Astronomia e Astrofısica, Manuais, Projetos, Pesquisas de Direito

Baixe Astronomia e Astrofısica e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Direito, somente na Docsity! Astronomia e Astrof́ısica Kepler de Souza Oliveira Filho (S.O. Kepler) Maria de Fátima Oliveira Saraiva Departamento de Astronomia - Instituto de F́ısica Universidade Federal do Rio Grande do Sul Porto Alegre, 22 de setembro de 2003. ii 11 As leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 11.1 Tycho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 11.2 Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 11.2.1 Propriedades das elipses . . . . . . . . . . . . . . . . 70 11.2.2 As três leis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 11.3 Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 12 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 12.1 Gravitação universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 12.2 Derivação da “constante” K . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 12.3 Determinação de massas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 13 Leis de Kepler generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 13.1 Equação do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 13.2 Conservação da energia total do sistema . . . . . . . . . . . 93 13.3 Conservação do momentum angular . . . . . . . . . . . . . . 94 13.4 Primeira lei de Kepler: Lei das órbitas . . . . . . . . . . . . 94 13.5 Segunda lei de Kepler: Lei das áreas . . . . . . . . . . . . . 98 13.6 Terceira lei de Kepler: Lei harmônica . . . . . . . . . . . . . 99 13.7 A equação da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 13.7.1 Velocidade circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 13.7.2 Velocidade de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 13.7.3 Problema de muitos corpos . . . . . . . . . . . . . . 103 13.7.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 14 Forças gravitacionais diferenciais . . . . . . . . . . . . . . 107 14.1 Derivação da força diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 14.2 Marés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 14.2.1 Expressão da força de maré . . . . . . . . . . . . . . 110 14.2.2 Maré da Lua e do Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 14.2.3 Rotação sincronizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 14.2.4 Limite de Roche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 14.3 Precessão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 15 O Sol e os planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 15.1 Origem do sistema solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 15.2 Planetologia comparada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 15.2.1 Caracteŕısticas gerais dos planetas . . . . . . . . . . 126 15.2.2 Propriedades fundamentais dos planetas . . . . . . . 126 15.2.3 Estrutura Interna: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 v 15.2.4 Superf́ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 15.2.5 Atmosferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 15.2.6 Efeito estufa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 16 Corpos menores do Sistema Solar . . . . . . . . . . . . . . 137 16.1 Asteróides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 16.2 Impactos na Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 16.3 Satélites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 16.4 Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 16.5 Cometas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 16.6 Planeta X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 16.7 Chuva de meteoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 16.8 Luz zodiacal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 17 O Sol - a nossa estrela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 17.1 Estrutura do Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 17.1.1 A fotosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 17.1.2 A cromosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 17.1.3 A Coroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 17.2 A energia do Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 18 Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 18.1 Vida na Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 18.2 Vida no Sistema Solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 18.3 Vida na galáxia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 18.4 OVNIs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 18.5 Planetas fora do Sistema Solar . . . . . . . . . . . . . . . . 160 19 Determinação de distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 19.1 Paralaxe geocêntrica e heliocêntrica . . . . . . . . . . . . . . 167 19.1.1 Paralaxe geocêntrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 19.1.2 Paralaxe heliocêntrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 19.2 Unidades de distâncias astronômicas . . . . . . . . . . . . . 168 19.2.1 A unidade astronômica . . . . . . . . . . . . . . . . 168 19.2.2 O ano-luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 19.2.3 O parsec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 20 Estrelas binárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 20.1 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 20.2 Tipos de sistemas binários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 vi 20.3 Massas de sistemas binários visuais . . . . . . . . . . . . . . 175 20.4 Massas de binárias espectroscópicas . . . . . . . . . . . . . . 177 21 Fotometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 21.1 Grandezas t́ıpicas do campo de radiação . . . . . . . . . . . 180 21.2 Magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 21.2.1 Sistemas de magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . 183 21.2.2 Índices de cor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 21.2.3 Magnitude absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 21.2.4 Magnitude bolométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 186 21.2.5 Sistema de Strömgren . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 21.2.6 Extinção atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 21.2.7 Extinção interestelar e Excesso de cor . . . . . . . . 189 21.3 Teoria da Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 21.3.1 O corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 21.3.2 Lei de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 21.3.3 Lei de Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . 195 22 Espectroscopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 22.1 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 22.2 Leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 22.2.1 Variação do espectro cont́ınuo com a temperatura . 202 22.3 A origem das linhas espectrais: átomos e luz . . . . . . . . . 203 22.3.1 Quantização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 22.3.2 Nı́veis de energia do hidrogênio . . . . . . . . . . . . 206 22.4 Classificação Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 22.4.1 A seqüência espectral e a temperatura das estrelas . 213 22.5 Classificação de luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 22.6 Velocidade radial e efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . 215 22.7 Perfil da linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 22.8 Lei de Boltzmann - Equação de Excitação . . . . . . . . . . 216 22.9 Lei de Saha - Equação de Ionização . . . . . . . . . . . . . . 217 23 Estrelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 23.1 O Diagrama HR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 23.2 Cúmulos e Aglomerados Estelares . . . . . . . . . . . . . . . 223 23.3 Distâncias espectroscópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 23.4 A relação massa-luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 23.5 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 23.5.1 As estrelas mais luminosas . . . . . . . . . . . . . . 228 vii 24.26 Resultado dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 24.27 Anãs brancas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 24.27.1 Propriedades de anãs brancas não-binárias . . . . . 439 24.27.2 Evolução das anãs brancas . . . . . . . . . . . . . . 442 24.27.3 Evolução Térmica das Anãs Brancas . . . . . . . . . 446 24.27.4 Cristalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 24.27.5 Função luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 24.28 Novas e supernovas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 24.29 Equiĺıbrio hidrostático na Relatividade Geral . . . . . . . . 470 24.29.1 Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 24.29.2 Avermelhamento Gravitacional . . . . . . . . . . . . 475 24.29.3 Tensores Covariantes e Contravariantes . . . . . . . 476 24.29.4 Tolman-Oppenheimer-Volkoff . . . . . . . . . . . . . 477 24.30 Formação estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 24.31 Estrelas binárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 24.31.1 Binárias Próximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 24.31.2 Envelope Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 24.32 Pulsações Radiais Adiabáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 24.32.1 A Equação de Onda Adiabática e Linear . . . . . . . 508 24.32.2 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 24.33 Pulsações não-radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 24.33.1 Aproximação Não Adiabática . . . . . . . . . . . . . 517 24.33.2 Heliosismologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 24.33.3 Pulsações das Anãs Brancas . . . . . . . . . . . . . . 521 24.34 Efeitos não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 24.35 Pulsações das ZZ Cetis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 25 A escala do universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 26 Nossa galáxia: a Via Láctea . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 26.1 Sistema de coordenadas galácticas . . . . . . . . . . . . . . 536 26.2 Distâncias dentro da Galáxia . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 26.2.1 Peŕıodo-Luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 26.3 Forma e tamanho da Via Láctea . . . . . . . . . . . . . . . 539 26.4 O movimento das estrelas na Galáxia . . . . . . . . . . . . . 540 26.4.1 Componentes dos movimentos estelares . . . . . . . 540 26.4.2 O sistema local de repouso (SLR) . . . . . . . . . . 542 26.4.3 O movimento do Sol na Galáxia . . . . . . . . . . . 542 26.5 A rotação da Galáxia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 26.6 Massa da Galáxia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 x 26.7 A curva de rotação da Galáxia . . . . . . . . . . . . . . . . 544 26.8 Obtenção da curva de rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 26.9 Meio interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 26.9.1 Gás interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 26.9.2 A poeira interestelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 26.9.3 Moléculas interestelares . . . . . . . . . . . . . . . . 549 26.10 Raios cósmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 26.11 Populações estelares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 26.12 Estrutura espiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552 26.13 O Centro da Galáxia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 27 Galáxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 27.1 A descoberta das galáxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 27.2 Classificação morfológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 27.2.1 Espirais (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 27.2.2 Eĺıpticas (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 27.2.3 Irregulares (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 27.3 Massas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 27.3.1 Determinação de massa em galáxias eĺıpticas . . . . 562 27.3.2 Determinação de massa em galáxias espirais . . . . . 562 27.4 A relação entre a luminosidade e a velocidade para galáxias eĺıpticas e espirais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 27.5 Luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 27.5.1 Brilho superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 27.5.2 Distribuição de brilho superficial . . . . . . . . . . . 565 27.6 A formação e evolução das galáxias . . . . . . . . . . . . . . 566 27.7 Aglomerados de galáxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 27.7.1 O Grupo Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568 27.7.2 Outros aglomerados de galáxias . . . . . . . . . . . . 568 27.8 Superaglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 27.9 Colisões entre galáxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570 27.9.1 Fusão de galáxias e canibalismo galáctico . . . . . . 572 27.10 Galáxias ativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 27.10.1 Quasares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 27.10.2 Movimentos superluminais . . . . . . . . . . . . . . 575 27.10.3 Radio-galáxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578 27.10.4 Galáxias Seyfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 27.10.5 Objetos BL Lacertae (BL Lac) . . . . . . . . . . . . 580 27.11 A lei de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 xi 28 Cosmologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 28.1 O Paradoxo de Olbers: a escuridão da noite . . . . . . . . . 583 28.2 Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 28.2.1 Lentes Gravitacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 28.3 Expansão do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 28.4 Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 28.5 A questão da matéria escura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 28.6 A idade do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 28.7 COBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 28.8 Viagem no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 28.9 Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 28.10 Superstrings - Cordas Cósmicas . . . . . . . . . . . . . . . . 610 28.11 Cosmologia newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 28.11.1 Densidade cŕıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 28.11.2 Idade do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 28.11.3 Parâmetro de densidade . . . . . . . . . . . . . . . . 619 28.11.4 Parâmetro de desaceleração . . . . . . . . . . . . . . 625 28.11.5 Big Bang quente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 28.11.6 Avermelhamento gravitacional . . . . . . . . . . . . 627 28.11.7 Massa de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 28.12 Cosmologia Relativ́ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628 28.12.1 Espaço-tempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . 628 28.12.2 Coordenadas gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . 629 28.12.3 Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 28.12.4 Levantando e baixando ı́ndices . . . . . . . . . . . . 633 28.12.5 Cosmologia na Relatividade Geral . . . . . . . . . . 634 28.12.6 Evolução Térmica após o Big Bang . . . . . . . . . . 637 28.12.7 Métrica de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . 639 28.13 Recombinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 29 Telescópios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 29.1 Refrator ou refletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 29.2 Radiotelescópio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 29.3 Comprando um telescópio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 29.3.1 Caracteŕısticas óticas dos telescópios . . . . . . . . . 657 29.3.2 Binóculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 xii Lista de Figuras 1.1 Reprodução do Almagesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Mapa do céu na área da constelação do Órion. . . . . . . . . 6 3.1 O ângulo entre o horizonte e o pólo é a latitude do local. . . 15 3.2 Sistema de coordenadas equatorial. . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Hora sideral e o ponto γ de Áries. . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1 Movimento dos astros em diferentes latitudes. . . . . . . . . . 19 4.2 Calotas circumpolares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8.1 Elementos de uma sombra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 10.1 Movimento retrógrado dos planetas. . . . . . . . . . . . . . . 62 10.2 Peŕıodo sinódico e sideral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 11.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 11.2 Fases de Vênus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 13.1 Componentes de uma cônica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 13.2 Trajetória em coordenadas esféricas. . . . . . . . . . . . . . . 99 14.1 A maré alta segue a posição da Lua. . . . . . . . . . . . . . . 110 14.2 Precessão da Terra e de um pião. . . . . . . . . . . . . . . . . 118 14.3 Precessão do pólo norte celeste. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 16.1 Meteor Crater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 16.2 Chicxulub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 16.3 Anéis de Saturno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 17.1 Foto do Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 17.2 Foto do Sol na linha de 584 Å do hélio (He I) . . . . . . . . . 150 17.3 Manchas Solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 xv 17.4 Distribuição de temperatura e densidade na atmosfera do Sol. 151 17.5 Eclipse do Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 17.6 Flares Solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 17.7 Magnetosfera da Terra - cinturão de Van Allen. . . . . . . . . 154 21.1 Sistema de Strömgren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 22.1 Espectros por classe espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 22.2 Espectros com Função de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . 205 22.3 Nı́veis de energia do hidrogênio . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 22.4 Intensidade das Linhas Espectrais . . . . . . . . . . . . . . . 213 23.1 Diagrama HR do HIPPARCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 23.2 Diagrama HR dos aglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 23.3 Distribuição de estrelas por tipo . . . . . . . . . . . . . . . . 226 23.4 Śırius A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 23.5 Energia de ligação dos átomos . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 23.6 Esquema de evolução estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 23.7 Nebulosa Planetária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 23.8 Simulação de Supernova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 23.9 Diagrama HR teórico para 5 M¯ . . . . . . . . . . . . . . . . 256 23.10 Diagrama HR teórico até anã-branca . . . . . . . . . . . . . . 257 23.11 Estrelas Variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 24.1 Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 24.2 Distribuição de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 24.3 Diagrama ρ− T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 24.4 Secção de choque dos neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 24.5 Espectro de neutrinos solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 24.6 Abundâncias com CNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 24.7 Abundâncias com Triplo-α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 24.8 Intensidade e ângulo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 24.9 Deslocamento por convecção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 24.10 Convecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 24.11 Coeficiente de absorção monocromático. . . . . . . . . . . . . 360 24.12 Relação entre as opacidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 24.13 Regiões de domı́nio dos diferentes tipos de absorção. . . . . . 364 24.14 Opacidade conductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 24.15 Opacidade Total. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 24.16 Opacidade de Rosseland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 xvi 24.17 Fatores dominantes na taxa de reação nuclear. . . . . . . . . 377 24.18 Taxa de reação nuclear para p + p e 3He4 . . . . . . . . . . . 379 24.19 Taxa de reação nuclear para C12 + p e C12 + α . . . . . . . . 381 24.20 Abundâncias Solares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 24.21 Mário Schenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 24.22 Emissão de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 24.23 Refrigeração por neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 24.24 Variação na produção de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . 388 24.25 Áxions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 24.26 Emissão de Áxions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 24.27 Emissão de Áxions e Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 24.28 Seqüência principal e zona completamente convectiva . . . . 413 24.29 Seqüência principal com diferentes composições qúımicas . . 414 24.30 Evolução a partir da seqüência principal. . . . . . . . . . . . 419 24.31 Evolução de Pop. I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 24.32 Modelos Evolucionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 24.33 Densidade e temperaturas centrais . . . . . . . . . . . . . . . 422 24.34 Isócronas teóricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 24.35 Isócrona de 12,5 Ganos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 24.36 Evolução de 25 M¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 24.37 Taxas de perda de massa para estrelas massivas. . . . . . . . 429 24.38 Seqüências evolucionárias com perda de massa . . . . . . . . 430 24.39 Evolução da estrutura interna e 5 M¯ . . . . . . . . . . . . . 431 24.40 Evolução da estrutura interna e 1,3 M¯ . . . . . . . . . . . . 432 24.41 Diagrama H-R de 4 a 9 M¯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 24.42 Variação do raio das estrelas com o tempo . . . . . . . . . . . 434 24.43 Massa da anã-branca vs. massa inicial . . . . . . . . . . . . . 435 24.44 Icko Iben Jr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 24.45 Zonas de Convecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 24.46 Diagrama HR teórico incluindo nebulosa planetária . . . . . 437 24.47 Diagrama HR teórico para diversas massas . . . . . . . . . . 438 24.48 Evolução das DAs e Não DAs. . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 24.49 Born Again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 24.50 Luminosidade em neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 24.51 Temperatura de Cristalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 24.52 Transição de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 24.53 Efeito da separação de fase no esfriamento . . . . . . . . . . 455 24.54 Efeito da separação de fase na idade . . . . . . . . . . . . . . 456 24.55 Função luminosidade das anãs brancas . . . . . . . . . . . . . 460 xvii xx Prefácio O estudo da astronomia tem fascinado as pessoas desde os tempos mais re- motos. A razão para isso se torna evidente para qualquer um que contemple o céu em uma noite limpa e escura. Depois que o Sol – nossa fonte de vida – se põe, as belezas do céu noturno surgem em todo o seu esplendor. A Lua se torna o objeto celeste mais importante, continuamente mudando de fase. As estrelas aparecem como uma miŕıade de pontos brilhantes, entre as quais os planetas se destacam por seu brilho e movimento. E a curiosidade para saber o que há além do que podemos enxergar é inevitável. Por que estudar Astronomia? Nosso objetivo é utilizar o Universo como laboratório, deduzindo de sua observação as leis f́ısicas que poderão ser utilizadas em coisas muito práticas, desde prever as marés e estudar a queda de asteróides sobre nossas cabeças, até como construir reatores nucleares, analisar o aquecimento da atmosfera por efeito estufa causado pela poluição, necessários para a sobrevivência e desenvolvimento da raça humana. Este texto foi escrito com a intenção de ajudar a suprir a falta de textos de astronomia em português. Ele deve ser acesśıvel a pessoas sem qual- quer conhecimento prévio de astronomia e com pouco conhecimento de ma- temática. Embora alguns caṕıtulos incluam derivações matemáticas, a não- compreensão desses cálculos não compromete a compreensão geral do texto. O texto também pode ser usado em cursos introdutórios de astronomia em ńıvel de graduação universitária, como está sendo utilizado na Ufrgs para cursos de f́ısica, engenharia e geografia. Os autores agradecem à doutora Silvia Helena Becker Livi por sua cuidadosa revisão; ao professor Charles Bonatto pela figura da lei de Planck e correções matemáticas e ao professor Basilio Santiago por sugestões sobre cosmologia matemática. O texto atualizado, incluindo figuras móveis e algumas simulações, é mantido na internet, no endereço: http://astro.if.ufrgs.br/ xxi Dados • G = 6, 673× 10−11m3 kg−1 s−2 = 6, 673× 10−8 dina cm2/g2 • Massa da Terra: M⊕ = 5, 973332× 1024 kg • Raio da Terra: R⊕ = 6378,1366 Km • Massa do Sol: M¯ = 1, 9887973× 1030 kg • Raio do Sol: R¯ = 696 000 Km • Luminosidade do Sol: L¯= 3, 83× 1033 ergs/s = 3, 83× 1026 watts • Massa da Lua = 7, 3474271× 1022 kg • Raio da Lua = 1738 Km • Peŕıodo orbital da Terra = 365,2422 dias • Idade da Terra = 4,55 bilhões de anos • Obliqüidade da ecĺıptica: ε = 23◦ 26′ 21, 412” • Peŕıodo orbital da Lua = 27,32166 dias • Distância Terra-Lua: = 384 000 Km • Distância Terra-Sol: 1 UA = 149 597 870 691 m • Massa do próton: mp = 1, 67265× 10−27 kg • Massa do nêutron: mn = 1, 67492× 10−27 kg • Unidade de massa atômica: muma = 1, 66057× 10−27 kg • Massa do elétron: me = 9, 1095× 10−31 kg • Número de Avogadro: NA = 6, 022× 1023 mol−1 • Constante de Boltzmann: k = 1, 381×10−23 J/K = 1, 381×10−16 ergs/K • Constante de Stefan-Boltzmann: σ = 5, 67 × 10−8 J m−2 s−1 K−4 = 5, 67× 10−5 ergs cm−2 s−1 K−4 • Constante de densidade de radiação: a = 4σc = 7, 565×10−15erg cm−3 K−4 xxii Caṕıtulo 1 Astronomia antiga As especulações sobre a natureza do Universo devem remontar aos tempos pré-históricos, por isso a astronomia é frequentemente considerada a mais antiga das ciências. Os registros astronômicos mais antigos datam de aproxi- madamente 3000 a.C. e se devem aos chineses, babilônios, asśırios e eǵıpcios. Naquela época, os astros eram estudados com objetivos práticos, como me- dir a passagem do tempo (fazer calendários) para prever a melhor época para o plantio e a colheita, ou com objetivos mais relacionados à astrologia, como fazer previsões do futuro, já que, não tendo qualquer conhecimento das leis da natureza (f́ısica), acreditavam que os deuses do céu tinham o poder da colheita, da chuva e mesmo da vida. Vários séculos antes de Cristo, os chineses sabiam a duração do ano e usavam um calendário de 365 dias. Deixaram registros de anotações preci- sas de cometas, meteoros e meteoritos desde 700 a.C. Mais tarde, também observaram as estrelas que agora chamamos de novas. Os babilônios, asśırios e eǵıpcios também sabiam a duração do ano desde épocas pré-cristãs. Em outras partes do mundo, evidências de conhecimentos astronômicos muito antigos foram deixadas na forma de monumentos, como o de Stonehenge, na Inglaterra, que data de 3000 a 1500 a.C. Nessa estrutura, algumas pedras estão alinhadas com o nascer e o pôr do Sol no ińıcio do verão e do inverno. Os maias, na América Central, também tinham conhecimentos de calendário e de fenômenos celestes, e os polinésios aprenderam a navegar por meio de observações celestes. O ápice da ciência antiga se deu na Grécia, de 600 a.C. a 400 d.C., a ńıveis só ultrapassados no século XVI. Do esforço dos gregos em conhecer a natureza do cosmos, e com o conhecimento herdado dos povos mais antigos, surgiram os primeiros conceitos de Esfera Celeste, que acreditavam ser uma 1 esfera de material cristalino, incrustada de estrelas, tendo a Terra no centro. Desconhecedores da rotação da Terra, os gregos imaginaram que a esfera celeste girava em torno de um eixo passando pela Terra. Observaram que todas as estrelas giram em torno de um ponto fixo no céu, e consideraram esse ponto como uma das extremidades do eixo de rotação da esfera celeste. Há milhares de anos, os astrônomos sabem que o Sol muda sua posição no céu ao longo do ano, se movendo aproximadamente um grau para leste por dia. O tempo para o Sol completar uma volta na esfera celeste define um ano. O caminho aparente do Sol no céu durante o ano define a ecĺıptica (assim chamada porque os eclipses ocorrem somente quando a Lua está próxima da ecĺıptica). Como a Lua e os planetas percorrem o céu em uma região de dezoito graus centrada na ecĺıptica, essa região foi definida por Aristósteles como o Zod́ıaco, dividida em doze constelações com formas predominantemente de animais (atualmente as constelações do Zod́ıaco são treze1). As constelações são grupos aparentes de estrelas. Os antigos gregos, e os chineses e eǵıpcios antes deles, já tinham dividido o céu em constelações. 1.1 Os astrônomos da Grécia antiga Tales de Mileto (∼624 - 546 a.C.) introduziu na Grécia os fundamentos da geometria e da astronomia, trazidos do Egito. Pensava que a Terra era um disco plano em uma vasta extensão de água. Pitágoras de Samos (∼572 - 497 a.C.) acreditava na esfericidade da Terra, da Lua e de outros corpos celestes. Achava que os planetas, o Sol, e a Lua eram transportados por esferas separadas da que carregava as estrelas. Aristóteles de Estagira (384-322 a.C.) explicou que as fases da Lua2 dependem de quanto da parte da face da Lua iluminada pelo Sol está vol- tada para a Terra. Explicou, também, os eclipses: um eclipse do Sol ocorre quando a Lua passa entre a Terra e o Sol; um eclipse da Lua ocorre quando a Lua entra na sombra da Terra. Aristóteles argumentou a favor da esferi- 1Devido à precessão dos equinócios, o Sol atualmente cruza Áries de 19 de abril a 13 de maio, Touro de 14 de maio a 19 de junho, Gêmeos de 20 de junho a 20 de julho, Câncer de 21 de julho a 9 de agosto, Leão de 10 de agosto a 15 de setembro, Virgem de 16 de setembro a 30 de outubro, Libra de 31 de outubro a 22 de novembro, Escorpião de 23 de novembro a 29 de novembro, Ofiúco de 30 de novembro a 17 de dezembro, Sagitário de 18 de dezembro a 18 de janeiro, Capricórnio de 19 de janeiro a 15 de fevereiro, Aquário de 16 de fevereiro a 11 de março e Peixes de 12 de março a 18 de abril. 2Anaxágoras de Clazomenae (∼499-428 a.C.) já afirmava que a Lua refletia a luz do Sol e começou a estudar as causas dos eclipses. 2 cidade da Terra, já que a sombra da Terra na Lua durante um eclipse lunar é sempre arredondada. Afirmava que o Universo é esférico e finito. Aristarco de Samos (310-230 a.C.) foi o primeiro a propor a Terra se move em volta do Sol, antecipando Copérnico em quase 2000 anos. Entre outras coisas, desenvolveu um método para determinar as distâncias relati- vas do Sol e da Lua à Terra e mediu os tamanhos relativos da Terra, do Sol e da Lua. Eratóstenes de Cirênia (276-194 a.C.), bibliotecário e diretor da Bibli- oteca Alexandrina de 240 a.C. a 194 a.C., foi o primeiro a medir o diâmetro da Terra. Ele notou que, na cidade eǵıpcia de Siena (atualmente chamada de Aswân), no primeiro dia do verão, ao meio-dia, a luz solar atingia o fundo de um grande poço, ou seja, o Sol estava incidindo perpendicularmente à Terra em Siena. Já em Alexandria, situada ao norte de Siena, isso não ocor- ria; medindo o tamanho da sombra de um bastão na vertical, Eratóstenes observou que em Alexandria, no mesmo dia e hora, o Sol estava aproxima- damente sete graus mais ao sul. A distância entre Alexandria e Siena era conhecida como de 5 000 estádios. Um estádio era uma unidade de distância usada na Grécia antiga. A distância de 5 000 estádios equivalia à distância de cinqüenta dias de viagem de camelo, que viaja a 16 km/dia. Como 7 graus corresponde a 1/50 de um ćırculo (360 graus), Alexandria deveria es- tar a 1/50 da circunferência da Terra ao norte de Siena, e a circunferência da Terra deveria ser 50x5 000 estádios. Infelizmente, não é posśıvel se ter certeza do valor do estádio usado por Eratóstenes, já que os gregos usavam diferentes tipos de estádios. Se ele utilizou um estádio equivalente a 1/6 km, o valor está a 1% do valor correto de 40 000 km. O diâmetro da Terra é obtido dividindo-se a circunferência por π. Hiparco de Nicéia (160 - 125 a.C.), considerado o maior astrônomo da era pré-cristã, construiu um observatório na ilha de Rodes, onde fez ob- servações durante o peŕıodo de 160 a 127 a.C. Como resultado, ele compilou um catálogo com a posição no céu e a magnitude de 850 estrelas. A magni- tude, que especificava o brilho da estrela, era dividida em seis categorias, de 1 a 6, sendo 1 a mais brilhante, e 6 a mais fraca viśıvel a olho nu. Hiparco deduziu corretamente a direção dos pólos celestes, e até mesmo a precessão, que é a variação da direção do eixo de rotação da Terra devido à influência gravitacional da Lua e do Sol, que leva 26 000 anos para completar um ci- clo.3 Para deduzir a precessão, ele comparou as posições de várias estrelas 3Paul Schnabel, no Zeitschrift für Assyriologie, N.S., v.3, p. 1-60 (1926), afirma que a precessão já havia sido medida pelo astrônomo babilônio Cidenas (Kidinnu), em 343 a.C.. Cidenas também mediu o peŕıodo sinódico da Lua, de 29,5 dias. 3 Figura 1.2: Mapa do céu na área da constelação do Órion. 6 cerca de 150 d.C.; Johann Bayer (1572-1625), astrônomo alemão, no Urano- metria em 1603; Johannes Hevelius (1611-1689), astrônomo alemão-polonês, e Nicolas Louis de Lacaille (1713-1762), astrônomo francês, nos Memórias e Coelum Australe Stelliferum em 1752 e 1763.5 5Lacaille observou 9766 estrelas austrais em 1751-52, no Cabo da Boa Esperança e deu nome às constelações: Antlia, Caelum, Circinus, Fornax, Horologium, Mensa, Micros- copium, Norma, Octans, Pictor, Pyxis, Reticulum, Sculptor e Telescopium, e renomeou Musca. 7 Andromeda Andrômeda (mit.) Lacerta Lagarto Antlia Bomba de Ar Leo Leão Apus Ave do Paráıso Leo Minor Leão Menor Aquarius Aquário Lepus Lebre Aquila Águia Libra Libra (Balança) Ara Altar Lupus Lobo Aries Áries (Carneiro) Lynx Lince Auriga Cocheiro Lyra Lira Boötes Pastor Mensa Montanha da Mesa Caelum Buril de Escultor Microscopium Microscópio Camelopardalis Girafa Monoceros Unicórnio Cancer Câncer (Caranguejo) Musca Mosca Canes Venatici Cães de Caça Normai Régua Canis Major Cão Maior Octans Octante Canis Minor Cão Menor Ophiuchus Caçador de Serpentes Capricornus Capricórnio (Cabra) Orion Órion (Caçador) Carina Quilha (do Navio) Pavo Pavão Cassiopeia Cassiopéia (mit.) Pegasus Pégaso (Cavalo Alado) Centaurus Centauro Perseus Perseu (mit.) Cepheus Cefeu ( mit.) Phoenix Fênix Cetus Baleia Pictor Cavalete do Pintor Chamaeleon Camaleão Pisces Peixes Circinus Compasso Piscis Austrinus Peixe Austral Columba Pomba Puppis Popa (do Navio) Coma Berenices Cabeleira Pyxis Bússola Corona Austrina Coroa Austral Reticulum Ret́ıculo Corona Borealis Coroa Boreal Sagitta Flecha Corvus Corvo Sagittarius Sagitário Crater Taça Scorpius Escorpião Crux Cruzeiro do Sul Sculptor Escultor Cygnus Cisne Scutum Escudo Delphinus Delfim Serpens Serpente Dorado Dourado (Peixe) Sextans Sextante Draco Dragão Taurus Touro Equuleus Cabeça de Cavalo Telescopium Telescópio Eridanus Eridano Triangulum Triângulo Fornax Forno Triangulum Australe Triângulo Austral Gemini Gêmeos Tucana Tucano Grus Grou Ursa Major Ursa Maior Hercules Hércules Ursa Minor Ursa Menor Horologium Relógio Vela Vela (do Navio) Hydra Cobra Fêmea Virgo Virgem Hydrus Cobra macho Volans Peixe Voador Indus Índio Vulpecula Raposa 8 Pólo Celeste Norte: é o ponto em que o prolongamento do eixo de rotação da Terra intercepta a esfera celeste, no Hemisfério Norte. PN Equa dor PS Nadir Zênite PS PN Sul Norte Meridiano Local Z N Círculos de altura verticais Círculos HorizonteHorizonte Equa dor Meridianos Paralelos Pólo Celeste Sul: é o ponto em que o prolongamento do eixo de rotação da Terra intercepta a esfera celeste, no Hemisfério Sul. Ćırculo vertical: é qualquer semićırculo máximo da esfera celeste que contém a vertical do lugar. Os ćırculos verticais começam no Zênite e terminam no Nadir. Ponto Geográfico Norte (ou Ponto Cardeal Norte): é o ponto da esfera celeste em que o ćırculo vertical que passa pelo Pólo Celeste Norte intercepta o Horizonte. Ponto Geográfico Sul: é o ponto em que o ćırculo vertical que passa pelo Pólo Celeste Sul intercepta o Horizonte. A linha sobre o Horizonte 11 que liga os pontos cardeais Norte e Sul chama-se linha Norte-Sul, ou linha meridiana. A linha Leste-Oeste é obtida traçando-se, sobre o Horizonte, a perpendicular à linha Norte-Sul. Ćırculos de altura: são ćırculos da esfera celeste paralelos ao Horizonte. São também chamados almucântaras, ou paralelos de altura. Ćırculos horários: são semićırculos da esfera celeste que contêm os dois pólos celestes. São também chamados meridianos. O meridiano que passa também pelo Zênite se chama Meridiano Local. Paralelos: são ćırculos da esfera celeste paralelos ao equador celeste. São também chamados ćırculos diurnos. E qual é a velocidade angular aparente diariamente do Sol? Como um dia é definido como uma volta completa do Sol, isto é, o Sol percorre 360◦ em 24 horas, a velocidade aparente é de vaparente = 360◦ 24 h = 15◦/h 12 Caṕıtulo 3 Sistemas de coordenadas astronômicas Para determinar a posição de um astro no céu, precisamos definir um sis- tema de coordenadas. Nesse sistema, vamos utilizar apenas coordenadas angulares, sem nos preocuparmos com as distâncias dos astros. Para defi- nirmos uma posição sobre uma esfera precisamos definir um eixo e um plano perpendicular a este eixo. A posição do astro será determinada através de dois ângulos de posição, um medido sobre um plano fundamental, e o ou- tro medido perpendicularmente a ele. Antes de entrarmos nos sistemas de coordenadas astronômicas, convém recordar o sistema de coordenadas ge- ográficas, usadas para medir posições sobre a superf́ıcie da Terra. 3.1 Coordenadas geográficas Longitude geográfica (λ): é o ângulo medido ao longo do Equador da Terra, tendo origem em um meridiano de referência (o Meridiano de Greenwich) e extremidade no meridiano do lugar. Varia de 0◦ a 180◦ para leste ou oeste de Greenwich. Usualmente, atribui-se o sinal po- sitivo às longitudes a oeste e o sinal negativo às longitudes a leste. Também costuma-se representar a longitude de um lugar como a di- ferença entre a hora do lugar e a hora de Greenwich e, nesse caso, as longitudes a oeste de Greenwich variam de 0h a -12h e as longitudes a leste de Greenwich variam de 0h a +12h. Portanto, −180◦(Este) ≤ λ ≤ +180◦(Oeste) 13 Declinação (δ): ângulo medido sobre o meridiano do astro, com origem no equador e extremidade no astro. A declinação varia entre -90◦ e +90◦. O complemento da declinação se chama distância polar (∆). (δ + ∆ = 90◦). −90◦ ≤ δ ≤ +90◦ 0◦ ≤ ∆ ≤ 180◦ Figura 3.2: Sistema de coordenadas equatorial. Pólo Sul Pólo Norte Eclíptica Equador Ponto de Áries Dec * α O sistema equatorial celeste é fixo na esfera celeste e, portanto, suas coor- denadas não dependem do lugar e instante de observação. A ascensão reta e a declinação de um astro permanecem praticamente constantes por longos peŕıodos de tempo. 16 Pólo Sul Pólo Norte Eclíptica Equadorγ Z * H α δ HS Figura 3.3: Hora sideral e o ponto γ de Áries. 3.2.3 O sistema equatorial local Nesse sistema, o plano fundamental continua sendo o Equador, mas a coor- denada medida ao longo do Equador não é mais a ascensão reta, mas sim uma coordenada não constante chamada ângulo horário. A outra coorde- nada continua sendo a declinação. Ângulo horário (H): ângulo medido sobre o Equador, com origem no meridiano local e extremidade no meridiano do astro. Varia entre -12h e +12h. O sinal negativo indica que o astro está a leste do meridiano, e o sinal positivo indica que ele está a oeste do meridiano. −12h ≤ H ≤ +12h 17 3.2.4 Tempo sideral O sistema equatorial celeste e sistema equatorial local, juntos, definem o conceito de tempo sideral. O tempo sideral, assim como o tempo solar, é uma medida do tempo, e aumenta ao longo do dia. Hora sideral (HS): ângulo horário do ponto Áries. Pode ser medida a partir de qualquer estrela, pela relação: HS = H? + α? * HSα∗ H∗ γ Equador Meridiano Local 18 Horizonte visíveis nunca visíveis Estrelas Z Estrelas sempre 90 − φ φ P Equador Figura 4.2: Calotas circumpolares. 21 22 Caṕıtulo 5 Trigonometria esférica A astronomia esférica, ou astronomia de posição, diz respeito, fundamental- mente, às direções nas quais os astros são vistos, sem se preocupar com sua distância. É conveniente expressar essas direções em termos das posições sobre a superf́ıcie de uma esfera – a esfera celeste. Essas posições são medi- das unicamente em ângulos. Dessa forma, o raio da esfera, que é totalmente arbitrário, não entra nas equações. 5.1 Definições básicas Se um plano passa pelo centro de uma esfera, ele a dividirá em dois he- misférios idênticos, ao longo de um grande ćırculo, ou ćırculo máximo. Qual- quer plano que corta a esfera sem passar pelo seu centro a intercepta em um ćırculo menor ou pequeno. Quando dois ćırculos máximos se interceptam em um ponto, formam entre si um ângulo esférico. A medida de um ângulo esférico é igual a medida do ângulo plano entre as tangentes dos dois arcos que o formam. Um ângulo esférico também é medido pelo arco esférico correspondente, que é o arco de um ćırculo máximo contido entre os dois lados do ângulo esférico e distantes 90◦ de seu vértice. A medida de um arco esférico, por sua vez, é igual ao ângulo que ele subentende no centro da circunferência. 5.2 Triângulos esféricos Um triângulo esférico não é qualquer figura de três lados sobre a esfera; seus lados devem ser arcos de grandes ćırculos, ou seja, arcos esféricos. Denota- 23 • ângulo com vértice no zênite = A (no Hemisfério Norte) ou A - 180◦ (no Hemisfério Sul) • ângulo com vértice no pólo = H • ângulo com vértice na estrela O triângulo de posição é usado para derivar as coordenadas do astro quando conhecida a posição geográfica do lugar, ou determinar as coor- denadas geográficas do lugar quando conhecidas as coordenadas do astro. Também permite fazer as transformações de um sistema de coordenadas para outro. Relações entre distância zenital (z), azimute (A), ângulo horário (H), e declinação (δ) Pela fórmula dos cossenos, podemos tirar duas relações básicas entre os sistemas de coordenadas: 1. cos z = cos(90◦ − φ)cos(90◦ − δ) + sen (90◦ − φ) sen (90◦ − δ) cos H, Donde: cos z = sen φ sen δ + cosφ cos δ cosH, e: cosH = cos z secφ sec δ − tanφ tan δ, 2. cos(90◦ − δ) = cos(90◦ − φ) cos z + sen (90◦ − φ) sen z cosA, De modo que: sen δ = sen φ cos z + cosφsenz cosA, e cosA = sen δ csc z sec φ− tanφ cot z. 26 5.4 Algumas aplicações: 5.4.1 Ângulo horário no ocaso Determinar o ângulo horário no ocaso (z = 90◦) para uma estrela de de- clinação δ, em um local de latitude φ. cos ẐF = cos P̂Z cos P̂F + sen P̂Z sen P̂F cos ẐPF , ou cos 90◦ = senφ sen δ + cosφ cos δ cosH, ou seja: cosH = − tanφ tan δ. Com essa fórmula podemos calcular, por exemplo, quanto tempo o Sol per- manece acima do horizonte em um certo local e em certa data do ano, pois, para qualquer astro, o tempo de permanência acima do horizonte será duas vezes o ângulo horário desse astro no momento do nascer ou ocaso. Sol acima do horizonte Quanto tempo o Sol permanece acima do horizonte, em Porto Alegre (φ = −30◦), no dia do solst́ıcio de verão no HS (δ¯ = −23◦27′). Especificamente em Porto Alegre, o Sol estará acima do horizonte apro- ximadamente 14 h e 10 min em 21 de dezembro, e 10 h e 10 min em 21 de junho. Note que a diferença de 10 minutos é devido à definição de que o dia começa com a borda superior do Sol no horizonte e termina com a borda superior do Sol no horizonte, e não o centro do disco solar, como assumido na fórmula anterior. O azimute do astro no nascer (ou ocaso) também pode ser deduzido da figura: cosA = sen δ secφ cosA = sen (−23◦27′) sec(30◦) = −0, 46 Logo, A = 117◦ (243◦), o que significa entre o leste (A = 90◦) e o sul (A = 180◦). 5.4.2 Determinar a separação angular entre duas estrelas. A separação angular entre duas estrelas é a distância medida ao longo do ćırculo máximo passando pelas duas estrelas. Sejam A e B as duas estrelas, e sejam αA, δA, αB e δB as suas coordenadas. 27 Podemos construir um triângulo esférico em que um dos lados seja a separação angular entre elas e os outros dois lados sejam as suas distâncias polares, ou seja, os arcos ao longo dos meridianos das estrelas desde o pólo (P ) até as estrelas. Pela fórmula dos cossenos temos: δΑ δΒ αΑ−αΒ Α Β cosÂB = cosP̂A cosP̂B + sen P̂A sen P̂B cosÂPB Onde: ÂB = distância polar entre A e B P̂A = distância polar de A = 90◦ − δA P̂B = distância polar de B = 90◦ − δB ÂPB = ângulo entre o meridiano de A e o meridiano de B = αA − αB E portanto: cos P̂A = sen δA cos P̂B = sen δB sen P̂A = cos δA sen P̂B = cos δB 28 Caṕıtulo 6 Medida do tempo A medida do tempo se baseia no movimento de rotação da Terra, que provoca a rotação aparente da esfera celeste. Dependendo do objeto que tomamos como referência para medir a rotação da Terra, temos o tempo solar (toma como referência o Sol), e o tempo sideral (toma como referência o ponto Vernal). 6.1 Tempo sideral O tempo sideral é baseado no movimento aparente do ponto Vernal. Hora sideral: é o ângulo horário do ponto Vernal. Como vimos no caṕıtulo anterior, a hora sideral pode ser medida a partir de qualquer estrela. Dia sideral: é o intervalo de tempo decorrido entre duas passagens sucessi- vas do ponto Vernal pelo meridiano do lugar. 6.2 Tempo solar O tempo solar é baseado no movimento aparente do Sol. Hora solar: é o ângulo horário do Sol. Dia solar: é o intervalo de tempo decorrido entre duas passagens sucessivas do Sol pelo meridiano do lugar. O dia solar é 3m56s mais longo do que o dia sideral. Essa diferença é devida ao movimento de translação da Terra em torno do Sol, de aproximadamente 1◦(∼ 4m) por dia. 31 ❂o 1 1o distante Para estrela Como o Sol não é um ponto, mas um disco, o ângulo horário do Sol se refere ao centro do Sol. E como o Sol não tem um movimento uniforme, ao longo do ano, fica dif́ıcil medir o tempo usando exatamente o Sol como padrão. Dáı surgiu a definição de um sol “médio”, que define um tempo solar médio. A diferença entre os diferentes tipos de tempos solares (ou horas solares), estão definidas a seguir. Tempo solar verdadeiro: é o ângulo horário do centro do Sol. Tempo solar médio: é o ângulo horário do centro do sol médio. O sol médio é um sol fict́ıcio, que se move ao longo do Equador celeste (ao passo que o sol verdadeiro se move ao longo da ecĺıptica), com velocidade angular constante, de modo que os dias solares médios são iguais entre si (ao passo que os dias solares verdadeiros não são iguais entre si porque o movimento do Sol na ecĺıptica não tem velocidade angular constante). Mas o movimento do Sol na ecĺıptica é anualmente periódico, assim o ano solar médio é igual ao ano solar verdadeiro. Tempo civil (Tc): usa como origem do dia o instante em que o sol médio passa pelo meridiano inferior do lugar. A razão do tempo civil é não mudar a data durante as horas de maior atividade da humanidade nos ramos financeiros, comerciais e industriais, o que acarretaria inúmeros problemas de ordem prática. Tempo universal (TU): é o tempo civil de Greenwich. 32 6.2.1 Fusos horários De acordo com a definição de tempo civil, lugares de longitudes diferentes têm horas diferentes, porque têm meridianos diferentes. Inicialmente, cada nação tinha a sua hora, que era a hora do seu meridiano principal. Por exemplo, a Inglaterra tinha a hora do meridiano que passava por Greenwich, a França tinha a hora do meridiano que passava por Paris. Como as diferenças de longitudes entre os meridianos escolhidos não eram horas e minutos exatos, as mudanças de horas de um páıs para outro implicavam cálculos incômodos, o que não era prático. Para evitar isso, adotou-se o convênio internacional dos fusos horários. Cada fuso compreende 15◦ (= 1 h). Fuso zero é aquele cujo meridiano central passa por Greenwich. Os fusos variam de 0h a +12h para leste de Greenwich e de 0h a -12h para oeste de Greenwich. Todos os lugares de um determinado fuso têm a hora do meridiano central do fuso. Hora legal : é a hora civil do meridiano central do fuso. Fusos no Brasil : o Brasil abrange quatro fusos: • -2h: arquipélago de Fernando de Noronha • -3h: estados do litoral, Minas, Goiás, Tocantins, parte oriental do Pará • -4h: parte ocidental do Pará, parte oriental do Amazonas, Mato Grosso do Norte e Mato Grosso do Sul. • -5h: parte ocidental do Amazonas e Acre. 6.2.2 Equação do tempo A equação do tempo é definida como o ângulo horário do Sol, menos o ângulo horário do sol médio. Ela pode ser expressa como: E = (`¯ − α¯)− (`¯ − `¯ ), onde `¯ é a longitude ecĺıptica do Sol e `¯ a longitude do sol médio. Essa equação divide o problema em dois termos, o primeiro chamado de redução ao equador, leva em conta que o Sol real se move na ecĺıptica enquanto o sol médio, fict́ıcio, se move no equador, e o segundo de equação do centro, que leva em conta a elipticidade da órbita. A equação do tempo pode ser expressa em uma série, envolvendo somente a longitude do sol médio: 33 O dia da Páscoa cristã, que marca a ressureição de Cristo, de acordo com o decreto papal de 1582, seguindo o conćılio de Nicéia de 325 d.C., é o primeiro domingo depois da lua cheia que ocorre no dia – ou depois de – 21 março. Entretanto, a data da lua cheia não é a real, mas a definida nas Tabelas Eclesiásticas. A Quarta-Feira de Cinzas ocorre 46 dias antes da Páscoa, e, portanto, a Terça-Feira de carnaval ocorre 47 dias antes da Páscoa. A data da Páscoa nos próximos anos será: • 20 de abril de 2003 • 11 de abril de 2004 • 27 de março de 2005 Para calcular a data da Páscoa para qualquer ano no calendário Gre- goriano (o calendário civil no Brasil), usa-se a seguinte fórmula, com todas as variáveis inteiras, com os reśıduos das divisões ignorados. Usa-se a para ano, m para mês, e d para dia. c = a/100 n = a− 19× (a/19) k = (c− 17)/25 i = c− c/4− (c− k)/3 + 19× n + 15 i = i− 30× (i/30) i = i− (i/28)× (1− (i/28)× (29/(i + 1))× ((21− n)/11)) j = a + a/4 + i + 2− c + c/4 j = j − 7× (j/7) l = i− j m = 3 + (l + 40)/44 d = l + 28− 31× (m/4) Esse algoritmo é de J.-M.Oudin (1940) e impresso no Explanatory Sup- plement to the Astronomical Almanac, ed. P.K. Seidelmann (1992). 36 Ano bissexto - origem da palavra No antigo calendário romano, o primeiro dia do mês se chamava calendas, e cada dia do mês anterior se contava retroativamente. Em 46 a.C., Júlio César mandou que o sexto dia antes das calendas de março deveria ser repetido uma vez em cada quatro anos, e era chamado ante diem bis sextum Kalendas Martias ou simplesmente bissextum. Dáı o nome bissexto. Século XXI O século XXI (terceiro milênio) começa no dia 01/01/2001, porque não houve ano zero, e, portanto, o século I começou no ano 1. Somente em 550 d.C. os matemáticos hindus deram uma representação numérica ao número zero. Data juliana A data juliana é utilizada, principalmente, pelos astrônomos como uma ma- neira de calcular facilmente o intervalo de tempo decorrido entre diferentes eventos astronômicos. Essa facilidade vem do fato de que não existem meses e anos na data juliana; ela consta apenas do número de dias solares médios decorridos desde o ińıcio da era juliana, em 1 de janeiro de 4713 a.C.. O dia juliano muda sempre às 12 h TU. Era Uma era zodiacal, como a era de Aquário, na perspectiva astronômica, é definida como o peŕıodo em anos em que o Sol, no dia do Equinócio Vernal (março), nasce naquela constelação, Áries, Peixes ou Aquário, por exemplo. Com o passar dos séculos, a posição do Sol no Equinócio Vernal, vista por um observador na Terra, parece mudar devido ao movimento de Precessão dos Equinócios, descoberto por Hiparco e explicado teoricamente por Newton como devido ao torque causado pelo Sol no bojo da Terra e à conservação do momentum angular. A área de uma constelação é definida por uma borda imaginária que a separa, no céu, das outras constelações. Em 1929, a União Astronômica Internacional definiu as bordas das 88 constelações oficiais, publicadas em 1930 em um trabalho intitulado Delimitation Scientifique des Constellations. A borda estabelecida entre Peixes e Aquário coloca o ińıcio da era de Aquário em 2600 d.C. 37 38 . o dia e a noite duram 12 h em toda a Terra. . nos pólos, 24 h de crepúsculo. . Equinócio (lat: equi=igual+nox=noite) de Outono no HS. . Equinócio de Primavera no HN. • ≈ 22 Junho: Sol está na máxima declinação norte, incidindo direta- mente na região do Trópico de Câncer na Terra: . α¯ = 6h . δ¯ = +23.5◦ (N) . o dia mais curto do ano no HS, dia mais longo do ano no HN. . no pólo S, Sol sempre abaixo do horizonte. . no pólo N, Sol sempre acima do horizonte. . Solst́ıcio (lat: sol+sticium=parado) de Inverno no HS. . Solst́ıcio de Verão no HN. . dia em Porto Alegre dura ' 10h10m. • ≈ 23 Setembro: Sol cruza o equador, indo do Hemisfério Norte para o Hemisfério Sul: . α¯ = 12h . δ¯ = 0◦ . o dia e a noite duram 12 h em toda a Terra. . nos pólos, 24 h de crepúsculo. . Equinócio de Primavera no HS. . Equinócio de Outono no HN. 41 N S Equador Celeste Ecliptica Sol em 22 Jun Sol em 23 Set Sol em 22 Dez Sol em 21 Mar • ≈ 22 Dezembro: Sol está na máxima declinação sul incidindo direta- mente na região do Trópico de Capricórnio na Terra: . α¯ = 18h . δ¯ = −23.5◦ (S) . o dia mais longo do ano no HS, dia mais curto do ano no HN. . no pólo S, Sol sempre acima do horizonte. . no pólo N, Sol sempre abaixo do horizonte. . Solst́ıcio de Verão no HS. . Solst́ıcio de Inverno no HN. . dia em Porto Alegre dura ' 14h10m. 7.1.2 Estações em diferentes latitudes Embora a órbita da Terra em torno do Sol seja uma elipse, e não um ćırculo, a distância da Terra ao Sol varia somente 3%, sendo que a Terra está mais 42 próxima do Sol em janeiro. Mas é fácil lembrar que o Hemisfério Norte da Terra também está mais próximo do Sol em janeiro, e é inverno lá. Como já vimos no ińıcio deste caṕıtulo, a causa das estações é a in- clinação do eixo de rotação da Terra com relação à sua órbita. Esse ângulo, chamado de obliqüidade da ecĺıptica, é de 23◦27′. Devido a essa inclinação, à medida que a Terra orbita em torno do Sol, os raios solares incidem mais diretamente em um hemisfério ou em outro, proporcionando mais horas com luz durante o dia a um hemisfério ou a outro, e, portanto, aquecendo mais um hemisfério ou outro. Sol N N N N E E Sol 23 23 Sol o o S S 22 Jun 21 Mar 23 Set Celeste Equador Equador Celeste 22 Dez No Equador, todas as estações são muito parecidas: todos os dias do ano o Sol fica 12 horas acima do horizonte e 12 horas abaixo do horizonte. A única diferença é a altura do Sol: em ∼ 21 Jun o Sol cruza o meridiano 23◦27′ ao norte do Zênite, em ∼ 23 Set o Sol cruza o meridiano 23◦27′ ao sul do Zênite, e, no resto do ano, ele cruza o meridiano entre esses dois pontos. Portanto, a altura do Sol ao meio-dia no Equador não muda muito ao longo do ano, e por isso não existe muita diferença entre inverno, verão, primavera ou outono. À medida que se afasta do Equador, as estações ficam mais acentuadas, e as diferenças tornam-se máximas nos pólos. 43 no Norte. Este pequeno efeito é contrabalançado pela maior proporção de água no Hemisfério Sul, que as torna mais amenas. Além da insolação, a duração do dia, que é de 14h 10m no Solst́ıcio de Verão e 10h 10m no Solst́ıcio de Inverno, em Porto Alegre, contribui nas estações do ano. 46 Caṕıtulo 8 Movimentos da Lua A Lua é o corpo celeste mais próximo da Terra. O valor atual de sua distância foi obtido por laser, utilizando um espelho colocado na Lua pelos astronautas. Medindo o tempo de ida e vinda de um feixe de laser disparado da Terra na direção da Lua, se obtém que sua distância varia de 356 800 km a 406 400 km, com um valor médio de 384 000 km. A excentricidade da 47 órbita da Lua é de 0,0549. O plano orbital da Lua tem uma inclinação de 5o9′ em relação à ecĺıptica. Apesar desse ângulo permanecer aproximadamente constante, o plano orbi- tal não é fixo, movendo-se de maneira tal que seu eixo descreve um ćırculo completo em torno do eixo da ecĺıptica num peŕıodo de 18,6 anos. Portanto, em relação ao equador da Terra, a órbita da Lua tem uma inclinação que varia de 18,4o (23,5o - 5,15o) a 28,7o (23,5o + 5,15o). Em relação ao equador da Lua, o seu plano orbital tem uma inclinação de menos do que 1o. O diâmetro aparente médio da Lua é de 31’ 5”(0,518o), o mesmo tamanho do diâmetro aparente do Sol. Sabendo que a distância média da Lua é de 384 000 km, se deduz que seu diâmetro é de 3476 km (D=384 000 km × sen 0,518). A sua massa é de 1/81 da massa da Terra. Sendo a Lua o corpo celeste mais próximo, ela é o que se move mais rapidamente em relação a nós, com excepção de corpos passageiros, como meteoros. À medida que a Lua viaja ao redor da Terra ao longo do mês, ela passa por um ciclo de fases, durante o qual sua forma parece variar gradualmente. 8.1 Fases da lua O fenômeno das fases da Lua é bem compreendido desde a Antiguidade. Acredita-se que o grego Anaxágoras (± 430 a.C.), já conhecia sua causa, e Aristóteles (384 - 322 a.C.) registrou a explicação correta do fenômeno: as fases da Lua resultam do fato de que ela não é um corpo luminoso, e sim um corpo iluminado pela luz do Sol. A face iluminada da Lua é aquela que está voltada para o Sol. A fase da lua representa o quanto dessa face iluminada está voltada também para a Terra. As quatro fases principais do ciclo são: Lua Nova: a face iluminada não pode ser vista da Terra. • A Lua está na mesma direção do Sol, e portanto está no céu durante o dia. • A Lua nasce ≈ 6h e se põe ≈ 18h. Lua Quarto-Crescente: metade do disco iluminado pode ser visto da Terra. Vista do hemisfério sul da Terra, a forma da Lua lembra a letra C (vista do hemisfério norte lembra a letra D) 1 1Na fase crescente o lado iluminado da Lua é o seu lado oeste, e na fase minguante o 48 e portanto com peŕıodo de rotação igual ao de translação. Essa perda de rotação teria em consequência provocado o afastamento maior entre Lua e Terra (para conservar o momentum angular). Atualmente a Lua continua afastando-se da terra, a uma taxa de 4 cm/ano. Devido à rotação sincroni- B C A D Sol B A C umbra D penumbra Figura 8.1: Elementos de uma sombra. zada da Lua, a face da Lua que não podemos ver chama-se face oculta, que só pode ser fotograda pelos astronautas em órbita da Lua. Note também que como a Lua mantém a mesma face voltada para a Terra, um astronauta na Lua não vê a Terra nascer ou se pôr. Se ele está na face voltada para a Terra, a Terra estará sempre viśıvel. Se ele estiver na face oculta da Lua, nunca verá a Terra. 51 8.2 Eclipses Um eclipse acontece sempre que um corpo entra na sombra de outro. As- sim, quando a Lua entra na sombra da Terra, acontece um eclipse lunar. Quando a Terra é atingida pela sombra da Lua, acontece um eclipse solar. 8.2.1 Geometria da sombra Quando um corpo extenso (não pontual) é iluminado por outro corpo ex- tenso definem-se duas regiões de sombra: umbra: região da sombra que não recebe luz de nenhum ponto da fonte. penumbra: região da sombra que recebe luz de alguns pontos da fonte. Cálculo do tamanho da sombra Consideremos um corpo luminoso de raio R a uma distância d de uma esfera opaca de raio R′. Atrás do corpo opaco se formará um cone de sombra cuja altura queremos determinar. d R R’ C L Sendo: • L = comprimento da sombra, isto é, a altura do cone de sombra • d = distância da fonte à esfera opaca • R = raio da fonte • R′ = raio da esfera opaca Por semelhança de triângulos temos que: R′ L = R L + d E portanto a altura do cone de sombra (L) é: L = R′ d R−R′ 52 Cálculo do raio da sombra R R’ d Cl L r (l) A seguir vamos determinar o tamanho da sombra a uma certa distância l da esfera opaca. Como a sombra é cônica, sua forma em qualquer ponto é circular. Sendo: • r(l) = raio da sombra à distância l da esfera opaca • L = comprimento da sombra • R′ = raio da esfera opaca Novamente por semelhança de triângulos temos que: r(l) L− l = R′ L E o raio da sombra à distância l da esfera opaca é: r(l) = R′ L− l L 8.2.2 Eclipses do Sol e da Lua Os eclipses do Sol e da Lua são os eventos mais espetaculares do céu. Um eclipse solar ocorre quando a Lua está entre a Terra e o Sol, de forma que a sombra da Lua atinge a Terra. Se o disco inteiro do Sol estiver atrás da Lua, o eclipse será total. Caso contrário, será parcial. Se a Lua estiver próxima de seu apogeu, o diâmetro da Lua será menor que o do Sol, e ocorrerá um eclipse anular. O eclipse solar total começa quando o disco da Lua alcança a borda do disco do Sol, e aproximadamente uma hora depois o Sol fica completa- mente atrás da Lua. Nos últimos instantes antes da totalidade, as únicas partes viśıveis do Sol são aquelas que brilham através de pequenos vales na borda irregular da Lua, um fenômeno conhecido como “anel de diamante”. Durante a totalidade, o céu se torna escuro o suficiente para que se possa 53 Temporadas dos eclipses Se o plano orbital da Lua coincidisse com o plano da ecĺıptica, aconteceria um eclipse solar a cada Lua nova e um eclipse lunar a cada Lua cheia. No entanto, o plano orbital da Lua não coincide com o plano da ecĺıptica, mas sim está inclinado 5◦ em relação em relação a este. Os pontos de interseções entre as duas órbitas se chamam nodos , e a linha que une os dois nodos se chama linha dos nodos. Para ocorrer um eclipse, a Lua, além de estar na fase Nova ou Cheia, precisa estar no plano da ecĺıptica, ou seja, precisa estar em um dos nodos ou próxima a ele. Como o sistema Terra-Lua orbita o Sol, aproximadamente duas vezes por ano a linha dos nodos está alinhada com o Sol e a Terra. Estas são as temporadas dos eclipses, quando os eclipses podem ocorrer. Quando a Lua passar pelo nodo durante a temporada de eclipses, ocorre um eclipse. Como a órbita da Lua gradualmente gira sobre seu eixo, com um peŕıodo de 18,6 anos de regressão dos nodos, as temporadas ocorrem a cada 173 dias, e não exatamente a cada meio ano. A distância angular da Lua ao nodo precisa ser menor que 4,6◦ para um eclipse lunar total, e menor que 10,3◦ para um eclipse solar total, o que estende a temporada de eclipses para 31 a 38 dias, dependendo dos tamanhos aparentes e velocidades aparentes do Sol e do Lua, que variam porque as órbitas da Terra e da Lua são eĺıpticas, de modo que pelo menos um eclipse ocorre a cada 173 dias. Em cada temporada, ocorrem de um a três eclipses. No caso de ocorrer somente um eclipse será um eclipse solar; se ocorrerem três serão dois solares e um lunar. As temporadas dos eclipses são separadas por 173 dias [(1 ano-20 dias)/2]. Em um ano, acontecem no mı́nimo dois eclipses, sendo os dois solares, e no máximo sete eclipses, sendo cinco solares e 2 lunares ou quatro solares e três lunares. Saros A direção da linha dos nodos não é constante, mas se desloca devido a efeitos gravitacionais provocados pelo Sol. O peŕıodo de tempo que a linha dos nodos leva pra dar uma volta completa chama-se Saros, e tem duração de 18 anos e 11 dias, ou 6585,32 dias. Nesse peŕıodo de tempo, Sol, Lua e Terra retornam às mesmas posições relativas, e a sequência de eclipses solares e lunares se repete, mas não na mesma hora e no mesmo lugar. Um eclipse em um ciclo acontece aproximadamente 8 horas mais tarde e 120◦ de longitude mais a oeste do que no ciclo anterior. 56 8.3 Exemplos de cálculos de eclipses 1. Calcular o comprimento médio da sombra da Terra, considerando-se: • distância Terra-Sol: 149 600 000 km • raio da Terra: 6370 km • raio do Sol: 696 000 km Como comprimento da sombra = distância da fonte× raio da esfera raio da fonte− raio da esfera Obtemos: comprimento da sombra = 149 600 000km× 6370km 696 000km− 6370km ou comprimento da sombra = 1 381 800km 2. Seja r o raio da Terra, R = 109r o raio do Sol, L = 23680r a distância entre o Sol e a Terra. • a) Qual é o comprimento do cone de sombra formado? h = L× r R− r = 23680r2 109r − r = 219, 26r b) Qual é o raio deste cone a uma distância de l = 60r por onde passa a Lua? Como r(l) h− l = r h r(l) = r h (h− l) = r 219, 26r (219, 26r − 60r) = 0, 726r c) Sendo rL = r/3, 6 o raio da Lua, quantos diâmetros lunares cabem nessa região da sombra? r(l)/rL = 0, 726r r/3, 6 = 2, 6 Isto é, na distância da Lua, a umbra da Terra tem 9200 km. A pe- numbra tem 16 000 km e como a velocidade da Lua na sua órbita é de 3400 km/hr, um eclipse total da Lua dura cerca de 1h 40m e um eclipse parcial da Lua dura cerca de 6 h. 57 58 Caṕıtulo 10 Copérnico e o modelo heliocêntrico No ińıcio do século XVI, a Renascença estava sacudindo as cinzas do obs- curantismo da Idade Média e trazendo novo fôlego a todas as áreas do co- nhecimento humano. Nicolau Copérnico representou o Renascimento na astronomia. Copérnico (1473-1543) foi um astrônomo polonês com grande inclinação para a matemática. Estudando na Itália, ele leu sobre a hipótese heliocêntrica proposta (e não aceita) por Aristarco de Samos (310-230 a.C.), e achou que o Sol no centro do Universo era muito mais razoável do que a Terra. Copérnico registrou suas idéias num livro - De Revolutionibus- pu- blicado no ano de sua morte. As realizações mais importantes de Copérnico foram: • introduziu o conceito de que a Terra é apenas um dos seis planetas (então conhecidos) girando em torno do Sol; • colocou os planetas em ordem de distância ao Sol: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno (Urano, Netuno e Plutão); • determinou as distâncias dos planetas ao Sol, em termos da distância Terra-Sol; • deduziu que quanto mais perto do Sol está o planeta, maior é sua velocidade orbital. Dessa forma, o movimento retrógrado dos planetas foi facilmente explicado sem necessidade de epiciclos [ver figura (10)]. Convém notar que Copérnico manteve a idéia de que as órbitas dos planetas eram circulares e, para obter posições razoáveis, teve de manter pequenos epiciclos, mas não usou equantes. 61 Figura 10.1: Movimento retrógrado dos planetas. 10.1 Classificação dos planetas pela distância ao Sol Planetas inferiores: Mercúrio e Vênus. Têm órbitas menores do que a órbita da Terra. Os dois planetas estão sempre muito próximos do Sol, alcançando o máximo afastamento angular em relação ao Sol de 28◦, no caso de Mercúrio, e 48◦, no caso de Vênus. Por essa razão, eles só são viśıveis ao anoitecer, logo após o pôr-do-sol (astro vespertino), ou ao amanhecer, logo antes do nascer do Sol (astro matutino). Planetas superiores: Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e Plutão. Têm órbitas maiores do que a da Terra. Podem estar a qualquer distância angular do Sol, podendo ser observados no meio da noite. 10.2 Configurações planetárias Para definir as configurações dos planetas, que são as posições caracteŕısticas dos planetas em suas órbitas, vistas da terra, convém antes definir elongação: elongação (e): distância angular do planeta ao Sol, vista da Terra. 62 10.2.1 Configurações de um planeta inferior • conjunção inferior: o planeta está na mesma direção do Sol (e = 0) e mais próximo da Terra do que o Sol. • conjunção superior: o planeta está na mesma direção do Sol (e = 0), e mais longe da Terra do que o Sol. • máxima elongação: a distância angular entre o planeta e o Sol é máxima, e vale 28◦ no caso de Mercúrio, e 48◦ no caso de Vênus. Na máxima elongação ocidental, o planeta está a oeste do Sol (nasce e se põe antes do Sol) e, portanto, é viśıvel ao amanhecer, no lado leste. Na máxima elongação oriental, o planeta está a leste do Sol (nasce e se põe depois do Sol) e é viśıvel ao anoitecer, no lado oeste. 10.2.2 Configurações de um planeta superior • conjunção: o planeta está na mesma direção do Sol (e = 0), e mais longe da Terra do que o Sol; • oposição: o planeta está na direção oposta ao Sol (e = 180◦). O planeta está no céu durante toda a noite; • quadratura (e = 90◦): O planeta está 6h a leste do Sol (quadratura oriental) ou a oeste do Sol (quadratura ocidental). 10.3 Peŕıodo sinódico e sideral dos planetas Peŕıodo sinódico (S): é o intervalo de tempo decorrido entre duas con- figurações iguais consecutivas. É o peŕıodo de revolução aparente do planeta, em relação à Terra. Peŕıodo sideral (P): é o peŕıodo real de translação do planeta em torno do Sol, em relação a uma estrela fixa. 10.3.1 Relação entre os dois peŕıodos Considere dois planetas, A e B, como na figura 10.3.1. O planeta A move-se mais rápido do que o planeta B, por estar numa órbita mais interna. Na posição (1), o planeta A passa entre os planeta B e o Sol. O planeta A está em conjunção inferior visto de B, e o planeta B está em oposição visto de A. Quando A completou uma revolução em torno do Sol, e retornou à 63 10.5.1 Distâncias dos planetas inferiores emax p T S Quando o planeta inferior em máxima elongação (eM ), o ângulo entre Terra e Sol, na posição do planeta, será de 90◦. Então, nessa situação Sol, Terra e planeta formam um triângulo retângulo, e a distância do planeta ao Sol será: sen eM = distância(planeta−Sol) distância(Terra−Sol) Portanto: distância(planeta−Sol) = sen eM × 1UA No caso de Mercúrio, cuja órbita tem alta excentricidade, a elongação máxima varia de 23◦ a 28◦, e a distância de 0,39 a 0,46 UA. 66 10.5.2 Distâncias dos planetas superiores E . E’ SP P’ Observando Marte, Copérnico viu que o intervalo de tempo decorrido entre uma oposição e uma quadratura é de 106 dias. Nesse peŕıodo de 106 dias, a Terra percorre uma distância angular de 104,5◦, pois se em 365 dias ela percorre 360◦, em 106 dias ela percorre 106/365 × 360◦. Como o peŕıodo sideral de Marte é de 687 dias, então a distância angular percorrida por Marte nesse mesmo peŕıodo de 106 dias será 55,5◦ (106/687 × 360◦). Agora, considerando o triângulo formado pelo Sol, Terra e Marte na quadratura (SE’P’ na figura), o ângulo entre o Sol e o planeta, visto da Terra, é de 90◦, e o ângulo entre Terra e Marte, visto do Sol, é de 104,5◦ - 55,5◦ = 49◦. Então, a distância entre Marte e Sol é: distância(Sol−Marte) = 1UA cos 49◦ = 1, 52UA A tabela a seguir mostra uma comparação entre os valores das distâncias dos planetas ao Sol, em unidades astronômicas, determinadas por Copérnico, e os valores atuais. 67 Planeta Copérnico Moderno Mercúrio 0,38 0,387 Vênus 0,72 0,723 Terra 1 1 Marte 1,52 1,523 Júpiter 5,22 5,202 Saturno 9,17 9,554 Apesar do grande sucesso de Copérnico em determinar as distâncias dos planetas ao Sol, e na simplicidade da explicação do movimento observado dos planetas no seu sistema, as posições previstas para os planetas nesse sistema não eram melhores do que as posições previstas no sistema de Ptolomeu. Uma relação emṕırica para a distância média dos planetas em torno do Sol foi proposta em 1770 por Johann Elert Bode (1747-1826) e Johann Daniel Titius (1729-1796) a = 2n × 3 + 4 10 com n = −∞ para Mercúrio, n=0 para Vênus, n=1 para a Terra, n=2 para Marte, n=3 para o cinturão de asteróides, n=4 para Júpiter, n=5 para Saturno, n=6 para Urano, Netuno não fita, e n=7 para Plutão. Esta relação indica que deve haver algum tipo de resonância mecânica no disco protoplanetário que deu origem ao Sistema Solar. 68 a b F ae F’ x y • Quanto maior a distância entre os dois focos, maior é a excentricidade (e) da elipse. Sendo c a distância do centro a cada foco, a o semi-eixo maior, e b o semi-eixo menor, a excentricidade é definida por; e = c a = √ a2 − b2 a2 já que quando o ponto está exatamente sobre b temos um triângulo retângulo, com a2 = b2 + c2. • Se imaginamos que um dos focos da órbita do planeta é ocupado pelo Sol, o ponto da órbita mais próximo do Sol é chamado periélio, e o ponto mais distante é chamado afélio. A distância do periélio ao foco (Rp) é: Rp = a− c = a− a · e = a(1− e) e a distância do afélio ao foco (Ra) é: Ra = a + c = a + a · e = a(1 + e) • Equação da elipse em coordenadas polares Uma elipse é por definição um conjunto de pontos eqüidistantes de dois focos separados por 2ae, onde a é o semi-eixo maior e e a excen- tricidade. 71 2a 2b x y F F’ P(x,y) ae r c θr1 Seja um ponto P(r,θ) ou P(x,y) sobre a elipse, onde θ é chamado de anomalia verdadeira. Pela lei dos cossenos: r21 = r 2 + (2ae)2 + 2r (2ae) cos θ. Por definição de elipse, r + r1 ≡ 2a, ou seja: r1 = 2a− r, (2a− r)2 = r2 + 4a2e2 + 4rae cos θ, 4a2 + r2 − 4ar = r2 + 4a2e2 + 4rae cos θ, a2(1− e2) = ar(1 + e cos θ), e finalmente: r = a(1− e2) (1 + e cos θ) . • Área da elipse Em coordenadas cartesianas: r21 = (x + ae) 2 + y2. (a) r2 = (x− ae)2 + y2, (b) 72 Subtraindo-se (a) - (b) e usando r = 2a− r1, temos: r1 = a + ex. (c) Levando-se em conta que o semi-eixo menor é dado por b2 = a2(1 − e2), o que pode ser facilmente derivado pelo teorema de Pitágoras colocando-se o ponto P(r,θ) em θ = 90o, e substituindo-se (c) em (a), temos a equação de uma elipse em coordenadas cartesianas: (x a )2 + (y b )2 = 1, ou x = a √ 1− (y b )2 . A área da elipse é dada por: A = 4 ∫ b 0 dy ∫ x o dx. A = 4 ∫ b 0 a √ 1− (y b )2 dy, Substituindo-se y = b senz, e dy = b cos z dz, A = 4ab ∫ π/2 0 √ 1− (senz)2 cos z dz e, como sen2z + cos2 z = 1, logo 1− sen2z = cos2 z, resulta: A = 4ab ∫ π/2 0 cos2 z dz. Como ∫ π/2 0 cos2 z dz = π/4, A = πab. 73