Baixe Pai - 1 - matemática auto instrutivo - professor e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! VINaI 8 INOIdIIS
e VJNVINAIVIA
SCIPIONE DI PIERRO NETTO
CELIA CONTIN GOES
Tim Matemática
2ºGRAU Processo Aunto-lnstrutivo
SCIPIONE DI PIERRO NETTO
Doutor em Educação pela Faculdade de Educação da Universi-
dade de São Paulo.
Professor de Prática de Ensino de Matemática da Universidade
de São Paulo e da Universidade Católica de São Paulo.
Professor Titular de Matemática do Ex Colégio de Aplicação
da Universidade de São Paulo.
Professor Efetivo de Matemática do Magistério Oficial do Estado
de São Paulo.
CÉLIA CONTIN GOES
Mestre em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística
de São Paulo.
Professora Contratada do Instituto de Matemática e Estatística
da Universidade de São Paulo.
Professora Titular de Matemática do Ex Colégio de Aplicação
da Universidade de São Paulo.
Professora Efetiva de Matemática do Magistério Oficial do Estado
de São Paulo.
Apresentacão
Aqui está um manual onde o aluno deve trabalhar muito com Matemática.
Pretende-se uma auto instrução através do trabalho contínuo e gradual, a partir
de exercícios sempre muito simples, porém numerosos.
Pode-se perceber que a gradação permite que o principiante faça todos os
exercícios, bastando apenas que trabalhe com seriedade e leia o texto. O trabalho
destinado ao aluno e que convencionamos chamar-se FAÇA VOCÊ, deve permitir
a interiorização do conhecimento assim como os primeiros mecanismos de fixação
do aprendizado; essa fixação é reforçada por séries de EXERCÍCIOS DE REVISÃO
ao final de cada capítulo.
Trata-se, como se vê, de um esquema que permite o progresso do aluno,
mesmo quando o número de aulas semanais é reduzido - três ou quatro por
exemplo, — pois a independência do aluno em relação ao professor pode tornar-se
bem maior em textos desta natureza. Neste caso, o mestre é antes um orientador
de uma oficina de trabalho do que o magister a ensinar pormenores.
São 93 sequências do tipo FAÇA VOCÊ e 62 seqiiências de EXERCÍCIOS
DE REVISÃO. Com este trabalho espera-se proporcionar oportunidades para que
o aluno atinja o mínimo de suficiência desejada a um curso de 2º grau.
O FAÇA VOCÊ poderá ser feito no próprio livro quando o espaço deixado
o permitir. Todavia um bom caderno é sempre melhor solução. Esperamos
contribuir desta forma para que os cursos que contam com alunos de nível pouco
satisfatório, possam progredir o suficiente a partir de exercícios muito simples —
algumas vezes até banais — e chegar ao indispensável para um curso de 2º grau.
Os autores agradecem antecipadamente pelas sugestões ou críticas constru-
tivas.
Os Autores
CAPÍTULO 7 — A FUNÇÃO EXPONENCIAL 79
34. DEFINIÇÃO ....ili nie 79
35. GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL. ........ciiiiiiio 80
36. OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS DO TIPO am e br; a, bm, nE R .. B
37. APLICAÇÕES ......lliii 85
CAPITULO 8 — ESTUDO DOS LOGARITMOS 88
39. O CONCEITO DE LOGARITMO .........lil iii ss
40. DEFINIÇÃO: LOGARITMO DE UM REAL POSITIVO NUMA CERTA BASE . 89
41. APLICAÇÕES DA DEFINIÇÃO. .......liiiiiii
42. A FUNÇÃO LOGARÍTMICA - DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM
43. GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA. .........cciiiiiio
44. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA.. .
45. APLICAÇÕES ......ililiitiis
46. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ........iiiiiii
47. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS.........ciic
48. LOGARITMOS DECIMAIS ........iiiiiiisiiiio
49. CARACTERÍSTICA E MANTISSA DO LOGARITMO DECIMAL. .
50. TEOREMAS DA CARACTERÍSTICA .......
51. TEOREMA DA MANTISSA.............
52. OPERAÇÕES COM LOGARITMOS ........
53. TÁBUAS DOS LOGARITMOS DECIMAIS. ...
54. APLICAÇÕES .......ioc 121º
CAPÍTULO 9 — TRIGONOMETRIA 126
56. ARCOS... ..ii iii siso 126
57. OS CONCEITOS DE SENO E COSSENO DE UM ARCO . 137
58. A FUNÇÃO SENO..............io.o 137
59. A FUNÇÃO COSSENO............... 139
60. PRIMEIRA RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA . 144
61. IDENTIDADES E EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ........iiiiiiiiiiiicicise 147
62. A FUNÇÃO TANGENTE .......lciiiiiii iii 150
63. RESOLUÇÃO GERAL DE ALGUMAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM TGX............... 156
64. A FUNÇÃO COTANGENTE ........iciiic 158
65. AS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS..........iciiiiiiis 161
66. AS FUNÇÕES SECANTE E COSSECANTE .......iiiiiiiiiiiiiii 163
67. AS RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA. .......iiiiiiiiiiiiiti 168
68. RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DERIVADAS DAS FUNDAMENTAIS. ........ciciciiiioo 168
69. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS........iiiiiiiisiiiii iss 17
70. DUPLICAÇÃO DE ARCOS..... 175
71. BISSEÇÃO DE ARCOS ....... 175
72. OUTRAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ... 179
73. TRANSFORMAÇÕES EM PRODUTO. ........ 181
74. RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS ... 183
75. RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER. . 186
capítulo CONJUNTOS
1. CONJUNTOS DADOS POR UMA PROPRIEDADE
1.1. Você tem a seguir alguns conjuntos dados pelos seus elementos:
A=(0,1,2,3,4,5)
B=(0,2,4,6,8,10,1
Cc
S
que podem ser escritos através de uma propriedade característica de seus elementos; assim os representamos:
A=[xIxeN e x<s5)
B=(xixEN, xépare x< 2)
C = (xx é vogal do alfabeto latino)
n
n+1
D= (xix= (1) e ne N)
1.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 1
Escreva, através de uma propriedade, os seguintes conjuntos dados por seus elementos:
a A=(1,3,5,7,9)
b) B= e) G= (3,10, 17,24,31, 38
G= Lx.
1.3. Também é possível o caminho inverso, ou seja, dado um conjunto por uma propriedade, escrevê-lo pelos seus
elementos ou em extensão:
Veja:
aA=(xix=2p+3, pEN e p<s5)
A=(3,5,7,9, 11, 13)
1.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 2
Escreva os seguintes conjuntos, através de seus elementos:
a A=(xIxEN e x<7)
A=
b) B= 2p+1, PEN e p<5)
pra à AD.
9 C=(xlx=(nEk e kEN)
c o
a D=(x|x2-9=0 e xEN)
O E=(xx2-9=0 e xe 2)
Ba f=2 al
b)B=(xIxEZ e 2<x<4)
B=(-2,-1,0,1,2,3)
9 F=(xx=2:3" e nEN)
2 G=(xlxeEn)
c=la
mH=(IZ En)
HÁ, pat LR
pi=tdia+-a-n=4 e xEZ)
1=Í.
pJ=(kIxeZz e 3<x<5)
Joafrnch o pidia do nda
2. UNIVERSO — SENTENÇAS NUM DADO UNIVERSO
2.1. Considere o conjunto U que será o universo ou o conjunto universal das sentenças que proporemos a seguir:
U=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)
e as sentenças s,, 82, 83 e sq, onde x E U:
ss: 2x-12=0
s: 2x-15=0
8: xX2-5x+6=0
se; Ra] = (url) 1)
Pergunta-se:
a) Todo elemento de U satisfaz s;?
b) Existe algum elemento de U que satisfaz s,?
c) Existe um e um só elemento de U que satisfaz s;?
ou simbolicamente:
a) Mx E U=>2x - 12=0? (sesignifica todo ou qualquer que seja)
DIxeUlZzx-12=0? (Isignifica existe)
gaxeul2x-12=07 (Ibignifica existe um único)
xté o quantificador universal
Jéo quantificador existencial
Veja:
ss: 2X-12=0 e» 2Xx=12 > x=6 e 6€U portanto, existe um único elemento de U, que
satisfaz s,.
ou: =
IJxeul2x-12=0
6. Seja U=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10)
Assinale com V ou F, cada uma das seguintes sentenças, conforme sejam verdadeiras ou falsas:
DM xEU>x<10 (vw)
b) 3x EU | xé primo Tao)
o dlxeu | xé par CF)
a) 3Ix EU | x é múltiplo de 10 (o
o ÁxEU | xé ímpar cp
9IxEeu|x Eu 9
galxeu|x EU cp
mIIxeu |x=2" para algum nEN(E)
2.3. Vamos escrever sentenças matemáticas em linguagem simbólica, usando os símbolos:
x+: denomina-se: quantificador universal
significa: qualquer que seja
3: denomina-se: quantificador existencial
significa: existe
A : denomina-se: negação do quantificador existencial
significa: não existe
dl: denomina-se: quantificador existencial particular
significa: existe um único
> : denomina-se: implicação simples
significa: implica que
DYxEU>x+1EU
DYxEU>xEN
WIxEU| xEU
paxeulx-6= 2
malxeu ZEN
DÁxEUIXEN
DÁxEUIx+ISEU
<=: denomina-se: dupla implicação ou equivalência lógica
significa: se e somente se ou é equivalente a
Dado como universo U, o conjunto Z, dos números inteiros, ou:
U=Z=(...,-3,-2,-1,0,1,2,3, e)
e a sentença:
ss: 2x+ 10< 20
Veja:
2X +10<20 e X<.. - x<.á
portanto, para sy:
vo 1 4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4)
ou =(xxEZ e x<5)
Diremos simbolicamente:
IxeUl2x+10<20
Seja agora a sentença s,, ou:
s: 2x+10=
Veja:
2x + 10=15 - 2x=.
portanto, para s,:
v=s
Diremos simbolicamente:
Axeulax+10=
(e
(69)
(4)
(9)
(9)
[64]
(04)
2.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 4
Considere U = Z e escreva simbolicamente a sentença
correspondente ao conjunto verdade de cada sentença:
a sixt1=2xX-3
portanto:
dlxeu..
bs: K+D(x-2D)=x2-x-2
xt x-% eu! x-à
portanto:
«A x EV alma)
o sa: x2+2x+1<0
x*+ ax ti =0 4x". x
vob
portanto:
Áxecu!
OS SUBCONJUNTOS
31.
e os conjuntos determinados pelas sentenças:
d) sq: 2x2-7x+3=0
x « HEvAS au e x-3 04 x
V= 43) »
portanto:
" Tx e lza
e x+1>2
ss:
XrLDLXE X- RX DL x< 1
V=Ã Deck
portanto:
A Pe LL doe
Ds x=3x+1
x=Ix+im-
V= LiMal..
portanto:
Aim Bin Dto
ds K+1-2x=x2+1
t+ Les teto dra
portanto:
E ate (at
'
Ed REAR Moses
Consideremos como universo o conjunto N dos números naturais, ou:
U=N=[0,1,2,3,4,
Ss: O conjunto A dos números naturais pares
A = TO, 2,4, 6, seres)
Ss: o conjunto B dos números naturais ímpares
Bsti3os o):
ss: o conjunto C das metades dos números naturais
— cost lido » bm +
ss: o conjunto D dos números do tipo x = 2a + 3, com a € NN.
D= (3,5, bi, eus ends, cho, 15, ceeeeee)
ss: o conjunto E dos números do tipo x = 2a + 1, coma E Z.
Veja em E teremos:
a= => x a=
a= a=
a=0=> x
l== x
2=> x
onde:
Sa:
ss:
Vê-se que
YxeEA= xEeU
WxeB= xEU
IxeCcixgu
x ED a XEU
Lizemos que
r
A é subconjunto de U
ou
A está contido em U
B é subconjunto de U
ou
B está contido em U
C não é subconjunto de U
ou
C não está contido em U
D é subconjunto de U
ou
D está contido em U
E não é subconjunto de U
ou
E não está contido em U
BCU
cgu
DCU
EZU
Como:
A está contido em U é equivalente a U contém A.
também se representa:
e pode-se então definir:
Observe:
La, b)=(b,a) 3.(1,2,5) =. (5,2, 1)
2. (a,a) = (a) 4. (a,b,c,c) =. (a,b, c)
Portanto:
a) Um mesmo elemento não se repete num mesmo conjunto.
b) A ordem dos elementos num conjunto não é importante.
5. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Você já conhece os conjuntos numéricos fundamentais:
JN =(0,1,2,3 dos números naturais
N*=(1,2,3,4, dos números naturais diferentes de zero.
b) Z=(......,-3,-2,-1,0,1,2,3,........J dos números inteiros
Z*=(xEZIx+0)
o Q=(xix=2 com pPEZ, qEZ* e p,q primos entre si) dos números racionais
0*=[x€ QIx+0)
ee
pois:
a) todo número natural é um número inteiro.
b) todo número inteiro é um número racional, isto é: todo número inteiro pode ser escrito em forma de fração.
Veja:
Er == Qim
3=7; 4=-T; 0=5
De um modo geral:
wa E Z, pode-se escrever: e]
5.1. PROPRIEDADE DOS NÚMEROS RACIONAIS.
Entre dois números racionais, sempre existe um outro número racional.
be
hipótese: 4 * Q tese: (Ice Qtalque a<c<b
a<b
Prova:
Consideremos a desigualdade a < b e adicionemos aos seus dois membros um mesmo valor; a desigualdade
se conservará:
a<b a<b
ata<b+a a+b<b+b
22<bta a+b< 2h.
b+a a+b
a<s persas
10
então, podemos escrever:
a< Atb
<b
onde
a+b sP.ceo
z é um número racional, isto é:
logo, IcEQla<c<b, quaisquer que sejam a, bEQ e a<b.
É fácil ver como consequência, que:
Entre dois números racionais quaisquer, sta ueerO TeERÓNR
SURG so “af
5.2. OS NÚMEROS IRRACIONAIS
Num primeiro estudo, vamos mostrar que existem números que não se escrevem sob a forma 2 com pEz.
qEZ* e p,q primos entre si, isto é, mdc(p, q) = 1. E
O número V'2, por exemplo, é um deles.
Suponhamos que 2 possa ser escrito em forma de fração, isto é:
V2 = + para algum p em Z e algum q em Z*, tal que mdc(p, q) = 1
Provemos que isto é um absurdo:
2
v2 e > 2=& o p=2q)=—
= p? seria um número par > p seria| par |, pois se um quadrado perfeito é par, sua raiz também é par.
Então p seria da forma:
p = 2m, para algum m em Z.
substituindo-se em p? = 2q?, temos:
Cmt = dq o.
> q? seria par=> q seria | par
Mas se p e q são pares > p e q não são primos entre si, o que é absurdo, pois mdc(p, q) =
Logo V 2 não é um número racional, ou seja, 2 é um número irracional.
São irracionais os números: 2, 3, 5, V7, etc. isto é, raízes quadradás de números que não são
quadrados perfeitos, são exemplos de números irracionais.
Todo número irracional, escrito sob a forma decimal, apresenta infinitas casas decimais, e que não são periódicas.
5.3. OS IRRACIONAIS E A RETA NUMERADA
Você já sabe como localizar os números racionais numa reta numerada.
Vamos localizar um número irracional, no caso, 2, na reta numerada:
“
Basta construir um quadrado de lado unitário e sua diagonal d terá medida igual a /2, pois:
Pers d=2 es d=V2
- o TERES 2 a) 4 5
Assim como o número V2,, todos os outros números irracionais podem ser representados na reta numerada.
Do que se conclui!!!
O conjunto que contém todos os números racionais e todos os números irracionais denomina-se conjunto dos
números reais e indica-se por R.
Simbolicamente:
onde Q representa o conjunto dos números racionais e 1 o conjunto dos números irracionais.
Você deve “aceitar” nesse nível de estudo que:
5.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 7
Coloque V ou F, conforme cada sentença seja verdadeira
ou falsa:
a VqE OQ >7ER (1) 89 YnEN=nEQ (f)
YE O =>7EZ (F) h 3xE QIxEN (y)
)VZEZ>2EN (€) DINCR (9/4)
XYnENSnER (4) DRCZ (9 «(9
o) IxERIXEZ (V) WRDZ (9) q)
DVYxEZ>xER (1) D NCR* () (e)
5.5. SUBCONJUNTOS DOS REAIS
Vamos identificar alguns subconjuntos lineares dos números reais. São assim chamados porque sempre podem
ser representados por subconjuntos da reta.
5.5.1. INTERVALOS FECHADOS: lab] cm a, bER e a<b
la, b]=(xe Rla<x<b)
12
5.6. FAÇA VOCÊ: TAREFA 8
1. Represente na reta numerada cada um dos seguintes
subconjuntos lineares:
Disd=(xeR Is
-3 &
d) Ju, s]=(
9 19, 4[=(
d) (cos, -2] = [
2. Identifique os intervalos que estão representados nas
retas numeradas:
15
6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
6.1. UNIÃO OU REUNIÃO
Seja U um conjunto universo e, consideremos dois subconjuntos A e B de U:
U
Chama-se reunião de 4 e Ba um conjunto
€ cujos elementos pertençam a pelo menos um dos
A B dois conjuntos, isto é, os elementos pertençam a A
ou a B.
U
Indica-se C por AU B
Podemos escrever:
A
U
B
A
Vejamos os exemplos:
1. A=(1,2,3,4,5,6); B=(-2,-1,0,1,2)
AUB=[-2,-1,0,1,2,3,4,5,6)
2.A=(xE R|-I<x<5); B=(xE R|3<x<4)
AUB=?
Façamos a representação de A e B na reta numerada:
A: E 4 É E -—
| | Do
i : i i
B: b | Lo a
AUB: 4 é -—
AUB=[xER|
16
6.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 9
Determine A U B em cada caso:
9) A=(1,3,5,7,9% B=(0,1,2,3,4,5)
AUB=40,1,2,3,4,5,1,95
DA=-(xe
AUB=.
Ix<10% | B
xe NIx414
=[1,2,3,4)
o
9A=(1,0
AUB
<x<-2)
B-(xezl-:
Ea <
NU Z=
e) ZU
6.3. INTERSECÇÃO
Sejam A e B subconjuntos de um mesmo universo U.
» QUI pum
w Eagul, =.
» Is] ul, s]=
m) lo, sLu [1,3] =,
m [,7]U [2,5]
0) A=(1,2,3,4)
AUB=
pDA=(-1,0,1,2,3)
AVA= A:ALO LR)
9ACB=> AUB= B.
DADB= AUB= À.
WAUU- U.
U
Chama-se intersecção dos conjuntos A e Bao
conjunto C cujos elementos são comuns a 4 e B,
A É isto é, pertencem a A ea B.
U
Indica-se C por AN B
Podemos escrever:
U
B
A
Vejamos os exemplos:
1LA=(1,2,3,4,5); B=(-2,0,2,4)
ANB=(2,4)
2.A=(xE RI3<x<5);
ANB=?
Façamos a representação de A e B na reta numerada:
B=(xe Rll<x<4)
17
7. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
SEQUÊNCIA 1
1. Enumere os elementos de U e de seus subconjuntos A e B,
sabendo-se que:
A =(2,5,9,13, 18,20)
AUB=(1,5,6,9, 13, 14)
B= (2,6,18, 20) e
2. Determine os elementos de A e B, sabendo-se que:
A=(feg hi)
AUB=(ab,c, d,e, f)
AUB= (de)
5. Sabendo-se que A =(5,6,8,9), ANB=(2,4) e
AUB=(1,2,4,7,9) determine A, Be U.
6. Sendo A = (6,7,8,9,10), B=(1,2,3,9,10) e
ANBe= (4,5), determine AUB.
7. Sendo A =[-1,4], B=]0,7[ eC=[1,6] determine:
a) (ANB)-C
bd BNQUA
8. sendo A =[-2,2[, B=[1,5[ e C=[1,3]
o Cano
DA-OUBNO
determine:
20
3. Sendo U = [1,2,3,4,5,6);
B=(1,3,5,6), determine
A=(2,3,5) e
ANB e A-B.
4. Determine, gráfica e simbolicamente os conjuntos:
a) [3,2] 0], 4]
b) [1, +00) U T-3, 4]
o Cga; onde A=[-2,2[ e B=[-2,5]
a) A; onde U=[2,7] e A=[3,7]
9. Mostre com diagramas que, BCÃ s ACB.
10. Sendo A=[-1,3], B=]1,5], C=[0,9] e
D=[5,7[ determine B-AUDNO.
SEQUÊNCIA 2.
1. Dados o universo U e o conjunto A C U, abaixo, determine,
para cada caso, uma propriedade característica do (VA.
a) U=IN e A=(x|x é número primo)
DU=Ne A=[xlx=5kKEN)
e) U = (xlx é ponto do plano) e
A = [x |x é ponto de uma reta dada do plano)
capítulo
8. PAR ORDENADO
PRODUTO CARTESIANO
8.1. Com os algarismos do conjunto (1, 2, 3), podemos formar os seguintes números de dois algarismos:
1, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33
ou seja, podemos considerar os seguintes pares ordenados:
(1, (1,2, (1, 3), 2 1), 2 A) 3) (3.1), 6, &), 8 3)
8.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 12
a) Com o conjunto dos possíveis resultados na jogada de um
dado,
0,2.2. 4.
podemos considerar os seguintes pares ordenados que repre-
sentam os possíveis resultados para a jogada de dois dados:
OD, D, LAB CELAS LA)
b) Com o conjunto dos possíveis resultados do jogo de uma
moeda:
(cara, coroa)
podemos considerar os pares ordenados que representam os
possíveis resultados na jogada de duas moedas:
(cara, sara) ( (
(
8.3. A observação dos exemplos permite caracterizar um par ordenado da seguinte forma:
1) sea b, então (a, b) (b, a)
ousea, (a, b)=(ba) = Q.=
ID (a, b)=(cd) -& Ql=.
9. PRODUTO CARTESIANO
9.1. Dados os conjuntos A = (1,2,3,4) e B= (3,5, 7) podemos escrever o conjunto A X B,
AXB=((1,3), (1,5), (1, 7, (2,3), (2, 5), (2, MD, (3, 3), (3,5), (3, 7) (4, 3), (4, 5), (4, 7)
cujos elementos são os pares ordenados formados tirando o 19 elemento do conjunto A e o 2º elemento do
conjunto B.
21
9.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 13
a A=(9,b,c)
B=(a E .
AXB= TCA, A), Ds A) (E A)
b) B = (a)
9A=(1,2).
B=[1,3,5)
AxB= fc.
9Cc=(1,24).
D=(1,3,5,7)
cxD=((.
Cê
9 A=(a bc
B=(p ay a
Eeblte)
AXB= (Lan) 4) Lp) lg),
9.3. Observando:
19) a) e b) você pode concluir que:
AXB.ÍLBXA
29) c) e d) você pode concluir que:
DC=(a,be d)
D = (p)
cxD=((ap)(b
A=(0,3,6)
Ba (1,2,3)
AxB=(
£)
maA=(2,4,6,8)
B=(a,b)
D A=(1,2)
B=G
AxBe
»a=d
B=(3,5,6)
AXBO CÊ.
ACC eBCD>AXB.C CXxD
39) i) e j) você pode concluir que:
A=DouB=-D>AXxB= É
9.4. Podemos agora definir:
Isto é,
10. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO PAR ORDENADO.
10.1. Sabemos que qualquer numero real pode ser representado sobre uma reta numerada (eixo). Nosso objetivo
agora é a representação de um par (x, y) de números reais. Usaremos, então, dois eixos perpendiculares com
origem comum; um para representar o primeiro elemento do par, que chamaremos abscissa, outro para representar
O segundo elemento do par, que chamaremos ordenada. (sistema cartesiano ortogonal).
22
11.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 15
1) Represente graficamente os produtos cartesianos A X B, nos
seguintes casos:
a A=(1,2,3,4,5)
B=(-2,-1,0,1,2)
b) A=(:3,-2,-1,0,1,2)
B = (4)
B = (2)
Observação: Se B é unitário, os pontos de A X B estão em
uma reta paralela ao eixo .7
a A=(1)
B=(2,-1,0,1,2)
Observação: Se A é unitário, os pontos de A X B estão em
uma reta paralela ao eixo ,
2) Os seguintes gráficos representam o produto cartesiano
AXB.
a A=(1,25
B=(1,3)
Complete você:
b)
d)
x
e) e
++
Va
E
va
a
++
25
11.3. Considere o gráfico
Qualquer que seja o ponto P desta figura, temos y = 2 e x E [1, 4]. Então, a figura representa o conjunto
(x, y) Ix€ [1,4] ey = 2) isto é, o produto cartesiano A X B onde:
A=[1,4] e B=(2)
11.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 16
1) Os seguintes gráficos representam o produto cartesiano A XB.
Determine os conjuntos A e B:
a) Ay
o
-—
3
2) Represente graficamente os produtos cartesianos A X B, nos
seguintes casos:
a) A=[1,5]
B= (2)
dA =l-3,2l
B= (3)
Observação: O gráfico de A X B quando A é um intervalo e
B é unitário é um segmento paralelo ao eixo
dy
as
' “al
o A =[-3,+0) 1
B = (4) ! 7
| 4
> rr T|————+—
3 x
Ay
9A=R é
B = (4) 1
————————
x
'
hr
9 A=(1)
B=[-2,2] E —
4 x
24]
Ay
9 A=(3) ada
B=11,4]
—— E
= Es nR
Observação: O gráfico de A X B quando A é unitário e B é
um intervalo é um, mgmente Jara lela, 4
9 A=(1) ê
B = 2, nús hy
d E =
-2 +-
hy
hn A=(15 T T
B=R
D A=(3)
B = (-09, 4[
3) Represente graficamente o produto cartesiano A X B nos
seguintes casos:
hy
a A=(1,2,3,4)
B= (1,35)
b) A = [1,4]
B=[1,5]
Observação: O gráfico de A X B quando A e B são intervalos
é um subconjunto do [plano
o A=l[1,4l
B=11,5]
capítulo RELAÇÕES
13. O CONCEITO DE RELAÇÃO R DE A EM B
13.1. Considere os conjuntos A =(1,2,4,6, 11)
B=(2,3,7)
e a sentença:
p: “x é múltiplo de y”, onde x€ A e y EB.
O par (4, 2) torna a sentença p verdadeira, pois 4E A, 2E B e 4 é múltiplo de 2.
Este não é o único par ordenado que torna a sentença p verdadeira. Temos ainda:
(6,..8) (8,3) é (AB)
Então, a sentença p e os conjuntos A e B, determinaram um conjunto de pares ordenados:
R = ((2, 2), (4, 2), (,20.,4843).)
como, AX B= (1,2) (1, 3), £4,3),.12,2),62,3) (2,3) (4,8),(4,3) (42) (6,20...
ah:
temos:
RCAXB
O conjunto R pode ser representado pelo diagrama:
onde cada flecha determina um par ordenado de R.
30
-
13.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 17
Dados os conjuntos A e B e uma sentença p, escreva o
conjunto R determinado e faça o diagrama que representa R.
“Considere, em cada um deles, x CA ey EB.
B=[-1,0,3, 5)
Diagrama:
DA=(2,-1,0,1,2) B=(-1,0,1,2,3)
[e RR
REÉCR, CL), (0,010, (2,3)
13.3. DEFINIÇÃO:
JA=(1,2,3,4); B=(2,3,4,5)
prty ax
RAR), 0,0 (4,20),0,93),/(4,9, (4,9) )
a
9 A=(1,0,1,2) B=(0,1,3,4)
pr cy = x
REL, (0,0, CDS
D=<
Eua
9A=(1,234,5; B=(2,3)
p: “x é par”
Ri DD, (4,3)
Os exemplos vistos em 13.1 e 13.2, mostram que uma sentença p pode determinar uma relação. Nesse caso,
a sentença p é a propriedade característica dos elementos de R.
Assim considerando:
A=(1,2,4,6, 11);
B=(2,3,7)
p: “x é múltiplo de y”, com x€E A e y E B, podemos escrever:
R=((2,2), (4, 2), (6, 2), (6, 3))
ou
R=((x, y)€ AX Blx é múltiplo de y)
31
13.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 18
L Escreva cada uma das seguintes relações por sua
propriedade característica:
a 4=(2,0,3,45) B=(1,0,3,5)
é a metade de x”, com xE A e yEB.
Cx 4 as,
d)A=(-2,-1,0,1,2); B=(-1,0,1,2,3)
: =x+1”,com xEA e yEB
R=(lxg)e AxB luz ataAr
9A=(1,234) B=(2,3,4,5)
<x, cm xEA e yEB
!
LERAM.
Ed
Dx=(1,0,1,2) Y=(0,1,3,4)
p:“y=Ixl”,com xEX e yEY
X Lx 13
M=[1,2,3,4,5) N=(-2,3)
p: “x é par”, com xEM e yEN
R= ÁLMIILE MAN Lã
IL. Escreva as seguintes relações, dadas por sua proprie-
dade característica, enumerando seus elementos:
a) A=(2,4,6,8,10); B=(-3,-2,-1,0)
e R=((x,yEAXBIx+y=1)
R= ÁCROA (4-3)
bA=(1,2,3,4,5,6) B=(2,4,6,7)
e R=((x, DA
ms y
(4,2) 2), (4,2) ,(5,2), 46,2)
9 C=(-1,0,1,2,3);
D=(-1,0,1,2,3,4)
e R=[(x,yECxDly =x?)
DM=[-2,0,2,4,6,9) N=(-2,-1,0,1,2,3)
e R=((x,y)EMxNIy =X)
R= ALGO), (4,28) 44,8)
e
DR=(x,)EZxZIy=x+1)
D R=(, Dez alya th
(-2,5) C-1,2) (0,1)
a
n
pR=(6NERxRIy=x+1)
Neste caso, é impossível escrever o conjunto R enume-
rando seus elementos. Porém, R está bem determinado uma
vez que é possível saber se um par de números reais dado,
pertence ou não a R:
A, DER, pois 2=1+1
Tg a
(7, 7) ER, pois 8 tel
S DER, pois 4
(2, -1).€.R, pois
pois
pois
14. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA RELAÇÃO
14.1. Sejam:
A=(1,2,3,4); B=(2,3,-2)
e RCAXB, dado por R= ((1, 2), (3, 2), (3, -2), (4, 3))
Já sabemos como representar gráficamente o conjunto A X B, e sendo
R um subconjunto de AXB, sua representação gráfica é uma parte do
gráfico de AXB.
Assim:
onde os pontos marcados representam o produto cartesiano AXB e os
pontos (assinalados), representam seu subconjunto R.
32
R=(x,y)E(o, 7] x
=
mR=(xyNERXRIy
Rly =x)
Ay
=x+1)
Ay
DP R=(x,y)ERxRIx=2)
D R=(6x,y) €EAXBIy = 2) onde
A=|-3,2[eB=[0,5]
hy
5
4
1
'
'
% 1
2 1
'
1
-—
= ê R
15. DOMÍNIO E CONJUNTO-IMAGEM
15.1. Considere a relação de R em R:
RS, (3 1,5) 6,.9,0,D)
Como (1, 5) E R, diz-se que 5 é a imagem de 1 pela relação R.
ou, em símbolos:
5=R(1)
que se lê: “S é igual a R de 1” ou “5 é a imagem de 1 por R”.
Assim: l 1
d= R(S) porque Go 3)€ER
+ = R(-1) porque
2 porque
porque (2,7) € R
15.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 21
Escreva simbolicamente, qual é a imagem de 2 nas seguintes relações:
a Ri= (01,9, 02,3, 0, 9) RD = 3. o R3= (x, y)ENxNIy=2x) => Ra(2) =
- Ya
RD = 7./% . = 2) =
b) R9= 11,9,6,20,0,-5,2,0) => a a R4= (x, PER RIy = -1)=> Ra(2)
R(D=.
e) Rs=[(x,9y) ENxNIy=vVx)=> atenção!
(em uma relação, um mesmo elemento pode ter mais de
“uma imagem)
15.3. Sejam A=(1,2,3,4) e B=(2,-2,3,5)
Consideremos a relação de A em B:
R=((1,2), (3, 2), (3, -2), (4, 3))
Podemos separar o conjunto dos elementos de A que aparecem como primeiros elementos de pares ordenados
de R.
Temos: (1,34) CA
E o conjunto dos elementos de B que aparecem como segundos elementos de pares ordenados de R.
Temos: (2,-2,3) cB
Ao conjunto dos primeiros elementos chamaremos domínio da relação R e representaremos por D(R).
Ao conjunto dos segundos elementos chamaremos conjunto imagem da relação R e representaremos por
Im(R).
Assim, para a relação:
R=((1, 2), (3, 2), (3, -2), (4, 3))
temos:
D(R) = (1,3,4) e Im(R) = (2, -2,3)
15.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 22
1. Determine o domínio e o conjunto imagem para cada
relação:
a A=(1,3,5,2)
e R=(0,1,(
D(R) =
B=(1,2)
1, (5, D)
5 Im(R) =
b)A=(1,2,3,4,5,6,7,8)
e R=(x,)EAXAly=x+2)
DR) = (1,2,3,4,5,6.) ImR) = (3,4,3,.4,2,8.)
o) A=(-1,1,2,4,6); B=(0,1,2)
e R=((x, yEAxBly>x)
DR) = (iA.l2o) Imp)=(S
Be)
9 A=(-2,-1,0,1,2,3) B=(-1,0,2,4,5)
e R=(x,yEAxBIy=x2?)
DR) = (12,0,%.) ImB)=(0,4....)
9A=(1,5,0,1,2)
e R=((x,y) EAxAly= xl)
DIR) = je Im(R)=(.!
II. Determine o domínio e o conjunto imagem de cada
relação:
a R=-((xy)ENxZIy=2x)
Veja:
R=(0,0.3,(1,8.), 0,4.) Bu.) (4,8
Observe que Y x E N,3y E Zly = 2x, isto é, qualquer
elemento de N tem imagem em Z.
Portanto:
D(R) = N
36
E verdade que NY y EZ,3xENIy=2X Nao.
Como deve ser y E Z para que exista x EIN com y =
y deverá ser um número agailigo- o é upar
Portanto:
IM(R) = Lo, 2,4 lap So penate
b
R= (o, )ENxNly= 5)
Veja:
R= (CO, CR) CA RD Cação cre)
Observe que, por exemplo, x = 5 não tem imagem em N,
porque y = 5- não é um número natural. Então 5 É DR).
DR) = [.2.2,.4
Im(R)=
e)
d
R=((xy)ENxNIy
DR) = L.0,.4.,.%,.3.,.8,.5.
É 07708 A
h) Ra li Denny ain)
Pp R=(x ye Rly = vx-
DO 9)
III. Represente graficamente A X B e seu subconjunto R.
Em seguida determine o domínio e o conjunto imagem de cada
relação R.
a A=]1,5]) B=[1,10]
e R=(x,yEAxBIy=2x)
Gráfico:
x=1 => y=2:1=
1$4 = (1, DÊÉR
x=5 => y=2.5=
5 EA
EB
to
= (5, 10) .€.R
Observe, pela figura, que:
xeh,s]
v(x, DER=>4e
y € ]2, 10]
Portanto:
D(R) = ]1,5]
e
Im(R) = ]2, 10]
bA=[1,sl; B=]2,4]
e R=-(x, y)EAXBly=x)
Observe, pela figura, que:
V(x, PER =4e
Portanto,
oA=li,s] B=]-4,-1]
e R=((x, 9) EAXBly=x-5)
D(R)
37
APLICAÇÕES
capítulo OU FUNCOES
17.
O CONCEITO DE APLICAÇÃO OU FUNÇÃO
17.1. Consideremos as seguintes relações, de A em B, e seus diagramas, onde:
A=(1,2,3,4) e B=(3,5,6,7)
a) fi =((1,3), (2,5), (3,5), (4, D)) 7 «
à 4
db) £o = (01,3), (2,5), (3, 5), (1, 5), (4, 0)) A E:
o) fs = ((1, 3), (2, 6), (3, 5))
Examinando o conjunto A, em cada caso, temos:
a) em f,, cada elemento de A tem imagem em B e só uma.
b) em f,, cada elemento de A tem imagem em B, mas o elemento 1 tem duas: 3 e 5.
c) em f3, o elemento 4 não tem imagem em B.
As relações de A em B que se comportam como f,, em relação ao conjunto A, são chamadas de funções de
A em B.
40
17.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 28
Faça o diagrama para cada relação e verifique se se trata
de uma função de A em B.
a A=(1,2,4,6) B=[0,1,2,3,4,5)
e f= (01,0), (2, 3), (4, 0), (6, 9)
função de A em B porque <«94 elemento de À
ma únca imagem
bA=(-1,0,1,2) B=(-2,0,2,4)
e f=[(x, 9) EAXBly=2x)
a cada elemento
função de A em B porque
17.3. Examinando o domínio das funções, você verifica que, sempre,
tem imagem em B.
94A=(1,35,7) B=(2,4,6,8,10)
e t=(0,2,(3,6, (1,9)
oe
não c função de A em B porque 2 é
6 mão tem emagem em 13.
a A=(-1,0,1,2) B=(0,1,2,3)
e t=(x,)EAxXBIy<x)
ds
& lem duar cmagens
O A=(1,2,34) B=(3,4,5,6)
e t=(,nEAxBly=5)
pre
função de A em B porque cacla elemento
LL,
D(f) = A
+ porque todo elemento de A
No diagrama, de cada elemento de A sai uma flecha, e uma única flecha, porque cada elemento de A tem uma
única imagem em B.
Podemos agora, definir formalmente uma função ou aplicação de A em B:
Um conjunto f é uma aplicação ou função de A em B se for uma relação de A em B, tal que
todo elemento do conjunto A tem uma e somente uma imagem no conjunto B.
ou seja:
f é função ou
aplicação de 4 em B
DfCAXB (fé uma relação)
e
DVvyxeaA, IlyEBly = f(x)
4
17.4. VERIFICAR SE UMA RELAÇÃO DADA É FUNÇÃO
Seja:
f=((x,y)E NX Zly = 2x)
Temos:
D(f) = IN => todo elemento de IN tem imagem em Z, isto é, qualquer número natural tem seu dobro em Z.
Além disso, cada número natural admite um único dobro.
Assim:
fc NXZ
e
vxEN,gIIyEeZiy=2x
Logo, f é uma função de IN em Z.
7.5. FAÇA VOCÊ: TAREFA 29
Verifique se são funções:
a f=[xy)ENXxNIy=x+1)
D(D = ..N...
. função de IN em IN porque
d)f=(x)ENXxNIy=x-3)
Dt=(xy)ERXRIy=
E
+)
. Junção 4 R*em R poxque
dl
f=(x, )ER,xRly=Vx)
D(£
função de R, em IR, porque
;
6Rs.. ds KR
17.6. Consideremos uma relação dada por seu gráfico:
42
f=(x, ER, xRly=x)
£
função de R em IR porque Ls
PRE AE TRA Lã.
a
função de R em R porque
sc Bem AE, !
j
f= (x,y) ERxRiIx= Iyl)
DO
Rs
eU tem.
f= (x, py els, +o)xRly=Vx-3)
)
18. A CORRESPONDÊNCIA BIUNIVOCA — FUNÇÕES INVERSAS
Veja estas funções de A em B definidas pelos seus diagramas, vale dizer, pelas suas fotografias.
aA=(1,2,3,4) bA=(1,2,3,4)
B=(3,5,7,9) B=(3,5,7,9)
E
A fa B
fi=((1,3), (2,7), (3,5), (4,9) fa = T(1, 3), (2, 9), (3, 5), (4, 7))
Onde se vê que:
A cada elemento de A corresponde um único elemento em B e cada elemento de B é correspon-
dente de um único elemento de A.
Dizemos que funções desse tipo (f, ou f,) definem uma correspondência biunívoca entre os conjuntos
AeB.
Ora, é fácil ver que também são funções de B em A as seguintes:
Is = <T
A
A B A B
que indicaremos por f;'
que indicaremos por fz!
ou ou
fr! = 03, 1),(5,3), (7,2), (9, 4) fr = ((3,1),(5, 3), (7, 4), (9, 2))
Veja: Veja:
fhCAXB hCAXB
fiCBXA !CBXA
Dizemos que: fj! é uma relação chamada função inversa de f,
e f;? é a função inversa de f,.
45
18.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 32:
1. Com os conjuntos A e B, dados em cada caso, complete dois diagramas: 19 Aquele que define a função f de A em B
29 Aquele que define a função f”! de B em A. Quando não existir a inversa diga por que.
a)
A fi B
fi=
db)
LA
A fo B
fo=
3
d)
46
fit =
1
2 ) ) (3,9)
EAR MD), 30)
A B
À 65! inverna de $a
Sobrara” o elemento fem O
A B
1
Ju nao sera. função + mas apenas
uma relação de B em a
2. No exercício anterior dois exemplos admitem inversa. Complete, então num mesmo diagrama cartesiano os gráficos de
cada função e sua inversa. Trace a bissetriz do 1º quadrante e tire suas conclusões. (Desenhe os pontos de f numa cor e os
da inversa em outra.)
123456 A
tuo E ef
3. Coloque V ou F conforme as seguintes sentenças sejam verdadeiras ou falsas:
a) Toda função de A em B admite inversa de B em A (F)
b) 3 fde A em B que admite ! de Bem A N
c) Se f de A em B é função, então f”! de Bem A é sempre uma relação (00)
d) Se entre A e B está definida uma correspondência biunívoca, então existe f de A em B.e 7! de Bem A [64
e) Toda correspondência biunívoca entre A e B define f e f! como funções inversas wm
18.2. CORRESPONDÊNCIA BIUNÍVOCA E FUNÇÕES BIJETORAS
Consideremos Ae B e f:A>B conforme o diagrama seguinte:
que
admite
a
seguinte
inversa: A B
f=((1, 1), (2,3), (3, 7), (4,5)) FU = (1, D, (3,2), (7,3), (5, 4)
Sabemos que
3 uma correspondência biunivoca entre A e B
Então definimos:
A aplicação f de A em B se chama bijetora.
mais precisamente, diríamos:
f é uma aplicação bijetora de A em B, quando e somente quando se verificam as duas seguintes
condições:
19: YyEB, IxEA talque (x, y)Ef
29: Dados x, ex) € A com x, x, então f(x,) * f(x)
47
12 etapa: Verifica-se se f é bijetora
a) vy ER, existe x E IR
De fato em y = x - 2, para qualquer valor real de y o valor de x também será real.
Dx Ex >y, £ya,pois x -2%x -2.
Então f é bijetora.
22 etapa: Troca-se x por y na expressão que define a função e teremos:
y=x-2 resulta x=y-2 ou y=x+2
Logo:
f:R>R — fi: R>R
xpy=x-2 xry=xt+2
19.2. GRÁFICO DA INVERSA
Dada a função bijetora fi: A>B
x» y = f(x)
esuainversa fl: B>A
x» y= f(x)
temos: id
P=(,b)ef > P-b ae f.
Localizando P e P” no gráfico:
P e P' são simétritos em relação à bissetriz dos 19 e 39 quadrantes, a reta AB. Isto é, PPLAB e PC=CP.
19.3. FAÇA VOCÊ: TAREFA 34
Desenhe, num mesmo sistema de coordenadas, f e f-! assinalando com um ponto os elementos de f e com uma cruz os de pa,
Desenhe também a bissetriz dos 19 e 3º quadrantes.
aa A=(1234) B=(3,5,7,9 e bA=(1,-2,7) B=(1,3,5) e
t=(0,3,02,7, 3, 5), (4, 9) f= (e, 1), $2 5), (0,3)
(4,0, 65,239, (3,4)
50
94A=(0,1,23; B=(-1,0,1,2); e
f=(, peaAxBly=x-1)
(
9 A=(2,-1,0,1,2); B=(1,2,3,4,5) e
Do CL, Di (0,3), 1, 5) Q, o
( D 03,00 (5 076
19.4. A observação dos gráficos do item anterior nos
leva a concluir que o gráfico de f"! é simétrico
ao gráfico de f, em relação à bissetriz dos ângulos
dos 19 e 3º quadrantes. Assim, considere a fun-
ção bijetora f, dada por seu gráfico:
Temos:
fr) R,
fbijetora > 3f! e
Para se obter o gráfico de f”! é suficiente traçar
a bissetriz dos 19 e 39 quadrantes, e desenhar a figura
simétrica a f.
VA=(-2,0,1,3)
f=[0,) EAXBI
) (0,0)
B=[(0,1,4,9) e
ft: R,— [-2, +00)
Ay
51
19.5. FAÇA VOCÊ: TAREFA 35
Determine, por seus gráficos, as funções inversas das
seguintes funções bijetoras:
20. O CRESCIMENTO DAS FUNÇÕES
20.1. Observando a função f, dada por seu gráfico
e considerando dois pontos de seu domínio:
X, € X2, vemos que:
% >x é fx) ..d.. fl)
Isto ocorre para quaisquer outros dois pontos do domínio
e porisso podemos escrever:
Dizemos, então, que a função f é estritamente crescente.
52
20.5. A função cujo gráfico é:
não é monotônica. Neste caso, podemos examinar seu comportamento, quanto ao crescimento, dividindo seu
domínio em intervalos em que ela seja monotônica.
Temos: D(9) = R
No intervalo (- co, +2], f é estritamente decrescente, porque Yx1, x, E (-00, +2], x, > x, > f(x1) < f(x5).
No intervalo [+2, +20), f é estritamente crescente, porque Wx1, x, E [+2,+%), x, >x, =...
20.6. FAÇA VOCÊ: TAREFA 38
Examine as seguintes funções quanto ao crescimento:
a)
hy
2
No intervalo [-2,0), f e entarta-
-2 2 o memtt crescente.
mo intervalo [0,2], $ é eotucta-
o Ay mente decuncente.
1d
! "
q " x No umtervato (- co 4), $ e catato
N mente decuncente
No imtervalo J4,+%) , E untu-
tamente crcocente.
e)
o qe catutamente eenente.
55
a)
o Ay +
24.
21. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
SEQUÊNCIA 1
Dadas as seguintes relações, determine o domínio e o
conjunto imagem; verifique se são funções; no caso de ser
função, use a notação própria.
a A=(1,35,7) B=(1,3,5,7,9)
e t=(xy)eAxBly=x+2)
b A=(-1,0,1,2,-2); B=R
e f= (6, EAxBly= 1)
1)
2x+1
Sh
9 f=(6,yERXxRIy
9t=(gyeRrRxRIy=
o t=[m pel, to)xRely=Vx-3)
SEQUÊNCIA 2
Verifique se as seguintes funções são bijetoras. Determine,
quando existir, a função inversa de cada uma delas.
a A=(3,-1,0,2) B=(0,1,4,9)
e f=((x, )EAXBly=x2)
b) A=(-2,-1,0,1,2)
e t=[x, 9) €AXAIy-= Ixl)
o E R*>R- (1)
x+4
x» y=
/ x
Dt R> R
xo y=2x+1
JER>R
x y=2x+1
56
$ é cmencente.
Ge estutamente crescente
SEQUÊNCIA 3
Determine graficamente, quando existir, a inversa das
funções (determine, em cada caso, D(f) e Im(f)).
a) 4
ND”
-2
b) e)
e) À E)
capítulo FUNÇÃO LINEAR
22. O CONCEITO DE FUNÇÃO LINEAR
Consideremos a função f:IR >IR
x» y=2x-1
e representemos graficamente alguns de seus pontos.
Por exemplo, construindo uma tabela, temos:
x|y
=31| =5 A=(2,-5)Ef
B=(- er
FUI (1, -3)
c=(0,-Ner
ola D=(LDEf
E=(2,3)€f
1a
213
Verificamos que os pontos representados estão em linha reta.
22.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 39
Construa uma tabela com alguns pontos para cada função
e represente-os graficamente; tome x E (-2, -1, 0, 1, 2).
ft R>R Dt R>R
xo y==x+1 xo y=+3
Y
x y x y
tz |3 are -2 |
Pi Tê RR e dea[4
o 4 DR 3
a N o
1 j 1
1 UA SEE? ai
o pe E
Ra e ese
57
Como dois pontos são suficientes para determinar uma reta, então será suficiente desenhar em Rx R dois
pontos de cada função linear para determinar o seu gráfico.
Assim, representemos y = 4x - 1:
x y
o|-
1]3
23.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 41
Usando o fato de que dois pontos determinam uma reta, d)2y=4x-1
represente graficamente as funções lineares determinadas por:
(escolha xe (0,1) ou xe (o, 1).
ay=3x+1
“us
Jy-x+2=0
by=-x-1 el
= po E D 2 +x+2=0
'
'
: I
)y=5x+1 “Mt
BD 3y=-0x+3
60
24. INTERPRETAÇÃO DOS COEFICIENTES DE UMA FUNÇÃO LINEAR
24.1. O COEFICIENTE b
Represente graficamente cada par de funções lineares em um mesmo sistema de coordenadas cartesianas:
df: R>R x y hr
=x+1
xo y 5 :
! 3
b: R>R x [y
BRT
xby==x E E
E o
Para estas funções, b =.
bf: R>R
x» y=x
fg: R>R
x» y=3x
Para estas funções, b=. 0.
df: R>R
x» y=x-2
f: R>R
xp y=5x-2
2
Para estas funções, b= c À.
dt: R>R
3
xpy=x+>
2
f: R>R
3
x» y=3x+
Para estas funções, b = bg
Generalizando-se vemos que y=ax+b
x=0=» y=b.
Então:
24.2. FORMA PRÁTICA DE REPRESENTAR A FUNÇÃO LINEAR
Como (0, b) é o ponto em que a função linear corta o eixo das ordenadas, bastará determinar o ponto onde
ela corta o eixo das abscissas, ou seja onde y = O. Assim, no exemplo y = 3x - 6 teremos:
x=0 > y=6 « (0,-6)€f
y=0 => 0=3x-6 «= x=2 : (2,0)€f. Assim:
Como você viu, doravante chamaremos a função
linear apenas através de sua lei de formação y = ax + b,
omitindo, porque é óbvio, que se trata de uma aplicação
de Rem R.
24.3. FAÇA VOCÊ: TAREFA 42
(1) Represente no plano cartesiano as funções seguintes, atribuindo sempre: 19) x = e depois y = 0. Observe quando f é crescente
ou decrescente.
ay=x+2 Dy=l-x o
x=0> Ji & (2,.20).€S, x= Lo. (ones
ps) A y=
Y Y
(ez) 49,1)
(2,
x (4,9) x
62
se ripos Estudo das inequações quociente: ax +b >0
ax +b
Resolver:
A B
x-5 . DA a e '
[=x >0 equivalea (x-5).(1-x)>0 sendo que há a condição restritiva 1 - x 0, pois não se
define fração com denominador nulo.
E A-0
Assim: (a >0) 4 aco
t-S= Ore xe 5: — A<O ] > -—
5
1-x=0 5 x=1 0 > E Su
B=0
x 1 5
? P
a , - ;
4 4
; T
.. 4 | o ! .
B ! 1
Dá ,
AIB E | , | .
ui é
V=(xeR e (1<x<5)
26. APÊNDICE — DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Considere os pontos A = (1,2) e B=(3,1) no plano cartesiano. Queremos calcular a distância entre eles,
isto é,
d = med AB
Para isso, é suficiente considerar o triângulo retângulo ABC da figura e aplicar o teorema de Pitágoras:
d? = (med AC)? + (med BC?
Temos: medAC=2-1=1
medBC =3-1=2
logo, Ld=pP+2s |d=V5
65
De um modo geral, seja
A=(x,y1) e B=(x,y2)
Teorema de Pitágoras aplicado ao AACB:
d? = (med BC)? + (med AC)
med BC =. Uai Ms
Portanto, is tata
e temos a fórmula para distância entre dois pontos:
26.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 43
Determinar a distância entre os pontos A e B em cada caso:
a) A=(0,1), B=(2,3)
dº.ta-Dt, (3 Dt. u4u. 8
d: RVZ
bDA=(3,2), B=(2,5)
d*. (3. W)t a tast. 449-10
d: Vio
oO A=(1,3), B=(3,-3)
dt. IA Dl (-3-D)* &
do Ri
27. EXERCICIOS DE REVISÃO
16 +36:54
SEQUÊNCIA 1
Faça o gráfico em IR X IR das funções definidas pelas
seguintes equações:
Ly=3-2 S.y==
2 y=1-x 6.y=x
3y= Tx 1.x42 -1=0
avy=1-5 8. 2x-3y+6=0
SEQUÊNCIA 2
Represente em RR x IR os seguintes pares de funções;
determine graficamente o par (x, y) comum a ambas, quando
existir:
» (EST E Re
VD x-3y= 2wy+6x=2
1+x=y
51 o (Ui)
d) A =(4,-4), B=(0,0)
dt, (yu Dt (-U.o)*. + 16:32
di udVR
eJA=(-2,-3), B=(3,-1)
dº, (se DL ela, DASH 4.29
do NAS,
ND A=(5,1), B=(3,1)
di. Cesta Cat: GU
d:8
SEQUÊNCIA 3
Determine o conjunto verdade de cada uma das seguintes
inequações. Faça a representação linear do conjunto solução.
a) 2x-8>0
x
DaS-1<o
e = 1
gyu-5<*5
gx-s>H1
nS-I<õ-2
mHÉ<i
D 1< *73
p 3X+D q Sx-2
ph
SEQUÊNCIA 4
Determine o conjunto verdade de cada uma das seguintes
inequações:
a) (x+3) + (2x- 10) >0 np >o
db) G+5)--5)>0 o TER <o
9 Q-)-(5-)>0 mHÉf co
a) (3x-5) + 2-3) <0 p= <o
x | 4X
dx (7-D20 » 4-5 20
SEQUÊNCIA 5: (APÊNDICE)
Determine a distância d entre os pontos A e B seguintes:
a) A=(0,0), B=(3,2)
bA=(1,2), B=(4,6)
e (3, -2), B=(0,2)
dA=(0,1), B=(1,0)
eJA=(3,0, B=(0,-4)
9 A=C1,-1), B=(-2,-2)
g) A=(-1,0), B=(0,0)
h A=(0,2), B=(0,0)
67
29.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 45
Obtenha a forma canônica das seguintes funções quadrá-
ticas:
a) y=x?-4x
a=
portanto:
y=x-gx+o
d)y=x2+6x-1
arbe=pb .3=(B/.9
; boa 2)
q X46x+9-9-1
q=(x +3)-10
Jy=x+x-1
29.3. Pode ocorrer que o coeficiente a seja diferente de 1. Nesse caso basta fatorar esse coeficiente a e proceder
como nos casos anteriores.
Veja:
y=2x - 5x, onde a =
colocando-se a = 2 em evidência:
portanto: y=2(x - a +. 25)
y = 2l(x - 5 = ge]
que são dois aspectos da forma canônica.
29.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 46
Obtenha a forma canônica das seguintes funções quadráticas:
a y=3xX 9x
4530-3X) onde ale b=-3 —
> bb. 3 = (js
2% z E]
esbesxes. 3) +»
alx-2)0. 27"
jo "%-
,
70
x [-p-%]
d)y=22-5x+4
= alxt S x +2)
. e s by. 25
tt E Tjél= de
=2ix- 5 La .
EO Goo LO
6
qeatS). +
Jy=58-x+1 Dy=4x2+3x
qestot Ro x+4) q 424)
z +
ate bs A => bd = [b)- Ts Us! . bah. 3 o (b)-
psp ted do 4) apraro a SD UR
los” 406 * 5 + ( RA Pa
es +) dê =a(x+ apa
RE
graló-zx-3)
astebt =p petop(b)c1
.
qe alraxea- 5)
2
E - a
4q= 2601) +
29.5. O CASO GERAL
y=ax +bx+tc
colocando-se a em evidência:
yeaçãs Drs), onde ay=1e dr= o
b b b bj? b?
hq 7º) a
então:
b? b? c
47 ca ta)
Ss tan
b? - 4ac ]
4a?
yoaçãs Dx do
yealos DP -
ecomo b? -4c=A, vem:
[esto da | e EEE
estas são fórmulas que representam a forma principal ou canônica de y = ax? + bx + c.
30. RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Dada y = ax? + bx + c, deseja-se saber qual ou quais são os valores de x que tornam y = 0.
Basta tomar y numa de suas formas canônicas:
db? dA
y=alix+ 5) - qa]
b? b2 A b aii
y=0sal(xt o) - Bo (+) det) ao y
7
fatorando-se o primeiro membro dessa igualdade (diferença de quadrados):
bd, VA VA
G+7ta Vir E -ND,20
bd, VA + -VA
Xt5g + da Upa
-
o bd VA b+VA
x+5>—-SÕ=0 o x=>D5DD
2a 2a 2a
Donde:
y=0 o ve ARA xa | D+VA,
2a
que habitualmente aparece sob a forma:
31. FORMA FATORADA DA FUNÇÃO y = ax? +bx +c
31.1. Seja:
f:R > R
x» y=ax)+bx+c, com a£0
cuja forma canônica é:
b2 4
y=ax+t5) “q
colocando-se o fator a em evidência:
Yi= aliada a) E
a expressão de dentro dos colchetes é uma diferença de quadrados; fatorando-a:
onde
que é a forma fatorada de y = ax? + bx + c.
31.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 47
Obtenha a forma fatorada de cada função quadrática:
a y=2x-8x+6
fazendo-se 2x? - 8x + 6 = 0, encontramos x'=1 e x”
logo, a forma fatorada de y = 2x2- 8x +6 é:
=2(x-D(-3)
72
32.3. AS COORDENADAS DOS EXTREMOS
Vimos que *(x, y)€ RX IR, temos:
A
7az]
b2
y=alix+ 5) E
O ponto máximo ou mínimo será chamado vértice ou
Chamemos de V. = (xe, Ye) à esse vértice.
Sabemos que a ordenada, y., do vértice é ye
Calculemos a sua abscissa, xe:
ye = alte + E -
4a
A
aa]
a à
Ye ==» vem:
como
cale + E) -
A
4a aa!
ja?
E b
e 0=(1 +) Rd Xe +
Logo:
. VE RE
b
ER
32.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 49
Determine o vértice da curva que representa a função f,
em cada caso:
a) y=3x2-4x
f apresenta ponto
b)y=2+4
Xe=
f apresenta ponto mínimo : (L,-2)
extremo da curva que representa a função f.
d)y=-2x2+3x+1
Xes Db 8
2a "4
esizôs «dt
1 Ze
E apra porto máximo : EE
e y=5x+3
Xe«-b .O
za
-s ..-3
te
f apresenta ponto mímismo : (0,-3)
75
32.5. RESUMO
Dada a função f:R > R
x» y=x2+7kx- 10
determinemos:
a) as raízes
. pasa o qo JEVB ACD 29 oa
x 2 - 2-C1) 2
ou xe x=5 ou x=2
portanto:
V=(2,5)
b) o vértice
Ve=( 555 7a)
tan .1
t=-5 Xe =
9 9:
=. es Je
A
Ye="7d O Ye =Z
1 + a<0 » ve) elinóeimo:
c) Um esboço do gráfico
V=(2,5) = acurva que representa f corta o eixo das
abscissas, nos pontos de abscissas 2 e 5, respectivamente.
Ve=(5, 5) é máximo
d) os valores de x tais que y > 0
observe o gráfico e verifique que:
y>D0 — 2<x<5
e) os valores de x tais que y < O
observe o gráfico e verifique que:
y<O0 << x<2 ou x>5
76
7-3
-2
32.6. FAÇA VOCÊ: TAREFA 50
1. Dadas as funções seguintes, determine:
a) As raízes, isto é, os valores de x, tais que y = 0;
b) O vértice;
c) Um esboço do gráfico;
d) os valores de x tais que y > 0;
e) os valores de x tais que y <0.
dy=x
)X=X"<0
d) xe: =D
) xe 74º Ob Vecloo) e mimo
4e--0 «0
d) y>ro “e YxeR
e) xeR] y<o
by=n2+4
O Xx=L eX=-%
Xe=-b 4 SUAS
b) Xe O ssa (od) ME nimo
e.-5 4
d) qro es -pexez
) YO 4 *<-2 o x72
Dy=32-6x+3
qo X=x=
b) Xe= cb 4
Za
4e= 2-0
d) 450 É TER, Yx
e) xeR|yco
=p Ve=(10) e mínimo
D)y=x2+6x+5
a) X=-5 ex'.-1
D)Xe=-b..s .
ss. Es E =D Ve =(-3-4) & mínimo
Tor
a) yo <= X<-5 qu x>-1
e) q<e = -S<xc-t
dy=32+3x-1
a fxeRis-o
b) Xe=-b.
Va
es-A. il
d) dxeriy>o
SJYxeR = yeo
o vh
Es
77
Vejamos as razões dessas restrições.
Consideremos a relação R = ((x, y) € RX Rly = aX), quando:
19) a=1
Procuremos alguns elementos de R:
xl y=]! — y =| — (1, 1) ER
x=2 e y=12 — y= 4 = (2,1)€R
x=3 =».
x=0 =»
x=-|1=»+
Observe que vVxER=> y=I*=> y=1
isto é:
a=1=>R é uma função constante (um caso particular de função linear) de IR em RR.
Essa é a razão de se impor que a seja diferente de um.
29) a=0
Procuremos alguns elementos de R:
= 2m y=02 = y=0) —- (-2, 0) ER
uu = (-1, 0) ER
? o símbolo 0º não é definido!
Sao = Gs y
x
x
x-0= y=0 => y
O elemento O não tem imagem em R.
portanto: .
a=0= R não é função de R em R.
Porisso, impõe-se que a seja diferente de zero.
3º) a<0
Façâmos, por exemplo, a = -4. 7
Procuremos a imagem do elemento E R:
2
1
x-,= y=(4) + y=V4 - yéR
isto é:
o elemento 2 não tem imagem em RR.
portanto:
a<0>R não é funçãodeIRemR.
Essa é a razão de se impor que a seja um número não negativo.
35. GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
35.1. a) Consideremos a função exponencial: f: R>IR
xmy=2%
Vamos construir uma tabela de valores x e y:
1
>y=—
8
sede yet y=
so
b) Consideremos a função exponencial:
x=
x=
x
"
x y
3 | 18
2 | 1/4
«1 1/2
o 1
] 2
2 4
3 8
fR>R :
xo y=(5)
Im y(L) me y= Ps y=27
3
ES
-l= y=
0 = y=
l=y=
2=y=
3 = y=
x y
-3 27
-2 9
-l B;
0 1
1 1/3
% 1/9
À 1/27
=,
=
81
35.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 52 o p=
2
Represente graficamente as funções de IR em IR, defi-
nidas por:
a)y=3*
x 1/4
-3 [1/37 )
-2 14/9
-1 [4/3
oli
113
2139
3 |27
Dry x
x | 4
“5 [8
=2 [4
-1|2
ol1
1 [4/2 '
2 [1/4
3 1!/8
82
36.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 54.
Complete, aplicando as propriedades de potências:
e-2..
9 28.22.77 =
» 69 estes? = (5)
9 q: V2:2=2
[37
9 e 3)
9 ente? can =
9 [ . EN -
216º Ye
1 | SOL “1000 |
(0,0001)-?
8 [8] «at
9)022VavVavavao =.
DG ap
10 [aaa]
n
37. APLICAÇÕES
Determinar o conjunto verdade das inequações:
oGr>1
2 2 gl
GÉ21 o GH2>G)
2 = x<0
3q<1
portanto:
V=(xlxeR e x<0)
b)3*<9
3E<9 es 3 <LIÉ he
-
3>1 ú
portanto:
V=(xe Rix<2)
37.1. FAÇA VOCÊ: TAREFA 55.
1. Determine o conjunto verdade das inequações:
Dn G>1 »Gr<9
x x az
A oo (=) [ea
Sao + el
lx x
3 ql<s
4 Se ) D%>-X=>X70
hão) ue Retro
9 >
2%
(5) (3) |-excancenco
= RETA
xs 1
927"> g
2a”
o >-5 =D x<3
2>1
V= ÁLGE Ra)
n 0% > 27%
2 o 2”
=>-3X2Z22X =» X40
2>4
- LxeR to)
ss <2
Ra
=>3xcl=p x< +
2>14 3
= «Lx ER got rmdob
9a*>1, 0<a<l
a >o
=> x<o
o<a<1
Va AE Rato.
19) 6 >b?, bD>I
be> br
b>4 => x>2,
V= Lxe Rena?) Eri
86
IL. Determine o conjunto verdade das equações:
0 Z%=32
Pio de mto S
portanto:
V= (5)
= x=5
2 DX = 1024
= SA qo o
() =2 => 2 =2 =p x=-l1o
À A AriGlm
"7 to 2i= Z "=p Ego xr
5) 09% =6
bl =pzx=1=0x= 1
ã
Lx
9) =81
34.35" — tada
HI. Determine o domínio das relações de IR em IR defi-
nidas por:
Dy=Vbt-1
6>D
beizo sb>i=o bb >» x20
*
D=R+
a
Dy= 3d
Bro 748 vs x+S
D=lxer/x+ 3)
38. EXERCÍCIOS DE REVISÃO
SEQUÊNCIA 1
Represente graficamente as funções de Rem R definidas
por:
ay = (6% dy Ci
Dy=
SEQUÊNCIA 2
am
Escrever na forma a” com m, n E Z e a número primo.
a) V'2048
d) 65612: VON?
E |
9 1V cus
a (169º: V 2197?
1. -273
O qa: [4997]
D (8124/2463
SEQUÊNCIA 3
Verifique se y E R, sendo y uma das expressões seguintes:
3
2 2
a v=(487 D y=012
2 2
dDy= cas E v= (2435
3 3
o y= (BP h) y= (252
1 2
a y= (81? D y=(25)
2 a
9 v=(1" » y=028
1
Dy= 7
pr
x EE -3
(4)-200egj>(4) Do xe-s
DefxeR|x6-3)
9y=vs*-1
x x = 0
S-120 =55 z1i=>b5275 = X3z0
D=lxeR/x70)
94 Va
2”. 3200 =» 252 -x25 > x<5
D=(xeR|x<5)
qt -27
SEQUÊNCIA 4
Determine o domínio das relações de Rem R definidas
por:
ay=VbXI 6>D ady=V5*-125
1 1
dDy= 12 9y= Vox
1 1
Oy= Dye
[Sus V81-3*
SEQUÊNCIA 5
Determine o conjunto verdade das seguintes equações:
9 Gr db p sX=sV2s
d) = 64 9 GX=1
o (É = 38-93
a) (49X = 7 » sv
x. A sda. 3
93 = Dq) = 75
SEQUÊNCIA 6
Determine o conjunto verdade das inequações:
o GG) pr <<?
DS<GÊ< DÁD>I (O<a<1)
9 e mb O<Lb<LI)
d) <a pts d>1
osi<qr<s » GP
87