1Lista de Exercícios.GA.Vetores.Retas

1Lista de Exercícios.GA.Vetores.Retas

Ministério da Educação UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL REI

Campus Santo Antônio

1ª Lista de Exercícios. Geometria Analítica – Engenharia Elétrica Prof. Nilton César da Silva - 01/03/2012

01) Considere 3 com o produto interno usual. Para que valores de k podemos afirmar que u e v são ortogonais (perpendiculares)? a) u = (2, 1, 3) , v = (1, 7, k) b) u = (k, k, 1) , v = (k, 5, 6)

02) Considere 4 com o produto interno usual. Para que valores de k podemos afirmar que 5 vk, com v = (−2, 3, 0, 6) ? 03) Determine o valor de k, tal que u = (1,-2, k) possa ser escrito como combinação linear de v = (3, 0,-2) e w = (2,-1,-5).

04)Represente graficamente os vetores kjia 32 e kjib

3Em seguida
b) ba c) a

d) b e) ba

f) ba

05) Considerando a reta r que passa pelos pontos (1; 2) e (2; –1), é correto afirmar que: (01) A equação da reta r é 3x + y – 5 = 0. (02) A reta r é paralela à reta que passa pelos pontos (2; 4) e (3; 1). (04) A reta r é perpendicular à reta de equação x + 3y – 5 = 0. (08) A reta r e a reta de equação 2x + y = 3 se interceptam num único ponto. (16) O gráfico da reta r intercepta a região do plano em que x < 0 e y < 0. Dê, como resposta, a soma das alternativas corretas.

06) Qual é a equação geral da reta, representada abaixo?

07) Mostre que as retas são perpendiculares.

a) y = 1,5b) y = 3,5 c) x < 2,5 d) x = 7,5 e) y > 2,5
09) A equação da reta perpendicular à reta y = –x + 1 e que passa pela intersecção das retas
a) 2x + 2y + 7 = 0b) 5x – 5y + 1 = 0 c) 7x – 7y – 4 = 0 d) 7x + 7y – 6 = 0 e) –2x + 2y – 5 = 0

08) A condição para que o ponto P(2; y) não esteja alinhado com os pontos A(–4; 6) e B(0; 3) é 2x – 3y – 1 = 0 e 3x – y – 2 = 0 é:

a) y – 2x – 1 = 0 e 2y + x – 3 = 0d) –y + 2x + 1 = 0 e 2y – x + 3 = 0
b) y + 2x – 1 = 0 e 2y – x + 3 = 0e) Nenhuma das respostas anteriores.

10) As equações das retas que passam pelo ponto (1, –1) e são uma paralela e outra perpendicular à reta 2x + y – 3 = 0, são respectivamente: c) –y – 2x + 1 = 0 e 2y + x – 3 = 0

a) 3x – y + 14 = 0b) 3x + y = 10 c) 2x + y = 14 d)2x – y + 10 = 0 e) x – 2y + 6 = 0

1) Considere o segmento de reta cujos extremos são os pontos A (2, 4) e B (–6, 8). A equação da reta mediatriz deste segmento é:

12) Mostre que A =(3; 0; 2), B =(4; 3; 0) e C =(8; 1;1) são vértices de um triângulo retângulo. Em qual dos vértices está o ângulo reto?

13) Decomponha W =(1, 3 , 2) como a soma de dois vetores W1 e W2 , com W1 paralelo ao vetor (0, 1, 3) e W2 ortogonal a este último.

14) Ache o vetor unitário da bissetriz do ângulo entre os vetores V = (2, 2, 1) e W = (6, 2,3).

15) Sabe-se que o vetor X é ortogonal a (1, 1, 0) e a (1, 0, 1), tem norma 3 e sendo o ângulo entre X e (0, 1, 0), tem-se cós > 0. Ache X.

16) Mostre que se V é ortogonal a W1 e W2 , então V é ortogonal a 21W 17) Demonstre, utilizando conceitos vetoriais, que as diagonais de um losango são perpendiculares.

A partir do número 18 não caem na primeira avaliação. 18) Ache a equação do plano paralelo ao plano 2x - y+5z - 3 = 0 e que passa por P = (1; - 2; 1).

19) Encontre a equação do plano que passa pelo ponto P = (2; 1; 0) e é perpendicular aos planos x + 2y - 3z + 2 = 0 e 2x - y + 4z - 1 = 0.

20) Encontrar a equação do plano que passa pelos pontos P = (1; 0; 0) e Q = (1; 0; 1) e é perpendicular ao plano y = z.

21) Sejam P = (4; 1; -1) e r : (x; y; z) = (2; 4; 1) + t (1; -1; 2).

a) Mostre que rP ; b) Obtenha uma equação geral do plano determinado por re P.

2) Dados os planos 1 : x - y + z + 1 = 0 e 2 : x + y - z - 1 = 0, determine o plano que contém 1 2 e é ortogonal ao vetor (1; 1; 1).

24) Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta? a) x + 2y - 3z - 4 = 0 e x - 4y + 2z + 1 = 0; b) 2x - y + 4z + 3 = 0 e 4x - 2y + 8z = 0; c) x - y = 0 e x + z = 0.

25) Encontre as equações da reta que passa pelo ponto Q =(1; 2; 1) e é perpendicular ao plano x - y + 2z - 1 = 0.

26) Ache a equação da reta que passa pelo ponto P = (1; 0; 1) e é paralela aos planos

2x + 3y + z + 1 = 0 e x - y + z = 0.

27) Seja r a reta determinada pela interseção dos planos x + y - z = 0 e 2x - y + 3z - 1 = 0. Ache a equação do plano que passa por A = (1; 0; -1) e contém a reta r.

Comentários