORES MAXIMO E MINIMO 71 2. Admit.indo-se que a resist8ncia de uma viga de segao trans- versa retangular varia na razao direta da largura e do quadrado da profundidade, que dimensoes deve tel' uma viga a ser senada de urn t.ronco de arvore de diimetro d, para que seja a mais resis- tente possivel? SOLUQAO. Se x = largura e y = profundidade, entao a viga teni maxima resistencia quando a func;iio xy2 for um maximo. Da figura, y2 = d2 - x2; logo, devemos examinar a fun9aO j (x) = X (d2 - :r?) . Primeiro Passo. j'(x) = - 2:r? + d2 - :r? = ~ - 3 :r? • Segundo Passo. ~ - 3:r? = o. .'. x = d_ = valor critico que da um V3 maximo. Portanto, se a viga for serrada de modo que Profundidade = ~f do diametro do tronco, e Largura = ~ do diametro do tronco, ela tera a maxima resistencia. 3. Qual a largura do retangulo de maXIma area que pode ser insllrito num dado segmento 0.1.1' de uma parabola? Sugeswo. Se OC = h, BC = h-x e PP' = 2 y, entao a area do retangulo PDD'P' e Y 2 (h - x) y. Mas como Pesta sobre a parabola y2 =2 px, a func;ao a ser examinada e a j (x) = 2 (h - x) V2 px 2 Resp. Largura = "3 h. 4. Achar a altura do cone de maximo volume inscritlvel numa esfera de raio r. :r? = BC X CD = y (2r - y) ; logo, a func;ao a ser examinada e 7r f (y) = "3 y2 (2r - y). Sugestao. 1 Volume do cone = "37r:r?y. Mas B A~ D Resp. 4 Altura do cone = 3' r. 5. Achar a altura do cilindro de maximo volume inscritivel num dado cone circular reto. 72 VARIAS APLICAQOES DA DERIVADA CAP. V SUGE8TAO. Seja AC = r e BC = h. Volume do ci- lindro = 7rx2y. Mas dos triAngulos semelhantes ABC e DBG, . r (h - y) r : x = h : h - y.. . x = h . Logo, a fun~ao a ser examinada Ii r (y) = hi y (h - y)2. 1 Resp. Altura = "3 h. 6. Cada urn dos tres lados de urn trapezio e igual a 10 em. Qual 0 comprimento do quarto lado para que a area seja maxima. Resp. 20 em. 7. Qual a razao entre os lados de um terreno retangular de area dada para que ao mura-Io e a seguir dividi-Io em dois pOl' um muro paralelo a um dos lados, seja minimo 0 comprimento total dos muros. Resp.: 2/3. 8. Quais devem ser as dimens5es de um jardim retangular de 432 m2 de area para que ao mura-lo gaste-se 0 minimo possivel, sabendo-se que 0 vizinho do lado paga a metade pelo muro que limita sua propriedade. Resp. 18 m X 24 m. 9. Um fabricante de radio acha que pode vender x aparelhos por semana a p cruzeiros cada, onde 5x = 375 - 3 p. 0 custo da prodUl~ao e (500 + 15 x + t x~) cruzeiros. Mostrar que se obtem 0 maximo lucro quando a produc;ao e aproximadamente de 30 aparelhos por semana. 10. Supondo-se no problema anterior que a relac;ao entre x e p seja x = 100 - 20 ~: ' mostrar que 0 maximo lucro e obtido quando 0 fabricante produz aproximadamente 25 aparelhos por semana. 11. Suponha-se no problema 9 que a relac;ao entre x e p e x 2 = 2500 - 20p. Quantos instrumentos devem se produzidos semanalmente para que haja maximo lucro? § 49 VALORES MAxIMO E MiNIMa 75 Area 4 a2• 25. A resistencia de uma viga retangular varia como a produto da largura pelo cuba da altura. Achar as dimens5es da viga rnais resistente que pode ser cortada de urn tronco cilfndrieo eujo raio e a. Resp. a X a vi Ad' ,. d b I ~ (m 2+1) ~;2 26, .'"1. equagao a traJetona e uma a a t: y=m:1;- 800 ' onde a origem ea ponto do qual a bola e langada e mea coefieiente angular da curva na origem. Para que valor de m a bola atingira (a) a maxima distlneia sabre a mesmo nivel horizontal, (b) a maxima altura sabre uma parede vert,ieal distante de 300 pes. Resp. (a) 1; (b) 4/3. 27. Uma janela de perimetro p tern a forma de urn retangulo eneimado par urn triangulo retangular isosceles. :YIostrar que a 1uz pela janela e maxima, quando as lados do retangulo sao iguais aos lados do tria-ngulo. 28. Dada a soma das areas de uma esfera e urn cuba, mostrar que a soma dos seus volumes sera minima quando a diametro da esfera for igual a aresta do cuba. Quando e que e maxima a soma dos volumes? 29. Achar as dimens5es do maior retangulo inscritivel na elipse 2 ?/2 ~ + -'" =] Resp. a V2 X b V2.a 2 b2 • 30. Dentre todos as retangulos com base sabre a eixo dos xx 8 a3 e com dais vertices sabre a CUl'va de equagao y = x 2 + 4 a2 • (V. figura no Capitulo XXVI), achar a de maxima area. Resp. 31. Achar a razao entre a area da menor elipse que pode ser circunscrita a urn retangulo e a area do retangulo. A area de uma e1ipse e 7ra9, onele a e b sao as semi-eixos. Resp. ! 7r. 32. 0,3 dais vertices inferiores de urn trapezia isosceles sao as pontos (- 6, 0) e (6, 0). Os dais vertices superiores estao sabre a curva x 2 + 4 y = 36. Achar a area do maximo trapezia nestas eondigoes. Resp. 64. 33. A distancia entre as centros de duas esferas de raios a e b respectivamente e c. Achar de que ponto P sabre a reta dos een- 76 V.AroAS APLICAgOES DA DERIVADA CAP. V Resp. tros AB ve-se 0 maximo de superficie esferica (A area da super-. ficie de uma zona de altura h e 27rrh, onde reo raio da esfera). I caT I I unidades de A. a"2+bT 34. Achar as dimensoes do maximo paralelepipedo com base quadrada que pode ser cortado de uma esfera de raio r. Resp. h = f1' 0. 35. Dada uma esfera de raio 6, calcular a altura de cada um dos seguintes s6lidos: (a) cilindro circular reto de maximo volume inscrito na esfern; (b) cilindro circular reto de maxima area total inscrito na esfera; (c) cone reto de minimo volume circunscrito na esfera. Resp. (a) 4 V3; (b) 6,31; (c) 24. 36. Prove que uma barraca conica de dada capacidade neces- sita do minimo de fazenda quando a altura e y2 vezes 0 raio da base. Mostre que quando a fazenda e estendida no chao tem-se um dr- 'culo do qual se cortou um setor de 1520 9'. Quanta fazenda e neces- saria para Uilla barraca de 10 pes de altura? Resp. 272 pes quadrados. 37. Dado urn ponto sobre 0 eixo da parabola y2 = 2 px a dis- Mncia a do vertice, achar a abscissa do ponto sobre a curva que e 0 mais pr6ximo do ponto dado. Resp. x = a - p. 38. Achar sabre a curva 2 y = x 2 0 ponto mais pr6ximo do ponto (4, 1). Resp. (2,2). 39. Sendo PQ 0 maior ou 0 menor segmento que pode ser tra- (,lado do ponto P (a, b) a curva y = j (x), provar que a reta PQ e perpendicular a tangente a curva em Q. 40. Vma f6rmula de eficiencia de urn parafu,so e E= h(~-ht~(), +tg onde () e 0 angulo de fric(,lao e h 0 passo do parafuso. Achar h para maxima eficiencia. Resp. h = sec () - tg e. 41. A distancia entre duas fontes de calor A e B com intensi- doades a e b respectivamente, e l. A intensidade total do calor num DERIVADA COMO VELOCIDADE DE VARIA.QAO 77 ponto P entre A e B e dada pela f6rmula a b I = -;2 + (l - X)2 ' onde x e a distancia de P a A. Para que posi- c;ao de P sera mais baixa a temperatura? .A P Bt=;t-j l-i I aTl Resp. x = I I • aT +bT 42. A base inferior de um trapezio is6sceles e 0 eixo maior de uma elipse; as extremidades da base superior sao pontos da elipse. Mostrar que 0 maximo trapezio deste tipo e tal que 0 comprimento da base superior e metade do da base inferior. 43. Dentre todos os triangulos is6sceles de vertice em (0, b), inscritos na elipse b2x 2 + a2y 2 = a2b2, achar a base do de area ma- xima. Resp. 2 y + b = O. 44. Achar a base e a altura do triangulo is6scelcs de area mi- nima que circunscreve a elipse b2x 2 + a2y2 = a2b2 e cuja base e para- lela ao eixo dos xx. Resp. Altura 3 b; base 2 a vi 45. Seja P (a, b) um ponto do primeiro quadrante. Pelo ponto P tracemos uma reta cortando os serni-eixos positivos OX e OY nos pontos A e B respectivamente. Calcular os segmentos determinados sabre OX e OY nos seguintes casos: (a) quando a area OAB e minima; (b) quando 0 comprimento AB e minimo; (c) quando a soma dos segmentos determinados sabre os semi-eixos e minima; (d) quando a distancia de 0 a AB e maxima. I 2 2 I Resp. (a) 2 a, 2 b; (b) a + aT b"3, b + aa b"3; (c) a + V"(;b, b + vab; (d) a 2 + b2 a 50. - Derivada COIDO velocidade de varia!rao. No § 23 a relac;ao funcional (1) y = x 2 (2) deu como razao entre os correspondentes acrescimos Ay /1x=2x+Ax. 80 VARIAS APLICAQOES DA DERIVADA CAP.Y Para 0 caso geral de um movimento de natureza qualquer, uni- forme ou nao, definimos a velocidade num dado instante como 0 limite da velocidade media quando !1t tende a zero, isto e, (C) dsv = dj' A velocidade num dado instante e a derivada da distanc,ia (= es- p~o) em rela~ao ao tempo, calculana nesse instante. Quando v e positiva, a distancia s e uma fun<;ao crescente de t e 0 ponto P se move na direr;ao AB. Quando v e negativa, s e uma fun<;ao decrescente de t e P se move na direr;ao BA.. (§ 45). Para mostrar que esta defini<;ao de velocidade esta. de acordo com a que ja tinhamos intuitivamente, procuremos a velocidade de um corpo que cai, no fim de dois segundos. A experi~ncia mostra que urn corpo que cai livremente da po- sir;ao de repouso num vacuo perla da superficie da terra segue apro- ximadamente a lei (2) onde s = altura da queda em metros, t = tempo, em segundos. Aplicando a Regra Geral (§ 27) a fun<;ao (2), temos: PRIMEIRO P ASSO. SEGUNDO PASSO. TEROEIRO PASSO. Fazendo t = 2, (3) s + !1s = 4,9 (t + !1t)2 = 4,9 t 2+ 9,8 t.!1t + + 4,9 (!1t)2. !1s = 9,8 t . !1t + 4,9 (!1t)2. ~s = 9,8 t + 4, 9!1t = velocidane media ut . al deno '/,nterv 0 tempo !1t. 19,6 + 4,9 !1t = velocidademldiano intervalo de tem- po !1t depois de dois segundos de queda. N ossa nor;ao intuitiva de velocidade nos diz logo que (3) nao .pode dar a velocidade no Jim de dais segundos, pois mesmo que !1t §'52 VELOCIDADES INTER-RELACIONADAS 81 d· 1 I dseja muito pequeno - 19amos 100 ou 1000 e urn segundo, (3) / continua dando somente a velocidade media durante 0 correspon- dente pequeno intervalo de tempo. 0 que entendemos, pois, pOl' velocidade no fim de dois segundos e 0 . limite da velocidade media quando At diminui tendendo a zero, no caso atual, 19,6 metros pOl' segundo, como resulta de (3). Assim, a no<;:ao de velocidade que adquirimos com a experieneia, envolve :1 ideia de limite, ou . As dv = hm - = 19,6 m pOl' segun o. .0.1-+0 At 52. - Velocidades inter-relacionadas. Emmwtos problemas. aparecem diversas variaveis, sendo cada uma delas uma funyao do tempo, relacionadas entre si pelas condiyOes do problema. As re- la90es entre as velocidades de variayB.o, em relayB.o 800 tempo, das variaveis sao obtidas pOl' derivayB.o. A regra abaixo e muito utH na resoluyB.o destes problemas. PRIMEIRO PASSO. Trace uma jigura ilustrando 0 problema. In. dique por x, y, z, etc. as grandezas que variam com 0 tempo. SEGUNDO PASSO. Obtenha 1lma rela~ao entre as varidveis, valida em cada instante. TERCEIRO PASSO. Derive em rela¢o ao tempo. QUARTO PASSO. F~a uma lista dos dados e das incOgnitas. QUINTO PASSO. SUbstitua as grandezas conhecidas no resultado que achou por deriv~ao (terceiro passo) e resolva a equa~ao assim .obtida. PROBLBMAS 1. Um homem anda a razao de 5 milhas POl' hora em direyB.o a base de uma torre de 60 pes de altura. Com que rapidez ele se av,izinha do topo quando csta a 80 pes da base da torre? SOLUl,;A:O. Aplicando a regra acima, Primeiro Passo. Tracemos a figura. Sejam x = diatAncia entre 0 homem e a base, y = distancia entre 0 homem e 0 tOpo da torre, em cada instante. Segundo Passo. Como temoa um triangulo retangulo, 11 = :r? + 3600. 82 VARIAS APLICAgOES DA DERIVADA CAP. V dy dx 2 y dt = 2 x di' ou dy x dx di=ydi' Terceiro Passo. Derivando, obtemos (1) 1 ~__...;;:x,--_~l M lsto signifiea que, em eada instante, (Velocidade de varia9ao de y) = .::. vezes (velocidade de varia9ao de x). y Quarto passo. x = 80, . y = V Xl + 3600 = 100 dx i1h hdi = - 5 m as por ora = - 5 X 5280 pes por hora. dy di = ? Quinto Passo. Substituindo em (1), dy 80 dt = - 100 X 5 X 5280 pes por hora = - 4 milhas por hora. Resp. 2. Urn ponto move-se sabre a parabola 6 y = x 2 de modo tal que quando x = 6 a abscissa cresce com a velocidade de 2 em par segundo. Com que velocidade cresce a ordenada nesse instante? x = 6. (2) Terceiro Passo. lsto signifiea que, em cada ponto do. parabola, (velocidade da ordenada) = ~ vezes (velocidade da abscissa) dxIII = 2 em por segundo.Quarto Passo. SOLU~AO. Primeiro Passo. Desenhemo6 a parabola Segundo Passo. 6 y = Xl. 6 dy = 2 dx ou dt x dt ' Xl y = 6 = 6. dy-- = ? dt Quinto Passo. Substituindo em (2), dy 6di = "3 X 2 = 4 em por segundo. Resp. Do primeiro resultado notamos que no ponto P (6, 6) a ordenada varia duns vezes mais rapidamente que a abscissa. § 52 VELOCIDADES INTER-RELACIONADAS 85 14. N um determinado instante as tres dimensoes de um para- lelepipecIo retangulo sao 6 em, 8 em, e 10 em e erescem com as velo- eidades de 0,2 em por segundo, 0,3 em por segundo, 0,1 em por se- gundo respeetivamente. Com que veloeidade crescent 0 volume do paralelepipedo? 15. 0 periodo (P seg.) de uma oseilaQao eompleta de urn pen. dulo de eomprimento l pol. e dado pela formula P = 0,324 vz. Aehar a veloeidade com que varia 0 periodo em relaQao ao eompri- mento quando l = 9 pol. Por meio deste resultado dar aproxima- damente a variaQao de P eausada pela val'iaQao de l de 9 para 9,2 pol. Resp. 0,054 seg por pol; 0,0108 seg. 16. 0 diametro e a altura de urn cilindro reto regular sao num determinado instante 10 em e 20 em· respeetivamente. Se 0 dia- metro ereseer 1 em pOl' minuto, como variant a altura do eilindro se seu volume permaneeer eonstante? Resp. Deereseera 4 em pOl' minuto. 17. 0 raio da base de urn cone cresce 3 em por minuto e sua altura decresce 4 em por minuto. Como variara a area total do cone quando 0 raio for igual a 7 em e a altura 24 em. Resp. Crescera 967f" cm2 POl' minuto. 18. Urn cilindro de raio r e altura h tern um hemisferio de raio r eolocado em cada extremidade. Se r crescer t em pOl' minuto, como devera h variar para manter 0 volume do curpo 0 mesmo que no ins- tante em que r e igual a 10 em e h igual a 20 em. 19. Deixa-se cair uma pedra num POQo e, t segundos depois, outra. Mostrar que a distancia entre as pedras cresee com a vela- cidade de t.g pes por segundo. 20. Urn balao contem 1000 pes cubicos de gas a pressao de 5 libras POl' polcgada quadrada. Se a pressao decresce na razao de 0,05 libras por polegada quadrada por hora, com que velocidade eresce 0 volume (use a lei de Boyle: pv = c). Resp. 10 pes eubicos pOl' hora. 21. A lei adiabatiea para a expansao do ar e pp.4 = C. Se- o volume observado num determinado instante, e igual a 10 pee 86 VARIAS APLICAQOES DA DERIVADA CAP. V cubicos e a pressao e de 50 libras POl' polegada quadrada, como va- riara a pressao se 0 volume decrescer de 1 pe cubico pOl' segundo? Resp. Crescera 7 libras pOI' polegada quadrada POI' segundo. 22. Se y = 4 x - x 3 e x cresce constantemente de 1/3 de uni- dade pOI' segundo, achar com que velocidade 0 coeficiente angular da curva varia no instante em que x = 2. Resp. Decrescendo 4 unidades pOI' segundo. 23. De uma torneira cai ligua em urn vaso de forma hemisfe- rica, com 14 em de diametro, it razao de 2 cm3 pOI' segundo, Com que velocidade esta a agua subindo: (a) quando ocupa a metade do vaso? (b) quando comeya a transbordar? (0 volume do segmento esferico e 7T' r h2 - f 7T' h3 , onde h e a altura do segmento). 24. De urn balao esferico escapam 1 000 cm3 de gas pOI' minuto. No instante em que 0 raio e igual a 10 cm: (a) com que velocidade o raio decresce? (b) com qun velocidade a superficie decresce? Resp. 200 cm2 pOl' minuto, o volume, 25. Se r representa 0 raia de uma dV r dS provar a rela9ao - = - - . dt 2 dt esfera, S a superficie e V 26. 0 leito de uma estrada de ferro forma com uma estrada de rodagem urn angulo de 600 • Uma locomotiva esta a 500 m da in- terse9ao e se afasta dela com a velocidade de 60 kIn pOI' nora. Urn automovel esta a 500 m da interse9ao e para eIa se dirige com 'a velo- cidade de 30 km pOI' hora. Qual e a velocidade de varia9ao da distancia entre a locomotiva e 0 automovel? Resp. Cresce 15 km pOI' hora ou 15 V3 km pOI' hora. 27. Uma tina horizontal com 10 m de comprimento tem como se9ao vertical urn triangulo retangula isosceles. Enche-se a tina de agua it razao de 8 m3 pOI' minuto. Com que velocidade sobe a superficie da agua quando a mesma tern 2 m de profundidade? R 1 .esp. '5 m pOI' mmuto. 28. No problema 27, que volume de agua deve ser derramadn pOI' minuto para que 0 seu nivel suba t m pOI' min. quando a agua tem 3 metros de profundidade? 29. Urn recipiente horizontal com 12 m de comprimento tem como se9ao vertical, urn trapezio. 0 fundo deste mede 3 m e seus § 52 VELOCIDADES INTER-RELAClONADAS 87 lados sao inclinados, em rclac;ao a vertical, de um Angulo cujo seno e t. Neste recipiente a agua esta senda derramada a raziio de 10 m3 pOl' minuto. Com que velocidade sobe 0 nivel da agua quando ela tern 2 m de profundidade? 30. No Problema 29, com que velocidade a agua cleve ser reti- rada do recipiente para que 0 seu rrivel baixe de 0,1 m POI' minuto quando ela tern 3 m de profundidade? 31. A abscissa da interseoao com 0 eixo dos xx da reta tan- gente ao ramo positivo da hiperbole xy = 4 creRce de 3 unidades pOI' segundo. Seja B a intersec;ao da mesma tangente com 0 eixo dos yy. Achar a velocidade de B no fim de 5 segundos, sabendo-se que a abscissa da intel'sec;aO com 0 eixo dos xx parte da origem. Resp. - ~ unidades POI' segundo. 32. Urn ponto P se move ao longo da parabola y2 = x de modo que Sua abscissa cres9a na razao constante de k unidades POI' se- gundo. A projec;ao de P sabre 0 eixo dos xx e M. Com que velo- cidade varia a area do tl'iangulo OMP quando Pesta no ponto para o qual x = a? 3 _ /- Resp. 4' k va unidades pOI' segundo. OurROS PROBLEMAS 1. Retangulos inscritos na area limitada pela parabola y2= 16 x e a sua corda focal perpendicular ao eixo e tais que urn de seus lados esteja sempre sobre a corda focal, servem de base a paralelepipedos retangulos cujas alturas sao sempre iguais as do lado paralelo ao eixo dos xx. Achar 0 volume do maior desses paralelepipedos. 4096 _ r Resp. 125 V 5 = 73,27. 2. Dentre as elipses simetricas em relac;ao aos eixos cOOl·de- nados, passando pelo ponto fixo (h, k) achar a de area minima. Resp. k 2x2 + h2y2 = 2 h2k 2 • 3. A curva x 3 - 3 xy + y3 = 0 tern urn' trecho no primeiro quadrante simetrico em rela9ao a reta y = x. Triangulos isosceles tendo urn vertice comum na origem e bases sobre a reta x + y = a, estao inscritos nesse trecho. Para que valor de a se obtem urn tl'i- angulo de area maxima. Resp. t (1 + V 13) = 2,303. 4. De urn ponto P, do primeiro quadrante, situado sobre a <.:urva· 11 = 'i - x 2, tra90u-se uma tangente, que cortou os eixos COOl'·