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Integrais Resolução dos Exercícios Propostos

Exercício 1: Encontre a integral indefinida das seguintes funções:

a) 5

Solução:

vd v v v dv v C

Exercício 2: Encontre a integral indefinida das seguintes funções:

3cos ()

7sen xfx x cos ttgt t sen cos ()

7cos 7cos xfx x

Solução:

a) 2 3cos 3 cotg cossec

77sen xdxxxdxx=∫∫, mas pela tabela de derivação dada no final do

Fundamentumnº 27, obtém-se que:

cossec cossec cotgd x xdx =−.

Assim, 2 3cos 3 cossec

77sen x dx x Cx

2cos tg sen sen 2cos 2cos

cos cos cos t t tdt t dt t dt dt novamente pela tabela de derivação dada no final do Fundamentum nº 27, obtém-se que:

sec sec tgd x xdx =, assim, 22costg 2sen sec .

cos t dt t t Ct

777cos 7cos x dx x dx xdxx

+=+=∫∫∫, mas novamente pela tabela de derivação dada no final do fundamentum nº 27, obtém-se que:

2tg secd xxdx =,

77cos 7cos x dx x Cx

Exercício 3: Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:

Sugestão para resolver o item c: considere 1ux=+. Solução:

a) Fazemos 23ux=−, logo 3dudx=−, e assim,

b) Fazemos 22ux=−, logo 2duxdx=, e assim,

c) Fazemos, conforme sugestão 1ux=+, logo dudx=, e assim,

dudx=, e assim,

f) Fazemos 21cos2 cos

g) Fazemos ux=, logo 12 du dxx

=, e assim,

h) Fazemos 3ux=, logo 3dudx=, e assim,

Exercício 4: Calcule as seguintes integrais, utilizando a técnica de integração por partes.

d) 3senxxdx∫; e) 2cosseccotgxxdx∫; f) 2sensecxxdx∫. Solução:

a) Façamos ux= e

b) Façamos arcsenux= e dvdx=, logo e vx=, e assim,

arcsen arcsen 1 xxd x udv uv vdu x x dxx ==−=−−∫∫∫∫, fazendo agora 21tx=−, temos que

21 x dx du u x

2arcsen arcsen 1xd x x x x C=+ − +∫ . c) Façamos 21ux=+ e sendvxdx=, logo 2dudx= e cosvx=−, e assim,

d) Segue imediatamente do item c que sensencosxxdxxxxC=−+∫. Façamos então 3ux= e sendvxdx=, logo 23duxdx= e cosvx=−. Portanto,

332sencos3cosxxdxxxxxdx=−+∫∫(1)

Analisando a integral 2cosxxdx∫, observamos que podemos calculá-la também por partes, fazendo agora

2ux= e cosdvxdx=, logo 2duxdx= e senvx=, e assim, 22cossen2senxxdxxxxxdx=−∫∫ e pela observação acima, concluímos que

22cossen2(sencos)xxdxxxxxx=−−∫(2)

Substituindo (2) em (1), obtemos

3 2sen cos 3 sen 6 cos 6senxx dx x x x x x x x C=− + + − +∫ . e) Façamos cossecux= e cosseccotgdvxxdx=, logo cosseccotgduxxdx=− e cossecvx=−, e assim, 22cosseccotgcossec(cossec)(cosseccotg)xxdxxxxxdx=−−−−∫∫. Logo,

2 cossec cotg cossecxx dx x=−∫ . Portanto, 2 cosseccossec cotg 2 xxxdxC=−+∫ f) Façamos senux= e 2secdvxdx=, logo cosduxdx= e tgvx=, e assim,

2sen sec sen tg tg (cos ) sen tg sen sen tg cosx x dx x x x dx x x dx x x x C=− = + = + +∫∫ ∫ .

Exercício 5 (resolução com o uso de calculadora ou microcomputador): Escreva a soma de Riemann das seguintes funções nos intervalos indicados, usando a quantidade n de subintervalos na partição considerada. A seguir utilize uma calculadora ou software para calcular o valor numérico da soma.

Exercício 6: Calcule, mediante o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais a seguir.

d) 2

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