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Guias e Dicas
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Cálculo A - 5ª Edição, Notas de estudo de Biologia Marinha

Cálculo Diferencial e Integral

Tipologia: Notas de estudo

2016

Compartilhado em 02/03/2016

Sidney.Miranda
Sidney.Miranda 🇧🇷

4.8

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Baixe Cálculo A - 5ª Edição e outras Notas de estudo em PDF para Biologia Marinha, somente na Docsity! PR As bebo MAKRON Books MAKRON Books CAPÍTULO 1 EDITORA NÚMEROS REAIS Tudo o que vamos estudar no curso de Cálculo se referirá a conjuntos de números reais. Estudaremos funções que são definidas e assumem valores nesses con- juntos. Assim, ao estudarmos limite, continuidade, derivadas e integrais dessas funções, usaremos os fatos elementares a respeito dos números reais. Neste 1 2 capítulo, vamos analisar o conjunto dos números reais. Enunciaremos os axiomas básicos, deduziremos propriedades, e apresentaremos exemplos envolvendo estas propriedades. 1.1 CONJUNTOS NUMÉRICOS Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto N = {1, 2, 3, ...}. Os números —1, —2, —3, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros que denotamos por Z={0,±1,±2,±3,...}. 4 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 1.2.4 Os símbolos 5_ (menor ou igual que) e (maior ou igual que) são definidos: (i) a 5_ b <=> a < b ou a =-- b; (ii) a  b<=>a>boua=b. Expressões envolvendo os símbolos definidos acima são chamadas de DESI- GUALDADES. a<bea>b são desigualdades estritas enquanto a ^ bea  b são desigualdades não estritas. 1.2.5 Propriedades. Sejam a, b, c, d e N. (i) Sea>b eb>c, então a > c. (ii) Se a>bec> O, então ac > bc. (iii) Se a>be c< O, então ac < bc. (iv) Se a > b, então a+c>b+c para todo real c. (v) Sea>bec> d, entãoa+c>b+ d. (vi) Sea>b>Oec>d> O, então ac>bd. As propriedades enunciadas podem ser facilmente provadas usando-se as definições anteriores. Por exemplo: Prova da Propriedade i). (Sea>beb> c, então a > c). (def) Se a > b (a — b) > O. (def) Se b > c (b — c) > O. Usando 1.2.1 (ii), temos (a — b) + (b — c) > O (def) ou a—c>0a>c. Números reais 5 Prova da Propriedade ii). (Se a > b e c > O, então ac > bc). (def.) Se a > b (a — b) > O. Usando 1.2.1 (iii) temos (a — b) • c > O ou (ac — bc) > O e finalmente, pela definição, ac > bc. 1.3 VALOR ABSOLUTO 1.3.1 Definição. O valor absoluto de a, denotado por lal, é definido como lal = a, se a O lal = — a, se a < O. 1.3.2 Interpretação Geométrica. Geometricamente o valor absoluto de a, também chamado módulo de a, representa a distância entre a e O. Escreve-se então lal = . 1.3.3 Propriedades. (i) lxl < a <=> —a < x < a, onde a > O. (ii) >a<=>x>aoux<—a, onde a > O. (iii) Se a, b E IR, então la • bl = Ia! • Ibl. (iv) Se a,bEReb  O, então ab lal Ibl • (v) (Desigualdade triangular) Se a, b e IR, então la + bl lal + (vi) Se a, b E R, então la — bl 5 lal + Ibl. (vii) Se a, b E IR, então Ia! — Ibl .5 Ia — bl. la 1 ).lb 1 a b 6 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Vamos provar algumas das propriedades citadas. Prova da Propriedade i). (Ix1 < a <=> — a < x < a, onde a > 0). Provaremos por partes: Parte 1: — a < x < a, com a > O Ixl < a. Se x _ 0, lx1 = x. Como, por hipótese, x < a, vem que Ixl < a. Se x < O, lxl = — x. Como — a < x, aplicando a propriedade 1.2.5 iii) concluí- mos que — x < a. Assim, lx1 = — x < a ou seja Ixl < a. Parte 2: lxl < a onde a > O — a < x < a. Se x . 0, então Ixl = x. Como lx1 < a, concluímos que x < a. Como a > 0, segue que — a < O e então — a < O x < a ou seja —a<x<a. Se x < O, lxl = — x. Como por hipótese Ixl < a, temos que —x < a. Como x < 0, segue que — x > 0. Portanto, — a < 0 < — x < a ou de forma equivalente — a < x < a. Prova da Propriedade iii). (Se a, b E I? então Ia • bl = lal . lbl). Usando 1.3.2, vem labl = I(ab)2 = 'Va2 • b2 = .Va2 • 'NFTo lal • Ibl. Prova da Propriedade iv). (Se a, b E R e b t O então Usando 1.3.2, vem = "\I = — — b O. *NW 1 a 1 b2 I b 1 a b Números reais 9 ex. 1.4.5 — (i) (O, + ao) O 1 2 3 4 (ii) [1, + O 1 2 3 4 (iii) (-0., 3) 4 O 1 2 3 4 (iv) (-00, 4] 4 3-- 0 1 2 3 4 1.5 EXEMPLOS 1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica. 3+7x < 8x+9 3+7x-3 < 8x+9-3 7x < 8x + 6 7x-8x < 8x + 6 — 8x —x < 6 x > (propriedade 1.2.5 iv) (propriedade 1.2.5 iv) (propriedade 1.2.5 iii) Portanto, {x I x > —6} = (— 6, + 00) é a solução, e graficamente 6 10 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 7 < 5x+35.9 7-3 < 5x+3-3 ^ 9-3 4 < 5x<_6 4 6< x5 5 (propriedade 1.2.5 iv) (propriedade 1.2.5 ii) Portanto, {x 1 4/5 < x 6/5} = (4/5, 6/5] é a solução, e graficamente 4/5 6/5 (iii) x + 7 < 5 , x  —7. Vamos multiplicar ambos os membros da desigualdade por x + 7. Devemos. então, considerar dois casos: Caso]. Então, x + 7 > O ou x>-7 (propriedade 1.2.5 iv) x < 5 (x + 7) (propriedade 1.2.5 x < 5x + 35 x — 5x < 5x + 35 — 5x (propriedade 1.2.5 iv) — 4 x < 35 x > — 35/4 (propriedade 1.2.5 iii) Portanto, {x I x > —7} n {xl x > —35/4} = (-7, + 00) é a solução do 4:354? 1. Caso 2. Então, x+7 < O ou x< —7. 5(x + 7) x > 5x + 35 x < —35/4 Portanto, {x I x < —7} n {x 1 x < —35/4} = (— 00, —35/4) é a solução do caso 2. Números reais 11 A solução final é a união de (-7, + o.) e (— 00, —35/4) ou seja (— oo , —35/4) u (-7, + co) ou ainda x e [-35/4, —7]. Graficamente, -35/4 (iv) (x + 5) (x — 3) > O. A desigualdade será satisfeita quando ambos os fatores tiverem o mesmo sinal: Caso 1. (x + 5) > O e (x — 3) > O ou x > — 5 e x> 3 ou x > Caso 2. x + 5 < Oex-3<0 ou x < —5 e x < 3 ou x < — 5. A solução final será a união entre (3, + e (— co, —5) ou seja todos os x [-5, 3]. Geometricamente, 4 -5 2. Resolva as equações: (i) I5x — 31 = 7. Esta equação é verdadeira quando 5x — 3 = 7 ou 5x — 3 = — 7, ou seja, x = 2 ou x = — 4/5. 14 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 12x2 +76x+55 O 12(x + 5/6) (x + 11/2) . O (x + 5/6) (x + 11/2)  O. Procedendo como no exemplo 1 (iv) concluímos que a solução final será a união de (— 00 , —11/2] e [-5/6, + o.), ou seja, x (-11/2, —5/6). 4. Mostre que, se a,bERea<b, então (i) (x — a) (x — b) > O x [a, b]. (ii) (x — a) (x — b) O x (a, b). (iii) (x — a) (x — b) <O x E (a, b). (iv) (x — a) (x — b) < O x E [a, b]. Prova de (i). ((x — a) (x — b) > O x [a, b]). Os dois fatores (x — a) e (x — b) devem ter o mesmo sinal. Temos dois casos: Caso 1. x — a > O e x — b > O ou x > a e x > b. A solução deste caso será x > b ou (b, + 00). Caso 2. x—a < O e x—b<0 ou x < a e x < b. A solução deste caso será x < a ou (— 0 , a). Portanto, a solução final é a união entre (— co, a) e (b, + 00) ou seja x g [a. b] Números reais 15 De maneira análoga pode-se provar as demais relações. 1.6 EXERCÍCIOS 1. Determinar todos os intervalos de números que representação gráfica. a) 3 —x < 5 + 3x b) c) 2 > — 3 — 3x  —7 satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a 1 3x —2x 5 1 x— < — + + 3 4 3 5 3 x < — 4 e) x2 _̂ 9 1) x2 -3x+2>0 g) 1— x — 2x2 O h) x + 1 x 2 — x 3 + x i) x3 +1>x2 +x (x2— 1) (x +4) 5_ O k) 2 x + 2 1) x4 > x2< 1x — 2 — x — 2 x 4<4 n) 1/2 x —rn) x — 3 > 14 + x o) 3 p) x3 — x2 — x —2>0<2x — 5 q) x3 -3x+ 2 50 r) 1 3 x + 1 x — 2 s) 8x3 — 4x2 — 2x + 1 < O t) 12x3 — 20x2 _ — 11x + 2. 2. Resolver as equações em R. a) 15x — 3 I = 12 c) I 2x — 3 I = I 7x — 5 I b) I —4+12x1=7 d) x + 2 x — 2 =5 16 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 3x + 8 e) — 4 f) 13x+2I=5—x2x — 3 g) I9x1-11 = x h) 2x-7=Ix1+1. 3. Resolver as inequações em R. a) I x + 121<7 b) 13x-41.<2 c) 15-6x1  9 d) 12x-51>3 e) 16+2x1<14—xl f) lx+415.12x-61 • g) 13x1>15-2x1 h) 7 — 2x < 5 + 3x — 2 i) lx-11+1x+21>4 j) _1<lx+21<4 k) 2 +x 3 —x > 4 1) 5 2x— 1 1 x — 2 m) lx1+1<x n). 31x-11+1xl<1 o) 12x2 +3x+3I ^ 3 p) lx-11+1x-31<14x1 1 1 lx+ 111x — 31 — 5 r) x— 1/2 x + 1/2 <1 s) 3 — 2x 1 +x <4 Funções 19 2.2 EXEMPLOS Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}. (i) f: A —> B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B. (ii) g: A --> B x --> x + 1 é uma função de A em B. Podemos representar g em diagrama. 2.3 CONTRA-EXEMPLOS Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}. (i) f: A —> B dada pelo diagrama a seguir, não é uma função de A em B, pois o elemento 4 E A tem dois correspondentes em B. 20 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração (ii) g: A — B x --> x - 3 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 E A não tem correspondente em B. Podemos ver isto facilmente representando g em diagrama. 2.4 DEFINIÇÃO Seja f: A —> B. i) Dado x E A, o elemento f (x) e B é chamado o valor da f-unçãof no ponto x ou imagem de x por f. ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f e é denotado por Im(f). Funções 21 2.5 EXEMPLO Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = Z (conjunto dos inteiros) e f: A —> B definida pela regra que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro. Então: — a regra que defmef é y = 2x; —a imagem do elemento 1 é 2, de 2 é 4 etc.; —o domínio de f, D(f) = A; —a imagem de f, Im(f) = {2, 4, 6, 8, 10}. 2.6 EXEMPLO Seja f. R —> R x —> x2 . Então, D(f) = R, Im(f) = [0, + 00). Quando trabalhamos com subconjuntos de R, é usual caracterizar a função apenas pela fórmula ou regra que a define. Neste caso, entende-se que o domínio de f é o conjunto de todos os números reais para os quais a função está definida. 2.7 EXEMPLOS Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo: (i) f (x) = 1/x. Esta função só não é definida para x = 0. Logo, D(f) = R — { 0 }. Im(f) = 1? — {0}. 24 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Figura 2-3 (iv) Seja f(x) = lxl. Quando x . O, sabemos que f(x) = x. Quando x < O, f (x) = —x. O gráfico de lx1 pode ser visto na Figura 2.4. Figura 2-4 (v) Seja f(x) = 1 Então, D(f) = IR — { O } . A Figura 2.5 mostra o gráfico de f (x) = 1/x. Podemos nos perguntar se, dada uma curva c no plano xy, ela sempre repre- senta o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio pode ter somente uma imagem. Assim a curva c só representa o gráfico de uma função quando qualquer reta vertical corta a curva no máximo em um ponto. Funções Figura 2-5 Na Figura 2.6 a curva c 1 representa o gráfico de uma função enquarito a curva c2 não representa. Figura 2-6 2.9 OPERAÇÕES Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também podemos produzir novas funções através de operações. Estas operações são definidas como segue: 26 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 2.9.1 Definição. Dadas as funções f e g, sua soma f + g, diferença f — g. produto f • g e quociente flg, são definidas por: (i) (f + g) (x) = f (x) + g (x); (ii) (f — g) (x) f (x) — g (x); (iii) (f g) (x) =.f (x) g (x); (iv) (flg) (x) = g(x) . O domínio das funçõesf + g, f— g e f • g é a intersecção dos domínios de f e g. O domínio de flg é a intersecção dos domínios de f e g, excluindo-se os pontos x onde g (x) = O. 2.9.2 Exemplo. Sejam f (x) = — x e g (x) = — 3. Então, (f + g) (x) = — x + — 3 ; (f— g) (x) =AIS —x — 'x — 3 ; g) (x) = — x — 3 e .\/5 — (fl g) (x) — Como D(f) = (— 00, 5] e D(g) = [3, + 00), então o domíniof g,f—g e f. g é [3, 5]. O domínio de flg é (3, 5]. O ponto 3 foi excluído porque g(x) = O quando x = 3. 2.9.3 Definição. Se f é uma função e k é um número real, definimos a função kf por (kf) (x) = kf (x) O domínio de kf coincide com o domínio de "Vx — Funções 29 Para 2 < x 1 temos 2x > 1. Assim, para este caso, (f 0 g) (x) = O. Se x > 1, (f0 g) (x) = f (g (x)) = f (1) = 1. 1, se x < O Logo, To g) (x) = 4x2, O, se se O < x 1/2 1/2 < x 5. 1 1, se x > 1 O domínio de f o g é D(f o g) = (— + ..). O gráfico de f 0 g pode ser visto na Figura 2.7. 2.10 EXERCÍCIOS —x2 1. Se f (x) — — 1 4 ' achar: (a) f (0) (c) f (11t) (e) f (1/2) (b) f (-2) (d) f (x — 2) (f) f (ê) 30 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 3x — 1 2. Se f (x) —x — 7 , determine: (a) 5fl— 1) — 2f(0) + 33f(5) 7 (c) f (3x — 2) (e) f(h) — f(0) h (b) [f(-1/2)12 (d) f (t) f (t) f Lf (5)1. 3. Dada a função f (x) xl — 2x, calcular f (-1), f (12) e f (-2/3). Mostrar que f (I al) = —1 ai. 4. Se f (x) — ax d + b e d = — a, mostre que f (f (x)) x. cx + 5. Se f (x) = f(a + h) — f(a)+ 2x, achar , h # O e interpretar o resultado geometricamente. h x — 1 6. Dada (x) = + , forme as expressões 4) (1/x) e 1/4) (x).2x 7 7. Dada a função f (x) = x2 + 1, mostrar que, para a  0,f (1/a) =f (a)/a2. 8. Dada a função f (x) = 1/x, mostrar que f (1 + h) — f (1) — h / (1 + h). Calcular f (a + h) — f (a). 9. Seja f (n) a soma dos n termos de urna progressão aritmética. Demonstrar que f (n + 3) — 3f (n + 2) + 3f (n + 1) — f (n) = O. 10. Exprimir como função de x: a) A área de uma esfera de raio x. b) A área de um cubo de aresta x. c) A área total de uma caixa de volume dado V, sabendo-se que a base é um quadrado de lado x. 11. Exprimir o comprimento 1 de uma corda de um círculo de raio 4 cm, como uma função de sua distância x cm ao centro do circulo. b) y =114 — x2 d) y= -■ix — 2 f) y + x + 4'N/7 x a) y = x2 1 c) y — x — 4 e) y= I x2 — 4x + 3 12. Seja f (x) = (x — 2) (8 — x) para 2 5_ x 5_ 8. a) Determine f (5), f (-1/2) e f (1/2). b) Qual o domínio da função f (x)? c) Determine f (1— 2t) e indique o domínio. d) Determine f (3)] e f (5)]. e) Trace o gráfico de f (x). 13. Determinar o domínio das seguintes funções: h) y x + a g) 3'Nix + 7 — 5\ix + 8 x — a i) y=lx+21 + 4, —5 < x < 2 i) Y= x + 1 k) y = x — 1 1 Y —x 1 + 14. Construir o gráfico cias seguintes funções: a) f (x) = x2 + 8x + 14 c) y = (x — 2)2 e) y = x3 g) f (x) = 1 xl, —3 5 x < 3 f (x) = — x2 + 4x — 1 y = — (x + 2)2 y = 4 — x3 h) f (x) — 1 x — 2 34 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 26. Dadas as funçõesf (x) = x2 — 1 e g (x) = 2x — 1: (a) Determine o domínio e o conjunto imagem de f (x). (b) Determine o domínio e o conjunto imagem de g (x). (c) Construa os gráficos de f (x) e g (x). (d) Calcule f+ g, f— g, g• f, flg,f o g e g o f. (e) Determine o domínio das funções calculadas no item (d). 2.11 FUNÇÕES ESPECIAIS A seguir vamos relacionar algumas funções que chamaremos de funções es- peciais. 2.11.1 Função Constante. É toda função do tipo f (x) k, que associa a qualquer número real x um mesmo número real k. A representação gráfica será sempre uma reta paralela ao eixo do x, passando por y = k. O domínio da função f (x) = k é D(f) = O conjunto imagem é o conjunto unitário Im(f) = {k}. Exemplos. (i) f (x) = 2 [Figura 2.8.(a)]. (ii) f (x) = —3 [Figura 2.8 .(b)]. Funções 35 ♦ Y X -3 (b) 2 X (a) Figura 2-8 2.11.2 Função Identidade. É a função fl. 1? 1? definida por f (x) = x. O gráfico desta função é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes (Figura 2.9). Figura 2-9 O domínio de f (x) = x é D(f) = 1?. O conjunto imagem é Im(f) = E. 36 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 2.11.3 Função do 1 2 Grau. Função do 1 2 grau é toda função que associa a cada número real x, o número real ax + b, a # O. Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e linear. Quando a > O a função f (x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce, f (x) também cresce. Quando a < O a função f (x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida que x cresce, f (x) decresce. O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coorde- nados. O domínio de f (x) = ax + b é D(f) = O conjunto imagem é Im(f) = 1?. Exemplos. (i) f (x) = 2x + 3 é uma função do P grau crescente porque a > O (Figura 2.10). Figura 2-10 (ii) A função f (x) = — 3x + 1 é uma função do 1 2 grau decrescente porque a < 0 (Figura 2.11). Funções 39 O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos Posteriormente faremos esboços de gráficos dessas funções com auxilio das derivadas. O domínio é sempre o conjunto dos números reais. Exemplos. (i) A função constante f (x) = k é uma função polinomial de grau zero. (ii) A função f (x) = ax + b, a # O é uma função polinomial do 1 2 grau. (iii) A função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, a # O é uma função polinomial do r grau. (iv) A função f (x) = x3 é uma função polinomial chamada função cúbica. (v) A função f (x) = 5x5 — 6x + 7 é uma função polinomial de grau 5. 2.11.7 Função Racional. É a função definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é 4 f(x) = p(x) , p(x) e q(x) são polinômios e q(x) # O. q(x)' O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles x tais que q(x) = O. Exemplos. x — 1 (i) A funçãoftx) — é função racional de domínio D(f) = R — (-1 } (Figura 2.14). x Figura 2-14 D(f) = R — {-4, —3, 3} (Figura 2.15 ►. -4 -3 Figura 2-15 2.12 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES Dizemos que uma função f (x) é par se, para todo x no domínio de f, f (—x) = f (x). Uma função f (x) é ímpar se, para todo x no domínio de f, f (—x) = — f (x). O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos y e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. Exemplos. (i) A função f (x) = x2 é par, já que f (—x) = (-42 = x2 = f (x). (ii) A função f (x) = x5 + x3 é ímpar, já que f (—x) = (—x)5 + (—x)3 = — x5 — x3 = — (x5 + x3) = — f (x). (iii) A função f (x) = x3 + 4 não é par nem ímpar. 40 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração (x2 + 3x — 4)(..x= — 9) (ii) A função f(x) — (f. + x — 12)(x — 3) é racional de domínio Funções 41 2.13 FUNÇÕES PERIÓDICAS Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe um número real T O tal que f (x + T) = f (x) para todo x E D(f). O número T é chamado período da função f (x). O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento ITI. Exemplos. (i) Mais adiante, mostraremos que as funções trigonométricas f(x) = sen x e f (x) = cos x são periódicas de período T = 2n. (ii) A função constante é periódica e tem como período qualquer número T O. (iii) A Figura 2.16 mostra gráficos de outras funções periódicas. Figura 2-16 2.14 FUNÇÃO INVERSA Seja y = f (x) uma função de A em B ou f: A —> B. Se, para cada y E B, existir exatamente um valor x E A tal que y = f (x), então podemos definir uma função g: B —> A tal que x = g (y). A função g definida desta maneira é chamada função inversa de f e denotada por f -1 . 44 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração A y Y = ax (0<a<1) (0,1) Figura 2-20 2.15.2 Função Logarítmica. Dado um número real a (O < a  1), chamamos função logarítmica de base a a função de R +* em R que associa a cada x o número logo x, isto é, f: R±* -*R x —> y = loga x. As funções f de R+4, em R definida porf (x) = logo x e g de R em R4,* definida por g (x) = ax; O < a  1, são inversas uma da outra. Temos D(f) = R±* e Im(f) R. Com relação ao gráfico da função f (x) = logax (O < a  1) (Figura 2.21), podemos afirmar: 1) está todo à direita do eixo y; 2) corta o eixo das abscissas no ponto (1, O); 3) f (x) = logax é crescente se a > 1 e decrescente se O < a < 1; 4) é simétrico ao gráfico da função g (x) = ax em relação a reta y = x. 01= ax Y (0<a<1) X Y= log x /' (0<a<1) Funções 45 Figura 2-21 2.15.3 Funções Trigonométricas FUNÇÃO SENO Seja x um número real. Marcamos um ângulo com medida x radianos, na circunferência unitária com centro na origem (ver Figura 2.22). Seja P o ponto de intersecção do lado terminal do ângulo x, com essa circunferência. Figura 2-22 Denominamos seno de x a ordenada OP 1 do ponto P em relação ao sistema U O V. 46 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração Definimos a função seno como a função f de 1? em 1? que a cada x e I? faz corresponder o número real y = sen x, isto é, f: R -› R x ---> y = sen x. O domínio da função seno éR e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1]. A função y = sen x é periódica e seu período é 2n, já que sen (x + 27t) = sen x. Em alguns intervalos sen x é crescente e em outros é decrescente. Por exemplo, nos intervalos [O, ic/2] e [31c/2, 2n] sen x é crescente. Já no intervalo [7c/2, 37t/2] ela é decrescente. O gráfico da função f (x) = sen x, denominado senóide, pode ser visto na Figura 2.23. Figura 2-23 FUNÇÃO COSSENO Seja x um número real. Denominamos cosseno de x a abcissa OP2 do ponto P em relação ao sistema U O V (Figura 2.22). Definimos a função cosseno como a função f de 1? em I? que a cada x E R faz corresponder o número real y = cos x, isto é, f: I? -- I? x y = cos x. O domínio da função cosseno éR e o conjunto imagem é o intervalo [-1, 1]. t - y = sec x y = cosec x y = tg x ♦Y -3n./2 -n12 n/2 3n/2o Figura 2-25 X Funções FUNÇÃO ARCO SENO Seja f: [-7t/2, n/2] —> [—I, 1] a função definida por f (x) = sen x. A função inversa da f (x), será chamada arco seno, e denotada por [-1, 1] —> [—n/2, 7t/2], onde f -1 (x) = arc sen x. Simbolicamente, para —2 2 y —7t ' escrevemos a equivalência: y = arc sen x <=> sen y = x O gráfico desta função nos mostra uma função crescente (Figura 2.26). Y 7c/2 -7c/2 Figura 2-26 50 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração Observamos que na definição da função arco seno poderíamos ter restringido o domínio de y = sen x a qualquer dos seguintes intervalos: [7c/2, 37t/2] , [37c/2, Sic/2] , [57E/2, 7/r/2], ..., ou [-37c/2, -7c/2] , [-57c/2, -37c/2] , [-77c/2, -57c/2], . FUNÇÃO ARCO COSSENO Seja f: [O, it] [-1, 1] a função definida por f (x) = cos x. A função inversa de f será chamada arco cosseno, e denotada por f -1 : [-1, 1] —> [O, n]. onde f -1 (x) = arc cos x. Simbolicamente, para O .̂ y S TC, escrevemos: y= arc cos x <=> x = cos y O gráfico desta função nos mostra uma função decrescente (Figura 2.27). Observação: A função y = arc cos x pode ser definida também pela equação arc cos x = 2 - arc sen x Funções 51 Figura 2-27 De fato, utilizando o triângulo retângulo (Figura 2.28), temos: Figura 2-28 Os ângulos a e 13 são complementares, ou o 7ca + p = —2 x = sen a = cos 13. Portanto, a = arc sen x e = arc cos x. Concluímos que Itarc cos x = 2 — arc sen x. 54 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 2.15.5 Funções Hiperbólicas As expressões exponenciais e ex + 2 ocorrem freqüentemente na Matemática Aplicada. Estas expressões definem, respectivamente, as funções seno hiperbólico de x e cosseno hiperbólico de x. O comportamento dessas funções nos leva a fazer uma analogia com as funções trigonométricas. SENO HIPERBÓLICO E COSSENO HIPERBÓLICO A função seno hiperbólico, denotada por senh, e a função cosseno hiperbólico, denotada por cosh, são definidas, respectivamente, por: senhx - " - x 2 '+ e e cosh x= 2 O domínio e imagem das funções senh e cosh são: D (senh) (- + °°), D (cosh) = (- 00, °°), Im (senh) = (- + .0) e Im (cosh) = [1, + O gráfico da função senh é dado na Figura 2.31(a). Pode ser obtido pelo método chamado adição de ordenadas. Para usar essa técnica, esboçamos os gráficos 1 das funções - 2 e' e - e' (tracejados) e somamos as respectivas ordenadas.2 Da mesma forma obtemos o gráfico da função cosh [Figura 2.31 (b)]. Funções 55 (a) (b) Figura 2-31 A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um cabo ou corrente flexível, uniforme, cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura. Na Figura 2.32 desenhamos um fio de telefone ou de luz. Observamos que a curva representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola. No entanto, é possível mostrar que a equação correspondente é: y = cosh (x/a), a E R. Esta curva recebe a denominação catenária. Figura 2-32 As quatro funções hiperbólicas restantes podem ser definidas em termos de senh e cosh. 56 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração I TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE HIPERBÓLICAS As funções tangente, cotangente, secante e cossecante hiperbólicas, denotadas respectivamente por tgh, cotgh, sech e cosech são definidas por: — tgh x = senh x coshx ex + e- x coshx + cotghx — — senhx ex — e- x sechx = 1 = 2 coshx ex + e cosechx = 1 2 senhx eX _ e-x Os gráficos dessas funções podem ser vistos na Figura 2.33. Muitas identidades análogas às conhecidas para funções trigonométricas são válidas para as funções hiperbólicas. Por exemplo, pode-se verificar que cosh2u — senh2u = 1. Esta identidade é análoga à identidade trigonométrica cos eu + sen2u = 1 e pode ser usada para justificar o adjetivo "hiperbólico" nas definições. De fato, a identidade cosh 2u — senh2u = 1 mostra que o ponto P de coordenadas (cosh u, senh u) está sobre a hipérbole unitária x2 — y2 = 1. Fazendo u variar no conjunto dos reais, o ponto P descreve o ramo direito da hipérbole. Observamos que aqui a variável real u não representa um ângulo, como acontece nas funções trigonométricas. No entanto, pode-se estabelecer uma relação interessante, que fornece uma interpretação geométrica para o parâmetro u. Na Figura 2.34(a), representamos o círculo unitário, onde demarcamos um ponto P (cos t, sen t). A área Ac do setor circular QOP é dada por 1 AC = 2 t (1)2 1= —2 t e portanto, t = 2Ac. Funções 59 Temos D(arg senh x) = Im (arg senh x) = R. O gráfico da função arg senh pode ser visto na Figura 2.35. Ele é obtido fazendo uma reflexão do gráfico da função senh sobre a reta y x. Figura 2-35 FUNÇÃO INVERSA DO COSSENO HIPERBÓLICO Para definirmos a inversa da função cosseno hiperbólico precisamos restringir o seu domínio, pois como podemos ver no seu gráfico, Figura 2.31(b), a cada valor de y na imagem, exceto y = 1, correspondem dois valores de x no domínio Seja f: [O, + -4 [1, + a função dada por f (x) = cosh x. A sua função inversa é chamada argumento do cosseno hiperbólico e é denotada por arg cosh. Simbolicamente, para y O, escrevemos y = arg cosh x <=> x = cosh y Temos D(arg cosh x) = [1, + e Im(arg cosh x) = [O, + oo). O gráfico pode ser visto na Figura 2.36. 60 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração AY X Figura 2-36 INVERSAS DAS FUNÇÕES TANGENTE HIPERBÓLICA, COTANGENTE HIPERBÓLICA E COSSECANTE HIPERBÓLICA Para definirmos as inversas destas funções não necessitamos restringir os seus domínios, pois a cada valor de y na imagem corresponde um único valor de x no domínio [ver Figura 2.33,(a), (b) e (d)]. As funções inversas da tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica e cosse- cante hiperbólica, denotadas respectivamente por arg tgh, arg cotgh e arg cosech, são definidas como segue: y = arg tgh x <=> x = tgh y y = arg cotgh x <=> x = cotgh y y = arg cosech x <=> x = cosech y A Figura 2.37 mostra um esboço dos gráficos dessas funções. y= arg cosech xy= arg cotgh x Jay Funções 61 y= arg tgh x Figura 2-37 INVERSA DA FUNÇÃO SECANTE HIPERBÓLICA Da mesma forma que ocorreu com a inversa do cosseno hiperbólico, para definirmos a inversa da função secante hiperbólica devemos restringir seu domínio Seja f: [O, + co) --> [O, 1] a função dada por f (x) = sech x. A sua função inversa é denotada por arg sech. Para y O, temos y = arg sech x <=> x = sech y Na Figura 2.38 podemos ver um esboço do gráfico da função arg sech. 64 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 2. Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem. (a) y = ax2, se a = 1, 1/2 e -2 (b) y = x2 + c, se c = O, 1, 1/2, -3 (c) y = yo + (x- 1)2, se yo = O, 1, -1 (d) y = ax2 + bx + c, se a = 1, b = -2 e c = 5. 3. Construir os gráficos das funções polinomiais. Dar o domínio e o conjunto imagem. (a) y = 2 + (x - 1)3 (b) y = x4 (c) y = 2x2 - 4. 4. Construir os gráficos das funções racionais. Dar o domínio e o conjunto imagem. . 1 x - 1 (a) y = - 2 (b) y = (c) y - (x - 1)2 X X -I- 4 5. A função f (x) é do 1 2 grau. Escreva a função se f(-1)= 2 e f (2) = 3. 6. Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares (a) f (x) = 3x4 - 2x2 + 1 (b) f (x) = 5x3 - 2x (c) f (s) = s2 + 2s -I- 2 (d) f (t) = t6 - 4 3 f(y) - Y Y y2 +1 1 (h) .ft -2x) = (a' + a-x) (j) flx) = ln (x + 'N/ 1 + x2 ) . (e) f (x) =I xl x - 1 (g) f(x) = x + 1 (i) f(x) = ln 1 + x 1 - x x + 1(c) f(x) — x — 1 (d) f(x)=Ix1+Ix-11. Funções 65 7. Demostre que sef e g são funções ímpares, então (f + g) e (f — g) são também funções ímpares. 8. Demonstre que se f e g são funções ímpares, então f-g e flg são funções pares. 9. Mostre que a função —1 [f(x) + f(—x)] é par e que a função —1 ff (x) — f (—x)] é ímpar.2 2 10. Demonstre que qualquer função f: R R pode ser expressa como a soma de urna função par com uma função ímpar. 11. Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função ímpar (a) f (x) = x2 2 (b) (x) = x3 — 1 12. Seja f (x) uma função, cujo gráfico para x O, tem o aspecto indicado na figura. Completar esse gráfico no domínio x < O, se: a) f (x) é par; b) f (x) é ímpar. 13. Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa. Fazer os gráficos da função dada e de sua inversa. (a) y = 3x + 4 (b) y — 1x — a (c) y= X+ a+ (d) y = 1, x> Ox a 66 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração (e) y = .Nrx - 1, x>_1 (f) y = - - x, x5 a x2 (g) Y - 1 x O (h) y = x2 - 4 , O x- + (i) y = x2 - 4 , x O. 14. Mostrar que a função y = f(x) - x + 2 - 1 coincide com a sua inversa, isto é, x = f(y)2x ou f (f (x)) = x. 15. Dada a função y = f(x) = 1 + definida para todo x real, demonstrar que sua inversa "\1 é a função x = g (y) \h. y2 definida para ly I < 1. se x < 1 16. Seja f(x) = x2, se 1 .^ x 5 9 27 -\rx- , se x > 9 . Verifique que f tem uma função inversa e encontre! 1 (x). 17. Se f (x) e g (x) são periódicas de período T, prove que: (a) h(x) = f (x) + g (x) tem período T. (b) h(x) = f (x) • g (x) é periódica de período T. (c) h(x) = g() , g (x) # O V x, é periódica de período T. 18. Se f (x) é periódica de período T, prove que 3T também é período de f 19. Sabendo que f (x) é uma função par e periódica de período T = 4, complete o seu gráfico. Funções 69 (a) y = sen kx, k = 2, 3, 1/2 e 1/3 (c) y=kcos 2x, k=2,-1 e 1/2 (e) y = cos (x + n12) (g) y = cotg (x + rc/4) (i) y = 1 + sen x (b) y = k cos x, k = 2, 3, 1/2, 1/3 e —1 (d) y =- sen (x — rc/2) (I) y = tg (x — 37r/2) (h) y = tg 2x (j) y=l+Isen2x1 32. Dada a função f (x) = 2 senh x — 3 tgh x, calcule f (2),f (-1) e f (0). 33. Prove as identidades: (a) 1 — tgh2 u = sech2 u (b) 1 — cotgh2 u = cosech2 u. 34. Defina uma função inversa para y = cosh x, para x O. Esboce o gráfico. 35. Mostre a validade das expressões: (a) arg cosh x = ln (x + "si x2 — 1), x 1; (b) arg tgh x = 1/21n 1 + x ) 1 — x , —1 < x < 1; (c) arg sech x = ln r i+ ,11 — x2 \ x , O < x 1. 36. Sendo f (x) = cosh x, mostre que f [In ( x + "\Ix2 — 1)] = x 37. Mostre que as funções senh x, tgh x, cotgh x e cosech x são ímpares. 38. Mostre que as funções cosh x e sech x são pares. MAKRON Books CAPÍTULO 3 EDITORA DAU LIMITE E CONTINUIDADE O objetivo deste capítulo é dar uma definição de LIMITE de uma maneira intuitiva e também de uma maneira convencional. Vamos analisar propriedades e teoremas referentes a' limites de funções. Finalmente, definiremos a continuidade das funções usando limites. 3.1 NOÇÃO INTUITIVA Inicialmente faremos algumas considerações. Sabemos que, no conjunto dos números reais, podemos sempre escolher um conjunto de números segundo qualquer regra pré-estabelecida. Analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas. (1) 1, 2, 3, 4, 5, ... (2) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ... (3) 1, 0, —1, —2, —3, ... (4) 1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ... Na sucessão (1), os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um LIMITE. Dado um número real qualquer, por maior que seja, podemos sempre encon- 70 Limite e continuidade 71 trar na sucessão, um termo maior. Dizemos então que os termos dessa sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito. Denota-se X -> 00 . Na sucessão (2) os termos crescem mas não ilimitadamente. Os números aproximam-se cada vez mais do valor 1, sem nunca atingirem esse valor. Dizemos que De maneira análoga, dizemos que na sucessão (3) x —> — 00 . Em (4) os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite. Ampliaremos agora, o conceito de LIMITE para os diversos casos de Limite de uma função. Observemos as seguintes funções: Exemplo 1. Seja y = 1 — 1/x (ver Figura 3.1 e Tabela 3.1). Tabela 3.1 x 1 2 3 4 5 6 500 1000 y O 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 499/500 999/1000 . . . x —1 —2 —3 —4 —5 . —100 —500 2 3/2 4/3 5/4 6/5 . . 101/100 501/500 74 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Figura 3-3 Observando a Figura 3.3 e a Tabela 3.3 ainda podemos dizer que y —> + quando x —> 1 através de valores maiores do que 1 e que y —> — 00 quando x —> 1 através de valores menores do que 1. Neste caso, estamos nos referindo aos limites laterais denotados por: lim x 1+ lim x +00 e -00, respectivamente chamados limite à direita e limite à esquerda. Exemplo 4. A Figura 3.4 nos mostra o gráfico da função 1 Y — (x + 1)2 Esta função tende para o infinito quando x tende para —1, e escrevemos 1 11111 - Ce x _> (x + 1)2 1 lim 1 — +00. + 1)2 lim x->-1+ 1)2 -1 Limite e continuidade 75 ou ainda, Tabela 3.4 x —3 2 —1,5 —1,25 —1,1 —1,01 —1,001 y 0,25 1 4 16 100 10000 1000000 x O — 0,5 — 0,75 — 0,9 — 0,99 — 0,999 y 0,25 1 4 16 100 10000 1000000 Figura 3-4 Exemplo 5. A Figura 3.5 mostra o gráfico da função -1 Y = (x - 2)2 Escrevemos lim x->2 — — 00 ou y —> — oo quando x —> 2.- 2)2 x y 3 2,5 2,1 2,01 2,001 —0,25 — 4 — 100 — 10000 — 1000000 76 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração Tabela 3.5 2 1 1,5 1,9 1,99 1,999 —0,25 — 1 — 4 — 100 — 10000 — 1000000y x Figura 3-5 Exemplo 6. Na Figura 3.6 temos o gráfico da função y = 3x -1. De modo análogo aos exemplos anteriores, observando esse gráfico e a Tabela 3.6, podemos escrever que lim (3x - 1) = lim (3x - 1) = 2, x-41+ x-41 ou ainda, lim (3x -1) = 2. x-41 Limite e continuidade 79 Portanto, hm (3x — 1) = 2. —> 1 (i) lim x2 = 16. x—>4 Vamos mostrar que dado e > O, existe 3 > O, tal que 1x2 — 16 1 < e sempre que O < Ix — 4 1 < 6. Da desigualdade que envolve E, temos lx2 — 16 1 < E IX-41 IX+ 4 1 < E Necessitamos agora substituir Ix + 41 por um valor constante. Neste caso, vamos supor O < 8 1, e então, de O < Ix — 4 1 < 8, seguem as seguintes desigualdades equivalentes: lx — 4 1 < 1 —1 <x-4 < 1 3 <x < 5 7 <x + 4 9 Portanto, Ix + 4 1 < 9. Escolhendo 6 = min (e / 9,1), temos que se Ix — 4 1 < 8 então Lx2 — 161= Ix— 411x + 41 < 6. 9 < 9 9 = e. Logo lim x2 = 16. x —>4 80 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração 3.4 PROPOSIÇÃO (UNICIDADE DO LIMITE) Se lim f(x) = L1 e lim f(x) = L2, então L 1 = L2. x —> a x -) a Prova. Seja E > O arbitrário. Como lim f(x) = L 1, existe 8 > O tal que x-> a I f (x) - L 1 1 < E /2 sempre que O < lx - a 1 < S i . Como lim f(x) = L2, existe 52 > O tal que -) a I f (x) - L21 < E /2 sempre que O < Ix - a I < 8 2 . Seja 8 = min {8 1 , S2 }. Então, If(x) - L 1 1 < E/2 e If(x) - L21 < E./2 sempre que 0 < ix - al < 8. Seja x tal que O < lx - al < S. Então, podemos escrever IL i - L2I = IL 1 - f (x) + f (x) - L2I ^ If (x) - L 1 1 + If (x) - L21 < E/2 + e/2 = e. Como e é arbitrário, temos IL 1 - L2I = O e portanto L 1 = L2 . 3.5 PROPRIEDADES DOS LIMITES - , Na Seção 3.3, usamos a definição de limite para provar que um dado número era limite de uma função. Foi um processo relativamente simples para funções lineares, que se tornou complicado para funções mais elaboradas. A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem apelar para a pesquisa do número 8 que aparece na definição 3.2. 3.5.1 Proposição. Se a, m e n são números reais, então lim (mx + n) = ma + n. x —> a Limite e continuidade 81 Prova. Caso I: m O. De acordo com a definição 3.2, dado e > O, devemos mostrar que existe 8 > O, tal que 1 (m x + n) — (m a + n)I < e sempre que O < 1 x — al < 8. Podemos obter a chave para a escolha de 8 examinando a desigualdade que envolve E. As seguintes desigualdades são equivalentes: 1 (m x + n) — (m a + n)I < E iM X — m al < E Iml I x — al < E 1 x — al < E 1 m 1 A última desigualdade sugere a escolha 8 = 1m 1 E 1De fato, se 8 = 1m ' temos e1(m x + n) — (m a + n)I = Iml lx — al < Iml • —Iml sempre que O < lx — al < 8, e portanto, lim (mx + n) = ma + n. x —> a Caso 2: m = O. Se m = O, então 1 (m x + n) — (m a + n)I = O para todos os valores de x. Logo, tomando qualquer 8 > O, a definição de limite é satisfeita. Portanto, lim (mx + n) = ma + n, para quaisquer a, m e n reais. x a Da proposição 3.5.1, decorre que: (a) Se c é um número real qualquer, então lim C = C. .x -4 a 84 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração então, lim h(x) = L. x —> a Prova. Seja E > O arbitrário. Como lim flx) = L, existe S i > O tal que If (x) — LI < x —> a sempre que O < Lr — al < 8 1 . Como lim g(x) = L, existe 32 > O tal que Ig (x) — LI < e X a sempre que O < lx — al < 82 . Seja 8 = min {8 1 , 82 }. Então, se O < Lr — a! < 8 temos que If (x) — LI < e e Ig (x) — LI < e, ou de forma equivalente, L — e < g (x) <L-i-eeL—E<f(x)<L+ E. Assim, usando a hipótese, concluímos que se O < lx — al j< 8, então, L < f (x) 5. h(x) g (x) < L + E , isto é, L — e < h(x) < L + e. Logo, se O < Lr — al < 8, temos que Ih(x) — LI < e e, portanto, lim h(x) = L . x a 3.5.4 Exemplos. (i) Encontrar lim (x2 + 3x + 5). x—> 2 Temos, hm (x2 + 3x + 5) = lim x2 + lim 3x+ lim 5 x —> 2 x —> 2 x —+ 2 x --)2 = lim x2 + 3 lim x + lim 5 2 x-422 x 2 = 22 + 3 2 + 5 = 15. Limite e continuidade 85 (ii) Encontrar lim x-93 x — 5 x3 — 7 Hm x-, 3 x — 5 lim (x — 5) x->3 3 — 5 —1 lim (x3 — 7) 27 — 7 10 x->3 — L1 < e x3 — 7 L1 <e (iii) Encontrar lim -‘ix4 — 4x + 1 . x-4-2 de forma Hm \ix4 — 4x + 1 \I Hm (X4 - 4x + 1) x -> - 2 x ->- 2 = -\](-2)4 —4(-2) + 1 = 5. X2(iv) Encontrar hm - 1 — 1 1(x) = im (x — 1) = O . -41 Neste caso, não podemos aplicar a propriedade do quociente pois Porém, se fatoramos o numerador obtemos x2 — 1 (x — 1)(x + 1) — x + 1 para x # 1. x — 1 x —1 Como no processo de limite os valores de x considerados são próximos de 1, ias diferentes de 1, temos lim X2 - 1- 1) (X + 1) - 11111 - Hm (x + 1) = 2 x — 1 x —x-,1 x->1 x-41 (v) Encontrar Hm x2 x sen —1 x Vamos usar a proposição 3.5.3. Como todos os valores da função seno estão tre —1 e 1, temos 0 < sen 1x 1, V x O. sen 1 x o x2 x2, V x O. =0.sen -1 x lim x2 x->I3 .(d) lim f(x). x -> 4 lim f(x). x -> (e) lim f(x). x-> 86 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração Multiplicando a desigualdade por x2, temos Como lim 0 = O e lim x2 = O, pela proposição 3.5.3 concluímos que x->I3 x->0 3.6 EXERCÍCIOS 1. Seja f (x) a função defmida pelo gráfico: Intuitivamente, encontre se existir: e(a) lim flx). 6 (b) lim f(x). x->3 - e(c) lim f(x).x->1+ x -> 3 Limite e continuidade 89 u6. Mostrar que existe o limite de f(x) = 4x — 5 em x = 3 e que é igual a 7. 7. Mostrar que lim x2 = 9. x —› 3 Nos exercícios 8 a 12 é dado lim f(x) = L. Determinar um número 8 para o E dado x —> a tal que If(x) — LI < e sempre que O < I x — al < S. 8. lim (2x + 4) = 8 e = 0,01. x 2 9. lim (-3x + 7) = 10 , e = 0,5. x-*-1 e = 0,1. x —> —2 X + 2 2 1 — x 3 1 limE = 0,25.— x —> 5 X2 — 1 12. lim 1 x— 1 — 2 e = 0,75. X —> 13. Demonstrar que lim x sen 1/x = 0. x —> O 14. Mostrar que: (0 Se f é uma função polinomial, então lim f(x) = fia) para todo real a. x -4a (ii) Se g é uma função racional e a pertence ao domínio de g então lim g(x) = g(a)• x —> a Calcular os limites nos exercícios 15 a 34, usando as propriedades de Limites. 45. lim (3 — 7x — 5x2). 16. lim (3x2 — 7x + 2). x —> O x —> 3 10. lim x2 — 4 — —4 11. x -- 30. Hm 3x -32 x - 4 .31. lim [2 sen x - cos x + cotg x]. x -37c/2 032. lim (ex + 4x). ,21 i x->4 90 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 17. Em (-x5 + 6x4 + 2). x->-1- 19. Hm [(x + 4)3 (x + 2)-11. x- -1 18. Hm (2x. + 7). x -> 1/2 20. lim [(x - 2) 10 (x + 4)]. x -> x + 4 t + 3 21. lim 22. Em3x -x ->2 t->2 t + 2 . X223. lim -1 x -)1 x 1. +St + 6. t224. hm t + 2t->2 t225. lint - 5t + 6 26. s + 4 t-2 t - 2 s -3 1/2 2s 27. lim 3N2x + 3. x -34 28. fim (3x + 2)2/3 . x -37 2x229. lim - x x -) .5/1 3x 33. Em (2x + 3) 1/4 . senil x 34. lim 4x ->2 3.7 LIMITES LATERAIS 3.7.1 Definição. Seja f urna função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um núMero L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e escrevemos lim f(x) = L, x a-F Limite e continuidade 91 se para todo e > O, existe um 8> O, tal que f(x) - LI < e sempre que a < x < a + 8. Se Hm f(x) = L, dizemos que f(x) tende a L quando x tende para a pela x _> a+ direita. Usamos o símbolo x a+ para indicar que os valores de x são sempre maiores do que a. De maneira análoga, definimos limite à esquerda. 3.7.2 Definição. Sejaf uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função f, quando x tende para a, e escrevemos lim f(x) = L, se para todo e > O, existe um 8 > O, tal que If(x) - LI < e sempre que a - < x < a. Neste caso, o símbolo x —> a indica que os valores de x considerados são sempre menores do que a. Observação. As propriedades de limites, vistas nas proposições 3.5.1, 3.5.2 e 3.5.3 continuam válidas se substituirmos x —> a por x --> a+ ou x —> a- . 3.7.3 Exemplos (i) Dada a função f(x) = (1 + -Vx - 3 ), determinar, se possível, lim f(x) e lim f(x). x -)3+ x-)3 A função dada só é definida para x 3. Assim, não existe lim f(x). x-43 Para calcular lim f(x), podemos aplicar as propriedades. Temos, x->3+ lim f(x) lim (1 + - 3 ) x -> 3+x-)3+ OCV le4 0.‘ -1; 1.6 o 6 CP, 94 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração O teorema a seguir nos dá a relação existente entre limites laterais e limite de uma função. 3.7.4 Teorema. Se fé definida em um intervalo aberto contendo a, exceto possivel- mente no ponto a, então Hm f(x) = L se e somente se lim f(x) L x- a x—►a+ e lim f(x) = L. x- a- Prova. Provaremos apenas a condição suficiente. A condição necessária é conseqüência imediata das definições dos limites envolvidos. Suponhamos que Hm f(x) = L e Hm f(x) L. Então, dado e > 0 arbitrá- x -a+ rio, existe S i > O tal que if (x) - L < E' sempre que a < x < a + 8 1 e existe 82 > 0 tal que tf (x) - Li < e sempre que a - 82 < x < a. Seja 8 = min {S i , 82}. Então a - 82 s a - 8 e a+Ssa+ 8 1 , e, portanto, se x  a e a-S<x<a+6, temos que If (x) - Li < E. De forma equivalente, If (x) - Li < E sempre que O < lx - ai < S e desta forma, lim f(x) = L. 3.7.5 Exemplos (i) Analisando os exemplos anteriores, podemos concluir que: kl -ó - o(a) Também não existe lim - x -z (b) Hm ixi = 0. x -o Limite e continuidade 95 {x 2 + 1 , para x < .2 (ii) Seja f(x) = 2 , para x = 2 9 - x2 , para x > 2 . Determinar, se existirem, lim f(x), lim f(x) e lim f(x). Esboçar o gráfico x-)2+ x->2 x->2 da função. Se x > 2, então, f (x) = 9 - x2 . Assim, lim f(x) = Hm (9 - x2) = lim 9 - Hm x2 =9 - 4 = 2+ x-2+ x->21- x-42+ Se x < 2, então, f(x) = x2 + 1. Portanto, Hm f(x) = lim (x2 + 1) = lim x2 + lim 1 = 4 + .1 = 5. x->2 x->2 x-)2 x->2 Como Hm f(x) = lim f(x) = 5, concluímos que x_)2+ lim f(x) = 5. x->2 A Figura 3.9, mostra o gráfico de f(x). {x2 - 2x + 1 , x  3 .2. Seja h(x) = 7 x 3 . 96 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração Figura 3 -9 3.8 EXERCÍCIOS 1. Seja f(x) = Calcule: )(b) Em flx). x -› 3- x -) 3+ ‘""( ,,(d) lim f(x). -(e) Hm f(x). x - > 5 - x_5+ Esboçar o gráfico deflx). 3(a) lim f(x). (c) lim fiz). x -4 3 Em f(x). x-)5 •Calcule lim h(x). Esboce o gráfico de h(x). x-)33
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