INTEGRAL DUPLA (conceitos)

INTEGRAL DUPLA (conceitos)

(Parte 1 de 3)

Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla.

Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y).

Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja,

Nosso objetivo é determinar o volume de S.

b a x c R

R x z S

isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento

O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos.

Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j } cada um dos quais com área A = xy.

Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:

Vij = f(xij , yij)A. Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S:

V m

1j ijij

Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.

xi x b a x d c

R y yj y

Rij ((xij ,, yij))

Nossa intuição diz que a aproximação V m

1j ijij

1i A)y,x(fmelhora quando aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que:

V = m

1j ijij

Usamos essa expressão para definir o volume do sólido S que corresponde à região que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f. Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição:

A integral dupla de f sobre o retângulo R é

1j ijij se esse limite existir.

Pode ser provado que o limite existe sempre que f for uma função contínua. Além disso, se f(x,y) > 0, então o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f(x.y) é

R y

S f (xij , yij )

(xij , yij ) Vij

A soma m

1j ijij

1i A)y,x(fé chamada soma dupla de Riemann e é usada como aproximação do valor da integral dupla.

Exemplo 1: O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada quadrado Rij.

Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale 1.

O parabolóide é o gráfico de f(x,y) = 16 – x2 – 2y2 . Aproximando o volume pela soma de

Riemann com m = n = 2, temos: 2

1j ijij

= 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34 Esse é o volume das caixas aproximadoras, como mostra a figura abaixo:

Obtemos melhor aproximação do volume quando aumentamos o número de quadrados. A figura abaixo mostra como as figuras começam a parecer mais com o sólido verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos 16, 64 e 256 quadrados.

Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo:

dc baba d cR

Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R.

Exemplo 2: Calcule o valor da integral R 2ydAx, onde R = [0,3] x [1,2]

Solução: R

2 dxydyx =

ou

O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x2 y (Veja figura ao lado)

Exemplo 3: Calcule R dA)xysen(y, onde R = [1,2] x [0,].

Solução:

1 sensen yseny2sen 2 dyxycosdydx)xysen(ydA)xysen(y

Obs.: 1) Se mudarmos a ordem de integração, invertendo as integrais iteradas, a resolução das mesmas irá requerer a aplicação de técnicas de integração, tornando o trabalho mais demorado. Portanto é importante observar o tipo de função que iremos integrar e fazer uma boa escolha da ordem de integração. 2) O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do sólido que está acima do retângulo R e do volume da parte do sólido que está abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes são iguais.

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