Exercícios resolvidos de dinâmica clássica, Notas de estudo de Física

Baixe Exercícios resolvidos de dinâmica clássica e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:49 Exercı́cios Resolvidos de Dinâmica Clássica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica, Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Instituto de Fı́sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul 91501-970 Porto Alegre, BRASIL Matéria para a QUARTA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Sumário 10 Colisões 2 10.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 10.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . . 2 10.2.1 Impulso e Momento Linear . . . 2 10.2.2 Colisões Elásticas em Uma Di- mensão . . . . . . . . . . . . . 4 10.2.3 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão . . . . . . . . . . . . 5 10.2.4 Colisões em Duas Dimensões . 6 10.2.5 Problemas Adicionais . . . . . 7 Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex) http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 1 de 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:49 10 Colisões 10.1 Questões Q 10-1 Explique como a conservação de energia se aplica a uma bola quicando numa parede.
10.2 Problemas e Exercı́cios 10.2.1 Impulso e Momento Linear E 10-3 (10-1/6  edição) Um taco de sinuca atinge uma bola, exercendo uma força média de  N em um intervalo de  ms. Se a bola tivesse massa de    kg, que velocidade ela teria após o impacto?
Se for a magnitude da força média então a magni- tude do impulso é   , onde  é o intervalo de tempo durante o qual a força é exercida (veja Eq. 10-8). Este impulso iguala a magnitude da troca de momen- tum da bola e como a bola está inicialmente em repouso, iguala a magnitude  do momento final. Resolvendo a euqação  para  encontramos        "!$#   % "  m/s  E 10-9 (10-5/6  ) Uma força com valor médio de &  N é aplicada a uma bola de aço de   ' kg, que se desloca a (' m/s, em uma colisão que dura *) ms. Se a força estivesse no senti- do oposto ao da velocidade inicial da bola, encontre a velocidade final da bola.
Considere a direção inicial do movimento como po- sitiva e chame de a magnitude da força média,  a duração da força,  a massa da bola,  + a velocidade inicial da bola, , a velocidade final da bola. Então a força atua na direção negativa e o teorema do impulso- momento fornece- ./0 , -  +  Resolvendo para  , obtemos  ,   + - 1  (' -  & *  *)2  !3#&  '  -54 ) m/s  A velocidade final da bola é 4 ) m/s. P 10-12 (10-9/6  ) Um carro de ' kg, deslocando-se a   6 m/s, está ini- cialmente viajando para o norte, no sentido positivo do eixo 7 . Após completar uma curva à direita de 89 para o sentido positivo do eixo : em '; 4 s, o distraido moto- rista investe para cima de uma árvore, que pára o carro em 6 ms. Em notação de vetores unitários, qual é o impulso sobre o carro (a) durante a curva e (b) durante a colisão? Qual a intensidade da força média que age so- bre o carro (c) durante a curva e (d) durante a colisão? (e) Qual é o ângulo entre a força média em (c) e o senti- do positivo do eixo : ?
(a) O momento inicial do carro é< + =>?  '  " 6A@B  )C'*  kg Dm/s A@ e o momento final é  )E'*  kg Dm/s GF . O impulso que nele atua é igual à variação de momento:H  < , - < +   )E'*  kg Dm/s   F - @CI (b) O momento inicial do carro é < +   )C'*  kg Dm/s JF e o momento final é < , K , uma vez que ele para. O impulso atuando sobre o carro éH  < , - < +  -  )C'*  kg Dm/s JF (c) A força média que atua no carro é L IM   <  H    )C'*  kg Dm/s   F - @E'N 4   4 &6 N   F - @C e sua magnitude é OM    4  N QP RS  4 UT 6 N. (d) A força média é L OM  H   - )E'*  kg Dm/s GF6?& !3# http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 2 de 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:49
(a) Seja  f ,  f + ,  f , a massa e as velocidades inicial e final do carro que originalmente se move. Seja  g e g , a massa e a velocidade final do carro originalmente parado (  g +  . Então, de acordo com a Eq. 10-18, temos  f ,1  f -  g f x} g  f +_ Desta expressão obtemos para  g :  g   f + -  f , f ,‚x} f +  f  -   44 5x  44  6 '* g `=88 g  (b) A velocidade do segundo carro é dada por  g ,  E f f x} g  f +   ; 6'  6 '*ƒx  88     8 m/s  (c) A velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois carrinhos satisfaz a equação„    f xz g G …{†‡ f  f + x} g  g +  Lembrando que  g + / , temos  …{†‡  f  f + f xz g   6 '*   6 '5x88 =  86 m/s  Observe que usamos gramas em vez de kilogramas. E 10-34 (10-41/6  ) Um corpo de "  kg de massa colide elasticamente com outro em repouso e continua a deslocar-se no sentido original com um quarto de sua velocidade original. (a) Qual é a massa do corpo atingido? (b) Qual a veloci- dade do centro de massa do sistema formado pelos dois corpos se a velocidade inicial do corpo de "  kg era de';  m/s?
(a) Sejam  f ,  f + ,  f , a massa e as velocidades antes e depois da colisão do corpo que se move originalmen- te. Sejam  g e  g , a massa e a volcidade final do corpo originalmente em repouso. De acordo com a Eq. 10-18 temos  f ,1  f -  g f x} g  f +_ Resolvendo para  g obtemos, para  f ,1= f +ˆ^E' ,  g   f + -  f , f , x} f +  f   - E^C'C^C'Bx=   f   6   " Z kg  (b) A velocidade do centro de massa do sistem formado pelos dois corpos satisfaz a equação„    f x} g ‰ …{†  f  f +Nx} g  g +_ Resolvendo para  …Š† com  g +{\ encontramos  …Š†   f  f + f x} g    *  'N * " Bx/ =   m/s  E 10-37 (10-43/6  ) Duas esferas de titânio se aproximam frontalmente com velocidades de mesmo módulo e colidem elasticamente. Após a colisão, uma das esferas, cuja massa é de 6 g, permanece em repouso. Qual é a massa da outra esfera?
Seja  f ,  f + ,  f , a massa e as velocidades antes e depois da colisão de uma das partı́culas e  g ,  g + ,  g , a massa e as velocidades antes e depois da colisão, da ou- tra partı́cula. Então, de acordo com a Eq. 10-28, temos  f ,   f -  g f xz g  f + x E g f x} g  g +  Suponha que a esfera  esteja viajando originalmente no sentido positivo e fique parada após a colisão. A esfera está viajando originalmente no sentido negativo. Subs- tituindo  f +‹ ,  g +Œ -  e  f , na expressão acima, obtemos / f - 6 g . Ou seja, g   f6  6 g6 Z g  10.2.3 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão E 10-41 (10-23/6  ) Acredita-se que a Cratera do Meteoro, no Arizona (Fig. 10.1), tenha sido formada pelo impacto de um me- teoro com a Terra há cerca de 20.000 anos. Estima-se a massa do meteoro em ‹Ž f c kg e sua velocidade em)  m/s. Que velocidade um meteoro assim transmiti- ria à Terra numa colisão frontal?
Seja  a massa do meteoro e  a massa da Terra. Seja   a velocidade do meteoro imediatamente antes da colisão e  a velocidade da Terra (com o meteoro) após a colisão. O momento do sistema Terra-meteoro é http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 5 de 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:49 conservado durante a colisão. Portanto, no sistema de referência Terra antes da colisão temos ‚ %  ‘’xz‘X‰3j de modo que encontramos para    |‘‘’xz‘   )     f c " 8o?& g W x  f c 4 ?& ! fQf m/s  Para ficar mais fácil de imaginar o que seja esta velo- cidade note que, como 6 4 Œ“ E'”6 4 •R6;& 6 4  , temos4 ?& ! fQf m/s  4 ?& ! fQf  6 &6 4 * m/ano     &o8 m/ano   o8 mm/ano  É uma velocidade MUITO difı́cil de se medir, não?... E 10-42 (10-21/6  ) Um trenó em forma de caixa de 4 kg está deslocando-se sobre o gelo a uma velocidade de 8 m/s, quando um pa- cote de & kg é largado de cima para dentro dele. Qual é a nova velocidade do trenó?
Precisamos considerar apenas a componente horizon- tal do momento do trenó e do pacote. Seja 0– , E– a mas- sa e a velocidade inicial do trenó. Seja ˜— , a massa do pacote e  velocidade final do conjunto trenó x pacote. A componente horizontal do momento deste conjunto conserva-se de modo que  –  –    – x}˜—‰3j de onde tiramos   –  –0–™xz —   8*  4 4 x/C \6 m/s  P 10-53 (10-29/6  ) Um vagão de carga de 6* t colide com um carrinho auxi- liar que está em repouso. Eles se unem e *)š da energia cinética inicial é dissipada em calor, som, vibrações, etc. Encontre o peso do carrinho auxiliar.
Seja  M e  M a massa e a velocidade inicial do vagão,a› a massa do carrinho auxiliar e  a velocidade fi- nal dos dois, depois de grudarem-se. Conservação do momento total do sistema formado pelos dois carros fornece-nos  M  M    M x}‘›œ‰ donde tiramos‹  M  M M x} ›  A energia cinética inicial do sistema é k +2 M  gM ^ enquanto que a energia cinética final ék ,  fg   M xz › ‰ g  fg   M xza›Q   M  M  g  M xza›œ g fg  gM  gM M x} ›  Como )š da energia cinética original é perdida, temosk , =; ) 6 k + , ou seja, fg  gM  gM M xza› \ ž)E6Xfg  M  gM j que, simplificada, fornece-nos  M ^   M x › Ÿe; ) 6 . Resolvendo para  › encontramos ‘›`   ) ž)E6  M =; 6€)C M     6*)   6* C " 8 toneladas C " 8?& # kg  A razão das massas é, obviamente, a mesma razão dos pesos e, chamando de „ M o peso do vagão, temos que o peso „ do carrinho auxiliar é„ =; 6€) „ M     6*)  6?& #   8; o* & 4  8;‚  # N  Observe que o resultado final não depende das velocida- des em jogo. 10.2.4 Colisões em Duas Dimensões E 10-63 (10-49/6  ) Em um jogo de sinuca, a bola branca atinge outra ini- cialmente em repouso. Após a colisão, a branca desloca- se a 6   m/s ao longo de uma reta em ângulo de  9 com a sua direção original de movimento, e o módulo da ve- locidade da segunda bola é de m/s. Encontre (a) o ângulo entre a direção de movimento da segunda bola e a direção de movimento original da bola branca e (b) a velocidade original da branca. (c) A energia cinética se conserva? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 6 de 7 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, às 10:49
(a) Use a Fig. 10-20 do livro texto e considere a bo- la branca como sendo a massa  f e a outra bola como sendo a massa  g . Conservação das componentes : e 7 do momento total do sistema formado pelas duas bolas nos fornece duas equações, respectivamente: f +   f ,` I¡¢ £ f xz g ,` I¡*¢"£ g  -  f , sen £ f x}0 g , sen £ g  Observe que as massa podem ser simplificadas em am- bas equações. Usando a segunda equação obtemos que sen £ g   f , g , sen £ f  6;    sen  9 \  4  4  Portanto o ângulo é £ g /'N&9 . (b) Resolvendo a primeria das equações de conservação acima para  f + encontramos f +   f ,` I¡*¢"£ f xz g , (¡¢"£ g   6;   I¡*¢  9 x  "   (¡¢ 'N 9 'N ) m/s  (c) A energia cinética inicial ék +  fg  g+  fg   'N ) g n 6? A energia cinética final ék ,  fg 0 gf , x fg  gg , fg \¤  6   g x   * gI¥ =o V(  Portanto a energia cinética não é conservada. 10.2.5 Problemas Adicionais http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Página 7 de 7