calculo 2 EDO EXERCICIOS

calculo 2 EDO EXERCICIOS

(Parte 1 de 2)

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática

MAT 147 – CÁLCULO I TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS (PARTE 1) xxxyxcecexex−=++− é uma solução da equação diferencial ordinária

2. Prove que y, definida implicitamente pela equação 22xyC−=, é solução da EDO dyyxdx = .

3. Mostre que:

xyx

=∑é uma solução da equação diferencial 20yy′−=

=∑ é uma solução da equação diferencial 0yxy′−= xyx

4. Use séries de potências para resolver as seguintes EDO’s. a) 0yy′−=b) 0yy′+=c) 0yy′′+=

Resposta: Considere 0 n

= =∑, derive e substitua na equação, transforme os índices do somatório de modo a começarem de zero, daí ache a relação entre os coeficientes. Depois consulte a Tabela logo abaixo.

d) 01cosh senhyc x c x=+ TABELA 23

1

x n x x xex x IR

ln(1)1 se11n
sen1

x x x IR n

cos11

x x xx IR

senh

x x xx x IR n

cosh1

x x xx IR

5. Resolva a equação diferencial

a) 2cosec20xdyydx−=Resposta: 12()arccos2 Cxyx x

6. Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaça a condição dada. Este tipo de problema é conhecido como Problema de valor inicial ou Problema com valores de contorno.

a) xyyxy′−=, onde (9)4y=Resposta: 1103
b) 223yyyy′′=−, onde (3)1y=Resposta: 2ln38yyx+=−
c) 2sec2cos0ydxxdy−=, onde (4)6yππ=Resposta: 32tgsen222
d) 210xdyydx−−=, onde 1(1)2y=Resposta: senln6

7. Resolva a equação diferencial

a)22xyye′+=Resposta: 2214

c) cotg cossecyy x x′+= Resposta: ( )cossecyx C x=+

d) 2(2)0xxdyxyedx+−=Resposta: 2 xeCy x e) tg senyy x x′+= Resposta: ()cos ln secyx C x=+ f) (sen2)cos0yxdxxdy−+=Resposta: 2sencosyxCx=+

h) tg(sen)0xdyyxdx+−=Resposta: 1sen

2s en Cyx x i) tg sec 2 cosyy x x x x′+= + Resposta: () 2sen cosyx x C x=+ +

8. Use variação de parâmetros e encontre a solução geral da equação sec 2 cosyy tgx x x x′+= + . Resposta: 2y sen cos cosxx x c x=+ +

9. Resolva as seguintes equações de Bernoulli

10. Prove que ()()ababxyxyc+−+−= é a solução de ()()0axbydxbxaydy−+−=, ,abZZ∈ 1. Verifique se são homogêneas as equações e resolva em caso afirmativo.

a) 2 yxyxdx dy++= Resposta: arctglnyxcx

b) 2(45)(57)0yxdxyxdy+++=Resposta: ()()Cyxyx=++322

12. Resolva o problema de valor inicial:

b) Encontre a solução geral ()gyx no item a), calcule lim()gxyx→∞ .

Resposta: ))()lim1g

bay b y x b

13. Uma curva passa pelo ponto (2,1)P= e tem por coeficiente angular

(,)Qxy=. Determine a equação da curva.Resposta:

14. Resolva 2524 dy x y dx x y −+−=−+ mediante a substituição xuα=+, yvβ=+ onde α e β são

encontrados resolvendo o sistema

++ em cada ponto

(,)Qxy=. Determine a equação da curva. Resposta:2222yxyx++= 16. Resolva as equações sem o termo em y ou sem o termo x.

b) 3()0yyy′′′−=Resposta: 12lne yyycyxcyc−++==

17. Resolva as equações diferenciais:

b) 2cotg(1)0xdyydx−+=, onde (0)1y=Resposta: tglnsec4

c) cos ( sen ) 0xxd y y x e dx−−+ = Resposta: () secxyC e x−=− x y e) 2 y

f) 1 xyd x c

Resposta: 211 1sen cos cos cos 2 2 xxye x x e x x=+ + h) 32yxyxy′−=Resposta:

x xyk e

Resposta: 2

Resolva os seguintes problemas de aplicação

18. O corpo de uma vitima de assassinato é achada a uma temperatura de 035C, ao meio-dia, numa sala com temperatura constante de020C; duas horas depois a temperatura do corpo é de 033C.

a) Ache a temperatura H do corpo como função de t, o tempo em horas desde que foi encontrado. b) Esboce um gráfico de H contra t. c) que acontece com a temperatura a longo prazo? Mostre isto no gráfico e algebricamente. d) À hora do assassinato, suponha que o corpo da vitima tinha a temperatura normal, 037C. Quando ocorreu o crime?

Sugestão: A lei do resfriamento de Newton afirma que a taxa na qual um objeto se resfria é diretamente proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o meio ambiente.

Resposta:a) ()1520ktHte−=+ onde

Gráfico )b

d) aproximadamente 1 hora e 4 min.

19. O modelo de Von Bertalanffy para o crescimento de um animal admite que haja um extremo superior de L centímetros para o comprimento. Se y é o comprimento na idade de t anos, supõe-se a taxa de crescimento proporcional ao comprimento ainda por atingir. Ache a solução geral da equação diferencial resultante.

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