7 - Coordenadas Polares e Curvas Paramétricas

7 - Coordenadas Polares e Curvas Paramétricas

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CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO _ cos2 t + sen2 t = 1 ⇒

= 1 Se a = b, as equações acima escritas (quer as equações paramétricas, quer a equação em coordenadas rectangulares) representam uma circunferência de raio a centrada no ponto de coordenadas rectangulares (xo, yo). Exemplo 7.6 Orientação associada a duas parametrizações diferentes da circunferência de raio 1 centrada na origem, de equação x2 + y2 = 1: Se utilizarmos a parametrização x = cos t y = sen t

, 0 ≤ t ≤ 2π, a circunferência é descrita a partir do ponto de coordenadas (1, 0) no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio: t 0 π/2 π 3π/2 2π x 1 0 – 1 0 1 y 0 1 0 – 1 0 Se, porém, utilizarmos a parametrização x = cos t

, 0 ≤ t ≤ 2π, a mesma circunferência é descrita a partir do ponto de coordenadas (1, 0) no sentido dos ponteiros do relógio: t 0 π/2 π 3π/2 2π x 1 0 – 1 0 1 y 0 – 1 0 1 0

7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO _

7.2.4 Equações paramétricas do ciclóide O ciclóide é a curva descrita por um ponto fixo P da periferia de um círculo de raio a, quando esse círculo roda sem deslizar ao longo do eixo Ox:

As equações paramétricas do ciclóide são (ver exemplo seguinte): x = a (t − sen t)

, com t ∈ IR e a ∈ IR+ Exemplo 7.7 Dedução geométrica das equações paramétricas do ciclóide:

CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO _

36 As equações paramétricas do ciclóide podem ser deduzidas geometricamente se interpretarmos o parâmetro t como sendo o ângulo de rotação do círculo, expresso em radianos (ver figura anterior): 1. arco

OT, porque o círculo roda sem deslizar, e o ponto P encontrava-se inicialmente em O; 2. arco

PT = at, porque é o comprimento de um arco de circunferência de raio a e ângulo-ao-centro t; 3.

Ox = at – x (evidente da figura); 4.

PQ = a sen t, do triângulo rectângulo PQC; 5. at – x = a sen t ⇒ x = at – a sen t = a (t – sen t), de 3. e 4.; 6. CQ = Oa –

Oy = a – y (evidente da figura); 7.

CQ = a cos t, do triângulo rectângulo PQC; 8. a – y = a cos t ⇒ y = a – a cos t = a (1 – cos t), de 6. e 7. É possível eliminar o parâmetro t das equações paramétricas e relacionar directamente x com y, mas o resultado que se obtém por este processo é muito mais complicado do que as equações paramétricas acima escritas7.2.5 Funções definidas por representações paramétricas Definição: Uma curva plana representada pelo par de equações paramétricas {x = f(t),y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR}, diz-se uma curva suave (ou curva lisa) se as derivadas

dxdt forem contínuas e não se anularem simultaneamente para nenhum valor de t ∈ I. Mostremos que uma curva paramétrica suave pode sempre ser considerada como sendo o gráfico de uma função do tipo y = F(x) numa certa vizinhança de qualquer ponto da curva onde dxdt ≠ 0:

dxdt

> 0 (ou < 0), ∀t ∈ I ⇒ x = f(t) é crescente (ou decrescente), ∀t ∈ I ⇒ ⇒ Existe a função inversa t = f–1(x) ⇒ y = g(t) = g(f–1(x)) = F(x)

7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO _

Os dois gráficos seguintes mostram estas situações para o caso em que I = [a,b]:

Repare-se bem que, se dxdt

≠ 0, apenas podemos garantir que a função y = F(x) existe, mas isso não significa que possamos saber qual é essa função! Para isso acontecer, teríamos de ser capazes de eliminar o parâmetro t das duas equações paramétricas, o que na maior parte dos casos é impossível7.2.5.1 Derivação de funções do tipo y = F(x) definidas por representações paramétricas Se for verificada a condição

dxdt

≠ 0 num intervalo contido em I, a derivada da função y = F(x) nesse intervalo poderá ser obtida directamente das equações paramétricas, sem que seja necessário eliminar o parâmetro t para conhecer a função y = F(x). De facto, se dxdt

≠ 0, mostrámos acima que t = f–1(x) ⇒ y = g(f–1(x)) = F(x). Aplicando as conhecidas regras de derivação da função composta e da função inversa, obtém-se o seguinte resultado para a derivada de F(x): F(x) =

CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO _

Substituindo agora f–1(x) por t na última expressão, vem o resultado pretendido: F(x) =

, se f(t) ≠ 0 Repare-se que nesta fórmula o símbolo de derivação se refere à variável x no 1º membro e à variável t no 2º membro! Se utilizarmos a notação diferencial para as derivadas, o resultado é muito mais “intuitivo” e fácil de memorizar: dydx dt dx dxdt

≠ 0 Para calcularmos F(x), basta repetir o procedimento anterior, derivando g′(t) f′(t) em ordem a x por intermédio de t: F(x) =

ddx g′(t) f ′(t) dx dt

, se f(t) ≠ 0 Este resultado também pode ser escrito utilizando apenas a notação diferencial:

dx 2 ddx dy ddt dy/dt dx/dt dxdt

≠ 0 Exemplo 7.8 Considere a curva paramétrica seguinte:

, com t ∈ IR . (a) Escreva a equação da tangente à curva no ponto onde o parâmetro t toma o valor 1; (b) Determine o sinal da concavidade no mesmo ponto.

7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO _

(a) dx

, se t ≠ 0 Para t = 1, obtém-se x = 3, y = 5 e

, logo a equação da tangente à curva no ponto correspondente a t = 1 será: (y – 5) =

(x – 3). (b)

dx 2 ddx 9 t d dt 9 t dx 2

> 0 ⇒ concavidade positiva7.2.5.2 Integração de funções do tipo y = F(x) definidas por representações paramétricas Suponhamos que era dada a curva paramétrica suave de equações {x = f(t), y = g(t)}, com a ≤ t ≤ b; para garantir que esta curva representa o gráfico de uma função não-negativa y = F(x) no intervalo [c,d] correspondente, vamos admitir que

dxdt

≠ 0 e que y = g(t) ≥ 0 em [a,b]: Podemos então calcular directamente a área delimitada pelo gráfico de y = F(x) e pelo eixo Ox entre c e d, utilizando as equações paramétricas da curva, mesmo sem conhecermos a função F(x):

CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO _

F(x) dx =

dx = dx dt dt dt em que a notação y(t), aqui utilizada pela primeira vez, significa que devemos exprimir y em função de t (y = g(t)) para calcularmos o integral, e em que * = a e ** = b se dxdt dxdt < 0, como se depreende facilmente das duas figuras abaixo representadas:

Note-se pois que a integração com respeito a t poderá ser feita de a para b ou de b para a, conforme a orientação da curva paramétrica que representa o gráfico de y = F(x); em qualquer dos casos, independentemente dessa orientação, isto corresponde a uma integração com respeito a x feita de c para d. O volume dos sólidos de revolução que se obtêm por rotação da mesma região do plano em torno de Ox ou de Oy também pode ser calculado directamente a partir da representação paramétrica, sem termos de eliminar o parâmetro t: • Rotação em torno de Ox (método das secções rectas): Vx = π

[F(x)]2 dx = π

dx = dx dt dt dxdt dt

7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO _

• Rotação em torno de Oy (método das cascas cilíndricas): Vy = 2π x F(x) dx = 2π

dx = dx dt dt

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