Estimativas e Erros em Experimentos de Física

Estimativas e Erros em Experimentos de Física

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Estimativas e Erros em Experimentos de Física

W. Prado∗ L. Mundim∗ J. U. Cinelli† J. R. Mahon∗ A. Santoro∗ V. Oguri∗

Apresentação

Estetextoconstituiumaintroduçãogeralàanálisedeerroseincertezas,baseado em métodos estatísticos, redigido como parte do material didático para as atividades de laboratório da disciplina de Física Geral, oferecida aos alunos que ingressam no curso de Física da UERJ. A par de técnicas estatísticas, que proporcionarão aos alunos:

– organizar e descrever conjuntos genéricos de dados, – estimar erros em medidas diretas,

– propagar erros em medidas indiretas,

– efetuar a determinação de parâmetros a partir de ajustes lineares.

Ou seja, realizarem de modo elementar, sínteses e análises exploratórias de dados: pretendemos também que os alunos adquiram comportamento e procedimento adequados ao trabalho em laboratório, tanto individual como coletivamente.

Como temos observado que versões anteriores desse trabalho têm sido usadas por professores em períodos mais adiantados, quando o estudante já dispõe de maiores conhecimentos de matemática, resolvemos incluir algumas secções e apêndices (marcados com asteriscos) mais avançados. Esperamos com isso que o estudante, que esteja usando este trabalho no primeiro período, possa moldar sua formação em bases mais substanciais no decorrer de sua graduação. Uma vez apresentados alguns métodos estatísticos necessários à análisedasmedidasresultantesdeumexperimento, comoutilizá-losnoestudo ou no trabalho de pesquisa em Física? De que maneira os experimentos e as teorias físicas estão relacionados?

O objetivo primário de uma ciência básica, como a Física, não é o de proporcionar o descobrimento ou a invenção de novos aparatos tecnológicos1 mas, sim, o de permitir ao homem ampliar a sua compreensão do mundo em que vive.

Com esse objetivo os físicos criam conceitos que são associados a grandezas e estabelecem relações entre eles, denominadas leis físicas. A partir, então, de um conjunto de leis físicas independentes, associadas a uma dada classe de fenômenos naturais, resultam as teorias físicas, as quais permitem a interpretação de uma multiplicidade de fenômenos em termos de alguns poucos princípios ou leis fundamentais.

Um experimento, etapa fundamental da investigação científica, é um processoque,apardaanálisededados,necessitadahabilidadedoexperimentador

1 Apesar de que, historicamente, a grande maioria das criações da ciência sempre proporcionaram a concepção e a realização de novos produtos e artefatos tecnológicos.

em imaginar e criar condições nas quais apenas alguns atributos ou grandezas associadas a um sistema variem ao longo do processo. Nesse contexto, a objetividade de um experimento resulta do teste de uma ou mais hipóteses que envolvam conexões ou relações entre as grandezas ou atributos de um sistema. Assim, a partir de hipóteses experimentalmente testáveis, as leis da Física podem ser estabelecidas.

Esse requerimento de condicionar a aceitação ou rejeição de uma hipótese sobre a natureza à um procedimento experimental, que se iniciou com Galileu (séc. XVII), é que permitiu aos físicos a elaboração de teorias e leis com grandes poderes de previsão e explicação, em relação ao comportamento e a evolução de diversos fenômenos naturais, e a criação de uma imagem coerente e compreensível do cosmos.

Estaremos recompensados se o estudante ao término do período estiver em condições de utilizar com desenvoltura o que aqui se expõe, quando, em outras disciplinas, iniciar o aprendizado de novas técnicas experimentais para a obtenção cuidadosa e sistemática de dados.

Apresentação1

Índice 1 Introdução – Experimentos em Física 12

2.1 Tabelas17
2.2 Histogramas18
2.3 Parâmetros de posição27
Média aritmética (x)27
Média quadrática (x2)27
Valor eficaz (xrms )28
Moda (xmod)28
Mediana (xmed)28
2.4 Parâmetros de dispersão30
Amplitude (A)30
Desvio Médio Absoluto (|δx| )30
Variância (σ2x)30
Desvio-padrão (σx)3
Exemplo de resumo de dados35
Exercícios37
2.5 Parâmetros de correlação40
2.5.1 Covariância41
2.5.1.1 Análise do sinal da covariância42
de Pearson43
2.6 Tópico avançado *47
Tópico avançado47
2.6.1 Matriz de covariância47
Exercícios51
3.1 Valor esperado52
3.2 Estimativas do valor esperado54
3.3 Tipos de erros5
Efeito aditivo56
Efeito multiplicativo57
Exatidão e precisão57
3.4 Avaliação de erros associados a incertezas do Tipo A65
3.4.2 Erro da média68
3.4.3 Pequenas amostras72
3.5 Nível de confiança74
3.5.1 Graus de liberdade76
3.6 Avaliação de erros associados a incertezas do Tipo B7
3.6.1 Instrumentos analógicos80
3.6.2 Instrumentos digitais83
3.7 Erro padrão84
didas86
3.9 Operação com medidas sem indicação explícita do erro8
3.10 Compatibilidade e discrepância90
um valor de referência90
um valor esperado92
Exemplo de comparação entre resultados94
Exercícios98
4.1.1 Medidas indiretas envolvendo adição102
4.1.2 Medidas indiretas envolvendo multiplicação103
Regra mnemônica104
4.2 Exemplos de propagação de erros107
4.2.0.1 Erro da média (σz)1
4.3 Regressão ou ajuste linear112
4.4 Exemplos clássicos de uso de ajuste linear115
4.5 Determinação de parâmetros117
Exercícios120
4.6 Reta de calibração123
4.6.1 Faixa de confiança e interpolação inversa126
4.6.2 Exemplo com o dinamômetro de mola129
Exercício130
Principais propriedades do somatório141

Notação de índice e de somatório 139 A Distribuição gaussiana 143

Pequenas amostras148

B Erro da média 146

C.1 Caso de uma variável152
C.2 Caso de duas variáveis155
C.3 Caso de M variáveis160
C.4 Exemplos163
C.4.1 Resultante de duas forças163
C.4.2 Medida do momento de força166
por transferidor escolar167

C Propagação de erros 152 C.4.3 Incerteza em medição direta de ângulo

D.1 Função de ajuste y=ax171
D.1.1 Estimativa das incertezas172
D.1.2 Parâmetro do ajuste linear e as incertezas (resumo)175
D.2 Função de ajuste y=ax+b176

D Ajuste linear – Método dos mínimos quadrados 168

ajuste y = ax + b180

D.2.1 Estimativa das incertezas associadas ao D.2.2 Parâmetros do ajuste linear e as incertezas (resumo) . . . 182

D.3 Ajuste da função y= f(x;α)183

E Faixa de confiança 184

F.1 Grandezas192
F.2 Definições retiradas do VIM193
G.1 Constantes Físicas Fundamentais200
G.2 Aceleração da gravidade201

G Alguns valores de referência 200

Parâmetros de posição206
Parâmetros de dispersão207
Correlação208
Estimativas de Incerteza em medidas diretas209
Estimativas de Incerteza em medidas indiretas218
Ajuste linear219
Prefixos SI223

1. Introdução – Experimentos em Física

Todo experimento em Física envolve a medição de uma ou várias grandezas, entendendo-se por grandeza: atributo de um fenômeno ou sistema físico que pode ser distinguido qualitativamente e determinado quantitativamente.

Mesmo que as medições tenham sido realizadas com todo esmero, os valores encontrados (medidas) estão sujeitos, inevitavelmente, a incertezas. A análise de erros e estimativa dessas incertezas é que nos permite quantificar propriamente o resultado de um experimento, além de ajudar a reduzí-las ou controlá-las.

Somente a partir de criteriosa determinação dos erros, torna-se possível quantificar um resultado experimental; nesse contexto, a Estatística é fundamental, por estabelecer métodos, critérios e procedimentos bem definidos que permitem uma boa e sistemática aquisição, organização, descrição, tratamento e interpretação de dados, até a extração e divulgação de resultados.

• Dados: valoresa de atributos associados aos elementos de um conjunto.

• Medidas: dados numéricos associados às grandezas relativas a um fenômeno ou sistema físico, resultantes de mediçõesb.

• População: conjunto ou coleção, hipotético ou não, da totalidade dos dados associados a um fenômeno ou sistema.

• Amostra: subconjunto acessível e disponível de uma população, do qual se pode ou se deseja extrair conclusões acerca da população.

a Esses valores podem ser numéricos ou não-numéricos, como, por exemplo, a cor dos olhos de cada aluno de uma turma. b Medição: Ato ou processo de aquisição de dados que tem como objetivo associar um valor (uma medida) a uma grandeza.

Nesse sentido, pode-se dizer que um experimento sempre envolve um processo de coleta de dados, obtidos de um arranjo de instrumentos de detecção e medição, que resulta em uma amostra da qual se deseja extrair ou determinar (de modo sistemático) as propriedades de um fenômeno ou sistema físico.

Experimentos simples, de custo relativamente baixo, como a maioria dos experimentos didáticos, em geral, envolvem um pequeno número de pessoas, estendem-se por frações de hora e resultam em poucos dados a serem tratados. Por outro lado, um experimento complexo pode envolver milhares de pessoas, estender-se durante algumas décadas, ter um custo muito elevado e gerar uma quantidade de dados que demanda recursos de armazenamento e computacionais enormes.

Simplesoucomplexo,oesquema(Fig.1)deumexperimentogenéricoindica que, excepto em sua fase de construção, os métodos estatísticos são absolutamente necessários em todas as suas fases de operação.

Inicialmente, estudaremos a organização e descrição de dados sem o questionamento de como e de onde eles provêm, ou seja, sem a preocupação com o processo de aquisição, mesmo que esses dados sejam provenientes de algum procedimento experimental, como a medição das alturas ou das massas de um grupo de pessoas. Somente após estabelecermos os métodos de apresentação e caracterização de um conjunto genérico2 de dados, utilizaremos esses conceitos para uma estimativa das incertezas associadas às medidas3 de grandezas

2 Por exemplo, as notas das provas de Mecânica de uma turma, as contagens das faces em N lançamentos de um dado ou nos lançamentos de N dados idênticos, ou o sexo dos assinantes de um jornal. 3 Comoasmedidasdecomprimentodeumabarra,doperíododeumpêndulooudacorrente físicas.

As referências [9, 18, 15] apresentam os procedimentos para a organização e descrição direta de dados, de forma similar à adotada nessa introdução. Discussões ainda elementares, porém mais gerais, podem ser encontradas nas referências [6, 21].

OsmétodoseprocedimentosdaEstatística,fundamentadosporargumentos probabilísticos, requerem o uso de técnicas matemáticas não-elementares, que serãoevitadasnessaintroduçãoaoassunto. Abordagensmaisformaisdoponto de vista matemático são encontradas nas referências [23, 8, 13, 12, 10], enquanto do ponto de vista dos físicos, ou de outros pesquisadores na área de ciências da natureza, podem ser encontradas em [1, 1, 14, 2, 2, 20, 19, 17, 7].

em um circuito elétrico simples.

2. Apresentação e descrição de dados

Iniciaremos apresentando exemplos de dados colhidos em turmas que passaram pelo curso de Física do Instituto de Física da UERJ ( – ).

Das turmas de Física Geral da UERJ, do 2o semestre de 2001, foram coletadas as seguintes idades (anos), massas (kg) e alturas (cm), correspondentes a 72 alunos, apresentadas4 na Tab.1.

Por outro lado, alguns desses alunos mediram os comprimentos de 30 bancadas distintas do laboratório de Mecânica e encontraram o conjunto de dados listados, em cm, na Tab.2.

Do modo que esses dados estão apresentados, em estado bruto ou dados brutos, torna-se difícil a caracterização desses conjuntos. Como identificar, por exemplo, as faixas de maiores incidências de idades, massas ou alturas? Existem grandes variações de valores com relação às faixas de maiores incidências? As mesas apresentam comprimento uniforme?

Oprimeiropassoparaumaapresentaçãosistemáticaéatabulaçãoordenada e agrupada de acordo com o número de ocorrências de um determinado valor

4 Nota: os dados numéricos estão apresentados do modo como foram recolhidos.

ou com a quantidade de dados (freqüências) contidos em certos intervalos de valores (classes).

Desse modo, os comprimentos das mesas podem ser apresentados em uma tabela de freqüências5, como a Tab.3.

À função que fornece o número de dados em cada classe de um conjunto ordenado de dados e agrupado por classes denomina-se distribuição de freqüência. Convém destacar que a distribuição de freqüência depende da escolha das classes.

2.2. Histogramas

A maneira pela qual se pode, por simples visualização, perceber o comportamento global de uma distribuição de freqüência é por meio de um histograma.

Assim, as distribuições de freqüências associadas aos subconjuntos: das idades,dasmassasedasalturasdosalunosdasturmasdeFísicaGeraldaUERJ, do2o semestrede2001,segundoclassespré-definidas,podemserrepresentadas como nas Tabs.4, 5, 6, ou, graficamente, pelo histograma correspondente ao lado.

5 Por convenção, o valor extremo superior de uma classe não é incluído nesta classe, isto é, as classes são consideradas intervalos fechados à esquerda e abertos à direita. Por exemplo, a classe 149 150 é equivalente a [148,150).

Desse modo, nota-se claramente que (do histograma referente à Tab.4) a idade mais comum é em torno dos 20anos, que (do histograma referente à Tab.5) o peso da maioria dos alunos encontra-se no intervalo de (60 a 70)kg e que (do histograma referente à Tab.6) existem três grupos de alturas, em torno de (165, 175 e 180)cm.

No caso do comprimento das mesas, a distribuição das medidas é mais bem visualizada em um histograma do tipo setorial (associado à Tab.7), a partir do qual, pode-se estimar que o comprimento de cerca de 5% das mesas encontra-se no intervalo de [150,151).

• Classes: intervalos de valores ou qualificações nos quais os dados de uma coleção são agrupados.

• Histograma: representação gráfica de uma distribuição de freqüência nas classes de agrupamento de uma coleção de dados.

Uma vez que o tamanho do intervalo que define uma classe é quem determina a freqüência da classe, sua escolha depende de um compromisso. Se o intervalo de classes for muito pequeno, haverá grandes flutuações nas freqüências. Por outro lado, para grandes intervalos de classes perdem-se detalhes6 da distribuição de freqüências.

6 As classes de um histograma não precisam ser uniformes, i.e., não precisam ter a mesma amplitude. Mas, se as classes forem uniformes e as alturas proporcionais às freqüências correspondentes, pode-se interpretar a área delimitada pelos limites de uma como sendo proporcional à probabilidade de ocorrência dos dados na classe considerada. Para que essa interpretação possa ser sempre mantida, é conveniente que se considere essa proporcionalidade quando se consideram classes não-uniformes, de modo que, se duas classes vizinhas passam a ser consideradas como uma nova classe, a nova área delimitada deve ser igual à área total delimitada pelas duas classes originais.

Tabela 1: Idades (anos), massas (kg) e alturas (cm) de 72 alunos calouros do – de 2001–2.

Tabela 2: Comprimentos de bancadas do laboratório de Mecânica do – , em centímetros (cm).

classes de comprimento (cm) freqüências

Tabela 3: Quadro de distribuição de freqüência dos comprimentos das bancadas medidos pelos calouros de 2001–2 do – .

idades (anos) freqüências

Histograma associado à Tab.4 Tabela 4: Distribuição de freqüência das idades dos calouros do – de 2001–2.

massas (kg) freqüências

Histograma associado à Tab.5. Tabela 5: Distribuição de freqüência das massas dos calouros do – de 2001–2.

alturas (cm) freqüências

Histograma associado à Tab.6. Tabela 6: Distribuição de freqüência das alturas dos calouros do – de 2001–2.

comprimento (cm) freqüência

total 30 Histograma setorial

Tabela 7: Distribuição de freqüência dos comprimentos das bancadas do laboratório de Mecânica do – .

2.3. Parâmetros de posição

Todas as constatações retiradas das seções 2.1 e 2.2, como a idade mais comum, o intervalo de massa da maioria ou a altura média de um grupo, podem ser quantificadas por meio do cálculo de medidas que caracterizam os valores em torno dos quais esses dados se distribuem, ou seja, pelos chamados parâmetros de posição central.

representada também por {xi | i = 1...N}. Definiremos sucintamente, a seguir, os parâmetros mais úteis para essa avaliação.

Média Aritmética (x): valor médio representativo dos dados de uma coleção:

x1 + x2 ++ xN

Média Quadrática (x2): valor médio dos quadrados dos dados de uma coleção:

x21 + x22 ++ x2

Valor eficaz7 (xrms): raiz da média quadrática:

Moda (xmod): valor mais freqüente8 em uma coleção de dados.

Mediana9 (xmed): valorquedivideadistribuiçãoordenadadedadosdaamostra, tal que metade dos dados estão acima e metade abaixo desse valor10.

7 A abreviação baseia-se no inglês: root mean square. 8 Se houver mais de um valor com a mesma freqüência máxima, diz-se que a coleção de dados é multimodal, sendo a moda igual ao conjunto de dados da amostra que correspondem a mesma freqüência máxima.

9 Não se deve confundir, por exemplo, as notações xi e xmed; a primeira indica um valor do conjunto de dados, a segunda o valor de um parâmetro (a mediana) para esse conjunto de

Aproximação da média Se os dados estão agrupados em M classes (histogra- mas), se yk é o ponto médio da classe [bk , bk+1) e νk é a freqüência na classe, então a média pode ser aproximada por: 1

x ≈ ν1y1 + ν2y2 ++ νMyM

j=1 νj yj

A expressão à direita se aproxima da “média dos dados brutos” conforme aumenta o número de classes.

Do ponto de vista descritivo, quanto menor o intervalo de variação dos dados, ou seja, quanto menor o grau de dispersão, esses parâmetros de posição são as quantidades que melhor caracterizam ou resumem a totalidade das informações contidas num conjunto de dados.

1 Uma vez que os cálculos dos parâmetros associados a um conjunto de dados dependem de seus agrupamentos, tanto histogramas quanto tabelas de freqüências por classes só devem ser utilizados para a organização ou visualização da distribuição dos dados. Quaisquer estimativas de parâmetros devem ser efetuadas, sempre que possível, a partir dos dados brutos.

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