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Cálculo Vetorial e Geometria Analitica - Apostilas - Engenharia Elétrica, Notas de estudo de Eletrotécnica

Apostilas de Engenharia Elétrica sobre o estudo do Cálculo Vetorial e Geometria Analítica, Segmentos Orientados, Vetores, Soma de um ponto com um vetor, Adição de vetores, Diferença de vetores, Módulo, Direção e Sentido, Produto de um número real por um vetor, Espaço vetorial, Exercícios.

Tipologia: Notas de estudo

2013

Compartilhado em 28/05/2013

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Baixe Cálculo Vetorial e Geometria Analitica - Apostilas - Engenharia Elétrica e outras Notas de estudo em PDF para Eletrotécnica, somente na Docsity! 1 Prof. José Carlos Morilla Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Prof. José Carlos Morilla Santos 2009 2 Prof. José Carlos Morilla 1 CÁLCULO VETORIAL .................................................................................................. 4 1.1 Segmentos Orientados ........................................................................................... 4 1.2 Vetores ................................................................................................................... 4 1.2.1 Soma de um ponto com um vetor .................................................................... 5 1.2.2 Adição de vetores ............................................................................................ 5 1.2.3 Diferença de vetores ........................................................................................ 6 1.2.4 Módulo, Direção e Sentido ............................................................................... 6 1.2.5 Produto de um número real por um vetor. ....................................................... 6 1.2.6 Espaço vetorial. ............................................................................................... 7 1.2.7 Exercícios. ....................................................................................................... 7 1.3 Dependência e Independência Linear. ................................................................... 8 1.3.1 Definições ........................................................................................................ 8 1.3.2 Exercícios. ....................................................................................................... 9 1.4 Base ....................................................................................................................... 9 1.4.1 Adição entre vetores ...................................................................................... 10 1.4.2 Multiplicação por um escalar.......................................................................... 11 1.4.3 Exercícios ...................................................................................................... 11 1.4.4 Ortogonalidade. ............................................................................................. 12 1.4.5 Exercícios. ..................................................................................................... 13 1.5 Mudança de Base ................................................................................................. 13 1.5.1 Mudança de Base Ortornormal. ..................................................................... 14 1.5.2 Exercícios. ..................................................................................................... 14 2 PRODUTOS ENTRE VETORES E ESCALARES ...................................................... 15 2.1 Ângulo entre dois vetores. .................................................................................... 15 2.2 Produto Escalar. ................................................................................................... 16 2.2.1 Cossenos diretores ........................................................................................ 16 2.2.2 Projeção de um vetor ..................................................................................... 17 2.2.3 Propriedades do Produto Escalar. ................................................................. 17 2.2.4 Exercícios. ..................................................................................................... 18 2.3 Orientação no espaço V3. ..................................................................................... 19 2.4 Produto Vetorial .................................................................................................... 19 2.4.1 Vetores Canônicos ......................................................................................... 21 2.4.2 Exercícios ...................................................................................................... 23 2.5 Produto Misto ....................................................................................................... 23 2.5.1 Propriedades do Produto Misto. ..................................................................... 24 5 Prof. José Carlos Morilla Dado um vetor v = AB, o vetor BA é chamado de oposto de AB e se indica por -AB ou por - v . Figura 7- Vetores Opostos 1.2.1 Soma de um ponto com um vetor Dado um ponto A e um vetor v , existe um único ponto B tal que B-A=v. O ponto B é chamado de soma do ponto A com o vetor v  e se indica por A+ v . As propriedades abaixo são imediatas: • A+0=A • (A-v)+v=A • Se A+ v =B+v  então A=B • Se A+ u =A+v  então u=v • A+(B-A)=B 1.2.2 Adição de vetores Consideremos dois vetores u  e v  e um ponto qualquer A. Quando se toma o ponto A, e a ele se soma o vetor u  obtemos um segundo ponto, que aqui vamos chamar de B. Quando se soma ao ponto B o vetor v , encontramos um terceiro ponto, que chamaremos de C. Podemos dizer que existe um terceiro vetor w  que ao ser somado ao ponto A encontramos o ponto C. Figura 8– Soma de vetores Podemos dizer, então que o vetor w  é soma do vetor u  com o vetor v . Podemos escrever então que: u+v=w Graficamente, podemos usar a regra do paralelogramo: Figura 9– Regra do Paralelogramo Na figura 10, o vetor AD representa a soma entre os vetores u; v e w. Figura 10– Soma entre vetores A D C B 6 Prof. José Carlos Morilla 1.2.3 Diferença de vetores Consideremos dois vetores u  e v , como os mostrados na figura 11, o vetor k u+-v é chamado de diferença entre u  e v . Na figura 11, quando se toma o ponto A e a ele se soma o vetor u , obtemos o ponto B. Quando se soma ao ponto A o vetor v , encontramos um terceiro ponto, que chamaremos de D. Figura 11– Diferença entre vetores Observa-se, então, que existe um vetor k que somado ao vetor v  fornece o vetor u . Podemos, então, escrever v+k=u  k=u-v Assim, podemos dizer que o vetor k é a diferença entre o vetor u  e o vetor v . OBS:- A diferença entre o vetor v  e o vetor u , será igual a -k. v - u = -k 1.2.4 Módulo, Direção e Sentido Dado um vetor u , todos os seus representantes têm o mesmo comprimento; assim, o comprimento de qualquer representante de u é chamado de módulo do vetor u  e é indicado por |u|. O módulo de um vetor depende da unidade de comprimento utilizada. O módulo de um vetor, também, é chamado de Norma do vetor. Dizemos que um vetor é unitário quando seu módulo for igual a um. |u|=1 De maneira análoga, a direção e o sentido do vetor u  são, por definição, a direção e o sentido de qualquer dos representantes de u . Chama-se versor de um vetor não nulo v , o vetor unitário de mesmo sentido v . Dois vetores são ditos paralelos quando estes possuem a mesma direção. 1.2.5 Produto de um número real por um vetor. Chamamos de produto de um número real, diferente de zero, por vetor v  0, ao vetor s tal que: • |s |=|a|×|v| • A direção s é paralela à de v • Se a>0, o sentido de s é mesmo de v • Se a<0, o sentido de s é oposto ao de v • Se a = 0 ou v for nulo, o resultado é um vetor nulo. O produto de a por vse indica por av . O produto (1/a) v se indica simplesmente por v/a. Figura 12– Produto de um número real por um vetor 7 Prof. José Carlos Morilla 1.2.6 Espaço vetorial. Chama-se espaço vetorial ao conjunto de vetores munidos de pelo menos duas operações que respeitam as propriedades da adição e do produto de um número real por um vetor. Os espaços vetoriais são estudados na Álgebra Linear. OBS:- É comum se usar o termo escalar para designar um número real, em contraposição a um vetor. Assim, quando se multiplica um vetor por um número real é comum ser dito que este vetor será multiplicado por um escalar. Não se deve confundir este produto com Produto Escalar que será visto mais à frente. 1.2.7 Exercícios. 1. Para a figura 13, onde DC = 2AD , exprimir D – B em função de A – B e C – B. A D C B Figura 13 2. Para a figura 14, AD é a bissetriz do ângulo A. Exprimir D – A em função de B – A e C – A. B D C A Figura 14 3. Dados os vetores u  e v , conforme a figura 15, determine o vetor x tal que u+v+x=0. Figura 15 4. Determine a soma dos vetores indicados na figura 16. BA C D (a) BA C D (b) BA C E (c) F D (d) Figura 16 10 Prof. José Carlos Morilla Podemos então escrever o vetor v como sendo:  aiei = v 3 i=1 Os escalares a1,a2,a3 são chamadas de componentes, ou coordenadas, de v em relação à base e1, e2, e3. Reciprocamente, a uma terna a1,a2,a3 de números reais, existe um único vetor cujas coordenadas são a1,a2 e a3. Fixada uma base e1, e2, e3, é costume se representar o vetor v por meio da terna a1,a2,a3 ou ainda, por meio da matriz coluna: a1a2 a3 Escrevemos, então: v = a1,a2,a3 ou v = a1a2 a3 Deste ponto em diante, o uso de coordenadas será muito freqüente; é conveniente, então, que as operações entre vetores sejam feitas diretamente em coordenadas, assim, faremos o estudo de algumas destas operações: 1.4.1 Adição entre vetores Se u = a1,a2,a3 e v = b1,b2,b3 então: u+v = a1+b1,a2+b2,a3+b3 De fato, se u=a1e1+a2e2+a3e3 e v=b1e1+b2e2+b3e3 , então: u+v= a1+b1e1+ a2+b2e2+ a3+b3e3 ou seja: u+v = a1+b1,a2+b2,a3+b3 Quando se usa a notação matricial, podemos escrever: u  v = a1a2 a3 +!b1b2 b3 "=!a1+b1a2+b2 a3+b3 " OBS:- Quando se tem um vetor v em um plano, suas componentes podem ser definidas como as coordenadas (v1; v2) de um sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas. Assim, o vetor v será representado simplesmente por v = v1,v2 A figura 20 mostra o vetor v e suas componentes. Figura 20 Quando é feita a soma entre dois vetores no plano, o vetor resultante tem componentes iguais à soma entre as componentes em cada direção. A figura 21 mostra a soma entre dois vetores v e w. Prof. José Carlos Morilla Figura 21 1.4.2 Multiplicação por um escalar. Se um vetor = multiplicado por um escalar λ, então: = De fato, se produto fica: Quando se usa a notação matricial, podemos escrever: = Com estes conceitos é possível reexaminar o conceito de dependência e independência linear. Os vetores = = são linearmente dependentes se e somente se forem proporcionais a Os vetores = = e = é o e . , são linearmente independentes se e somente se: 1.4.3 Exercícios 13. Determine o vetor X, tal que 3 = 15(X - U). 14. Determine os vetores X e Y tais que: 15. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor V =(3;0;-3), sabendo origem está no ponto P = (2 16. Quais são as coordenadas do ponto P’, simétrico do ponto P = (1;0;3) em relação ao ponto M = (1;2;-1)? (Sugestão: o ponto P’ é tal que o vetor 17. Verifique se o vetor U é combinação linear de V e W: V = (9,-12, W = (-1,7,1) U = (-4, 18. Verifique se o vetor U é combinação linear de V e W: V = (5,4, W = (2,1,1) U = (-3, 19. Quais dos seguintes vetores são paralelos? U = (6,-4,-2) V = (- 11 X-2V -se que sua ;3;-5). - ) -6) -6,2) -3) -4,1) W = (15,-10,5) 9,6,3) 12 Prof. José Carlos Morilla 1.4.4 Ortogonalidade. O conceito de ortogonalidade de vetor, com retas e planos se define de modo natural, usando os mesmos conceitos para os segmentos orientados que representam o vetor. Desta forma é possível definir: I. Um vetor u 0 é ortogonal à reta r (ao plano π) se existe um representante (A,B) de u tal que o segmento AB é ortogonal a r ( a π). II. Os vetores u e v são ortogonais se um deles é nulo, ou caso contrário, admitirem representantes perpendiculares. III. Os vetores u e v são ortogonais se e somente se: |u + v|2=|u|2 + |v|2 Para provar esta proposição basta lembrar o teorema de Pitágoras. Tomando um ponto O qualquer, u e v são ortogonais se e somente se os pontos O; O+u e O+u+v, são vértices de um triângulo retângulo. Isto pode ser observado na figura 22. O Figura 22 IV. Outra forma de mostrar a ortogonalidade é lembrando que, no plano, os vetores u  e v  podem ser escritos: u=x1i+y1j v=x2i+y2j Assim a expressão: |u + v|2=|u|2 + |v|2 Fica: x1+x22+y1+y22=x12+y12+x22+y22 Ao se efetuar o produto notável no lado esquerdo da igualdade e fazendo-se as simplificações possíveis, encontramos: x1x2 + y1y2 = 0 Da mesma forma que foi feito no plano, para dois vetores no espaço R3, podemos escrever: x1x2 + y1y2+ z1z2=0 V. Uma base E = e1, e2, e3 é ortonormal se os vetores e1, e2, e3 são unitários e dois a dois ortogonais. Figura 23 VI. Se E = e1, e2, e3 é base ortonormal e u=xe1+ye2+ze3, então: |u|=#x2+y2+z2 O+u O+u+v v u u+v 15 Prof. José Carlos Morilla 28. Dada a base E e sejam: f1= e1- e2-e3 f2= e1+ 2 e2 - e3  f3= 2e1+ e2 + 4e3 a. Verificar se f1, f2, f3 é uma base. b. Achar a matriz mudança de base entre elas. c. Sendo, na base E, o vetor v= 3,-5,4, achar as coordenadas deste vetor na base F. 29. Dadas as base E e F tais que: f1= e1 - 3e2 f2= e2+ e3 f3= e1- 2 e2 Sendo o vetor v= 3,4,-1, na base E, achar as coordenadas deste vetor na base F. 30. Sendo %X&=%M&×%Y&, provar que %Y&=%M&-1×%X& 31. Sabendo-se que a matriz mudança de base de F para E é: 2 1 11 -1 0 0 0 1 e de F para G é  1 1 1-1 0 0 0 -1 1 determinar as coordenadas do vetor v= 4g 1 + 2g 2  + g 3  em relação à base E e a base F. 2 PRODUTOS ENTRE VETORES E ESCALARES 2.1 Ângulo entre dois vetores. Consideremos dois vetores, não nulos u e v, com origem em O e extremidades em P e Q, respectivamente, como os mostrados na figura 24. u v O P Q θ Figura 24 Nesta figura, θ é a medida em radianos (ou graus) do ângulo POQ que é o ângulo entre os vetores u e v. Vamos procurar uma expressão que nos forneça θ em função de u e v. Para isto, vamos fixar uma base ortonormal i;j;k, e sejam os vetores u  e v dados por suas coordenadas u=x1;y1;z1 v=x2;y2;z2 Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo POQ, resulta )QP)2 =|u|2+|v|2-2|u||v| cos θ Sabemos que: )QP)2 = )OP - OQ)2 =|u - v|2 )QP)2 =*x1-x2,y1-y2,z1-z2*2 )QP)2 = x1-x22+y1-y22+ z1-z22 16 Prof. José Carlos Morilla )QP)2 =x12+y12+z12+x22+y22+z22-2x1x2+y1y2+z1z2 Lembrando que: x1 2+y 1 2+z1 2+x2 2+y 2 2+z2 2=|u|2+|v|2 Podemos escrever: |u||v| cos θ x1x2+y1y2+z1z2 Esta expressão nos permite calcular cos θ, pois |u|=#x12+y12+z12 e |v|=#x22+y22+z22 Assim, podemos calcular cos θ por: cos θ  x1x2+y1y2+z1z2#x12+y12+z12 · #x22+y22+z22 2.2 Produto Escalar. Vamos definir um produto entre dois vetores cujo resultado é um escalar. Por isso ele é chamado de Produto Escalar. Chama-se produto escalar dos vetores u e v ao número u · v (também pode ser escrito como u $ v) tal que: • u×v=0 se u ou v forem iguais a zero, ou • u×v=|u||v| cos θ se u e v forem diferentes de zero e θ o ângulo entre u e v. • u×v=0 quando u e v forem diferentes de zero e ortogonais. Como|u||v| cos θ x1x2+y1y2+z1z2, podemos escrever: u $ v = x1x2+y1y2+z1z2 desde que estas coordenadas se refiram a uma base ortonormal. Podemos, então, determinar o ângulo θ por meio de: cos θ  u $ v|u||v| cos θ  x1x2+y1y2+z1z2#x12+y12+z12 · #x22+y22+z22 Por ser um produto, podemos escrever: cos θ  u|u| $ v|v| 2.2.1 Cossenos diretores Fixada uma base ortonormal i;j;k, chama-se de cossenos diretores do vetor v os cossenos dos ângulos que v forma com os vetores da base. Chamando se α; β e γ os ângulos que v forma i; j e k, respectivamente, e sendo v=xi+yj+zk, temos imediatamente: cos α  x#x2 +y2 +z2 cos β  y#x2 +y2 +z2 cos γ  z#x2 +y2 +z2 Os cossenos diretores são as coordenadas do versor de v. Temos, então: cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ=1 17 Prof. José Carlos Morilla Como u|u|  x1i+y1j+z1k#x12+y12+z12  u|u|  x1i#x12+y12+z12 + y 1 j #x12+y12+z12 + z1k #x12+y12+z12 Podemos então escrever que: u|u|  cos α i + cos β j + cos γ k Sejam E e F duas bases ortonormais e M a matriz mudança de base de E para F. Na matriz M cada coluna j é formada pelos cossenos diretores de Fj em relação à base E; isto é: /  cos 23 cos 2 cos 24cos 53 cos 5 cos 54cos 63 cos 6 cos 64 2.2.2 Projeção de um vetor Seja u um vetor unitário e v um vetor qualquer, com mostra a figura 25. O vetor v pode ser expresso na forma v=v1+v2 onde v1 é paralelo e v2 ortogonal a u. u v O v1 v2 Figura 25 Sendo v1 paralelo a u podemos escrever v1  λu e portanto v=λu +v2. Multiplicando escalarmente por u e sabendo que v2×u=0, encontramos: v×u = λu×u = λ|u|2 = λ Assim, finalmente, é possível escrever: v1  v×uu Quando o vetor u não é unitário encontramos: v×u = λu×u = λ|u|2 λ= v×u|u|2 Assim, finalmente, é possível escrever: v1= v×u|u|2 u 2.2.3 Propriedades do Produto Escalar. As propriedades do produto entre números se aplicam no produto escalar: a. u× v+w = u×v + u×w b. u× λv= λu×v = λ u×v c. u×v = v×u d. u×u=0 ↔ u=0 OBS:- convém observar que u×v ≠ u×w. Assim, não é possível cancelar u e escrever v = w. Prof. José Carlos Morilla coincida com w e acompanhamos este movimento com os dedos da mão direita, então o polegar vai apontar no sentido de v Figura 28 Isto pode ser entendido como sendo o produto entre o vetor e quantidade h, que “promove a rotação” desta quantidade, tendo como centro de rotação a extremidade do vetor Observe-se, aqui, que o produto w v fornece um vetor com sentido oposto ao produto v w. Observe a figura 29. Figura 29 Para os vetores um escalar, são válidas as seguintes propriedades: a. v w = - (w v) (anticomutatividade). Esta propriedade é fácil de ser observada quando se toma a definição de produto vetorial. As figuras 28 e 29 V Λ W V W V W Λ V w. a . e sendo ? mostram esta inversão de sinal. Além disto, é possível observar que, q faz o produto entre o vetor quantidade d, que “promove a rotaç desta quantidade, tendo como centro de rotação a extremidade do vetor sentido desta rotação é o inverso do encontrado no produto ser observado na figura w O θ |v| |w | d=|v|sen Figura b. v w = 0 para qualquer λv. (se os veores forem paralelos θ=n Esta propriedade é quando se toma a definição de produto vetorial: Assim o produto vetorial é nulo quando um de seus vetores é nul quando senθ é nulo. O seno de um ângulo é nulo quando ele é igual a n para qualquer n. Nesta situação os dois vetores possuem a mesma direção. c. (v w) x v = ( d. λ(v w) = (λv e. v (w + u) = f. (v + w) u (Distributividade em relação à soma de vetores). W 20 uando se e a ão” , o v w. Isto pode 30. v θ 30 se, e somente se, λ, v = λw ou w = π) fácil de observar o ou π, v w) x w = 0. ) w = v (λw). v w + v u = v u + w u 21 Prof. José Carlos Morilla Estas propriedades são facilmente entendidas e serão demonstradas na forma de exercícios. 2.4.1 Vetores Canônicos São vetores unitários, paralelos aos eixos coordenados (x,y,z). Estes vetores são indicados como: i= 1,0,0 j= 0,1,0 k= 0,0,1 Paralelos aos eixos x,y,z, respectivamente. Desta maneira, qualquer vetor v=v1,v2,v3, pode ser escrito como sendo combinação linear de i,j,k: v=v1,v2,v3 = v1,0,0+ 0,v2,0+ 0,0,v3 v=v1 1,0,0+v2 0,1,0+v3 0,0,1 v=v1i+v2j+v3k Figura 31 Pela definição e propriedades do produto vetorial, podemos facilmente encontrar: i = i= 0 j = j= 0 k = k= 0 i = j= k j = k= i k = i= j j = i= -k k = j= -i i = k= -j Com estas observações o produto de dois vetores v=v1i+v2j+v3k e w=w1i+w2j+w3k , fica: v=w = v1i+v2j+v3k=w1i+w2j+w3k v=w = det @v2 v3w2 w3A i - det @v1 v3w1 w3A j + det @v1 v2w1 w2A k v=w = det @v2 v3w2 w3A ,-det @v1 v3w1 w3A ,det @v1 v2w1 w2A Uma maneira simples de montar os determinantes que constituem as componentes do vetor resultante do produto vetorial, é montar a seguinte matriz: vetores da base componentes de v componentes de w B B B ! i j k v1 v2 v3 w1 w2 w3 " Note que a componente i do vetor resultante é dada pelo determinante da matriz dos cofatores de i. ! i j kv1 v2 v3 w1 w2 w3 " Da mesma forma a componente j do vetor resultante é dada pelo negativo do determinante da matriz dos cofatores de j. ! i j kv1 v2 v3 w1 w2 w3 " Completando, a componente componente k do vetor resultante é dada 22 Prof. José Carlos Morilla pelo determinante da matriz dos cofatores de k. ! i j kv1 v2 v3 w1 w2 w3 " Façamos o seguinte exemplo: Sejam dois vetores v e w, dados por: v=i+2j-2k e w=3i+k. Determinar o produto vetrorial v=w. Para resolver o problema, vamos montar a matriz com os vetores da base e as componentes dos vetores. vetores da base componentes de v componentes de w B B B ! i  j k 1 2 -2 3 0 1 " As componentes do vetor resultante são dadas por: det @2 -2 0 1 A i = 2 det @-2 1 1 3 A j = -7 det @1 2 3 0 A k = -6 Assim, o vetor resultante fica: v=w = 2i-7j-6k Com estas componentes, o módulo do vetor resultante fica: |v=w|=#22+ -72+ -62 |v=w|=C89 Vamos agora, determinar a área do triângulo P, Q, R, onde P = (3; 2; 0); Q = (0; 4; 3) e R = (1; 0; 2). Veja a figura 32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 j i k 5 4 3 2 1 R P Q Figura 32 Podemos definir, então, dois vetores v = RP= (3-1; 2-0; 0-2) = (2; 2; -2) w = RQ=(0-1; 4- 0; 3-2) = (-1; 4; 1) Lembrando que o produto vetorial é igual à área do paralelogramo cujos lados são v e w; a área do triângulo PQR é a metade da área do paralelogramo com lados determinados por v e w. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 j i k 5 4 3 2 1 R P Q Figura 33 Assim, para determinar o módulo |v=w|, faremos: vetores da base componentes de v componentes de w B B B ! i  j k 2 2 -2 -1 4 1 " As componentes do vetor resultante são dadas por: det @2 -2 4 1 A i = 10 det @-2 2 1 -1 A j = 0 25 Prof. José Carlos Morilla (v=w) ×u=0 (v=w) ×u= det v1 v2 v3w1 w2 w3 u1 u2 u3 = 0 Exemplo: Verificar se os pontos P=(0;1;1), Q=(1;0;2), R=(1;-2;0) e S=(-2;2;-2) são coplanares. Com estes pontos podemos construir os vetores: PQ= 1-0, 0-1, 2-1= 1,-1,1 PR= 1-0, -2-1, 0-1= 1,-3,-1 PS= -2-0, 2-1, -2-1= -2,1,-3 Para que os pontos sejam coplanares, é necessário que os vetores traçados, sejam coplanares, ou seja: (PQ = PR) × PS=0 (PQ=PR)×PS = det  1 -1 11 -3 -1 -2 1 -3 = 0 Com este resultado podemos afirmar que os três pontos estão no mesmo plano. Ainda é possível escrever as seguintes propriedades do produto misto: a. Quando Hv,w,uI=0, os vetores são linearmente dependentes. b. Hv,w,uI = Hw,u,vI = Hu,v,wI c. Hv,w,vI = Hw,v,vI = Hv,v,wI = 0 d. Hv,w,uI = - Hw,v,uI e. Hv1+v2,w,uI= Hv1,w,uI + Hv2,w,uI Todas estas propriedades resultam das propriedades dos determinantes. 2.5.2 Exercícios 63. Calcule o volume do paralelepípedo da figura 35, quando na base i,j,k as componentes dos vetores são: AB= 1, 0, 1, BE= 1,1,1 e AD= 0, 3, 3 Figura 35 64. Determine Hu,v,wI quando, em uma base ortonormal, u= -1, -3, 1, v= 1,0,1 e w= 2, 1, 1 65. Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores: u= 2, -2, 0, v= 0,1,0 e w= -2, -1, -1 66. Calcule o volume do tetraedro ABCD dados: AB= 1, 1, 0, AC= 0,1,1 e AD= -4, 0, 0 67. A medida do ângulo, em radianos, entre u e v é π 6 e w é ortogonal a u e a v. Sendo |u|=1, |v|=1 e |w|=4, determinar Hu,v,wI. 68. Ache a distância de um ponto D a um plano π, que passa pelos pontos, não alinhados, ABC quando se conhece AB, AC e AD. 26 Prof. José Carlos Morilla 2.6 Duplo produto vetorial. Chama-se de duplo produto vetorial dos vetores u; v e w, ao vetor (v=w) = u. Como o produto vetorial não é associativo, em geral, (v=w) = u ≠ v = (w=u) Como v=w é ortogonal a v e a w e (v=w) = u é ortogonal a u e a v, resulta que o vetor resultante (v=w) = u e os vetores v e w são paralelos a um mesmo plano, isto é, são linearmente dependentes. v w u vLw (vLw)Lu Plano de v, w e (v w) u Figura 36 2.6.1 Exercícios 69. Determine u=(v=w) e (u=v) = w quando u= 1,3/2,1/2, v= 6,-2,-4 e w= 1/7,2/7,3/7 70. Determine u=(w=v) e (u=w) = v quando u= 1,3,1, v= 6, 2,-4 e w= 7,‐2,‐3 71. Prove que u=(v=w) = (u$w)v - (v$w)u 72. Usando a relação do exercício anterior, determine os produtos (u=v) = w; (u=w) = v e (v=w)=u para u= 2,0,0, v= 1,1,1 e w=3,2,-1 27 Prof. José Carlos Morilla 3 GEOMETRIA ANALÍTICA 3.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas Um sistema de coordenadas cartesianas no espaço é um conjunto formado por um ponto 0 e por uma base e1, e2, e3. Indica-se o sistema por 0,e1, e2, e3 onde 0 é a origem do sistema e as retas orientadas que passam pela origem têm os sentidos dos vetores e1, e2, e3 e denominam-se, respectivamente: eixo das abscissas; eixo das ordenadas e eixo das cotas. Fixando-se um sistema de coordenadas 0,e1, e2, e3, denominam- se coordenadas de um ponto P em relação a esse sistema, as coordenadas do vetor 0P em relação à base e1, e2, e3. Na situação descrita, as coordenadas do vetor 0P são: 0P  xe1+ y e2+ z e3 Desta forma, x; y e z são as coordenadas do ponto P. Assim, a cada ponto P do espaço corresponde um único terno ordenado (x, y, z) de números reais que são denominados, respectivamente a abscissa a ordenada e a cota de P. Normalmente, os sistemas de coordenadas considerados são ortogonais em que a base é ortonormal. A base utilizada é aquela formada pelos vetores canônicos i, j, k (veja item 2.4.1) que formam o sistema 0,i, j, k. Figura 37 Algumas propriedades são fáceis de serem verificadas: a. Se P=x1,y1,z1 e Q=x2,y2,z2, então: P-Q=x1- x2,y1- y2,z1- z2 b. Se P=x1,y1,z1 e v= a,b,c, então: P+v= x+a,y+b,z+c 3.1.1 Exercícios 73. Para P=1,3,-3; Q=0,1,-4 e v=-1,4,0, determine em coordenadas: c. QP; d. P+v; e. Q+2QP 74. Determine as coordenadas do ponto médio M do segmento de extremidade P=-1,4,7 e Q= 0,1,1. 75. Mostre que em sistema ortonormal, os pontos A= 1,0,1, 30 Prof. José Carlos Morilla são dados um vetor que lhe é normal e um de seus pontos. Na figura 41, o plano indicado, pelos pontos P; Q; R e S, pode ser fornecido pelo vetor u e um dos pontos pertencentes a este plano. Note-se que, qualquer segmento de reta, pertencente a este plano, que una um de seus pontos ao ponto do vetor, (ponto este pertencente a este plano), é ortogonal a este vetor. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 j i k 3 2 1 R P Q u S Figura 41 Podemos lembrar, também, que o produto vetorial entre dois vetores fornece um terceiro vetor ortogonal aos dois primeiros. Podemos, dizer, então que este terceiro vetor é normal ao plano que contém os dois primeiros. Isto pode ser observado na figura 42. v w vLw - normal ao plano P Plano P de v, w Figura 42 A equação geral de um plano π que passa por um ponto P0 = (x0; y0; z0) e tem vetor normal N = (a; b; c) é: ax + by + cz + d = 0 onde d = -(ax0 + by0 + cz0) e x; y e z são coordenadas de um ponto P pertencente a este plano. Demonstração: Um ponto P, de coordenadas P = (x; y; z), pertence ao plano π se, e somente se, o vetor P0P for perpendicular ao vetor N (normal ao plano π), ou seja, se o produto escalar entre o vetor P0P e o vetor N for nulo. N $ P0P=0 Como, P0P= (x-x0; y-y0; z-z0), o produto escalar entre P0P e N pode ser reescrito como: (a; b; c)$ (x-x0; y-y0; z-z0)=0 a x-x0+ by-y0+ c z-z0=0 ou seja, ax + by + cz - (ax0 + by0 + cz0) = 0 o que fornece: d = - (ax0 + by0 + cz0) Como exemplo, vamos encontrar a equação do plano π que passa pelo ponto P0 = (1; -2; -2) e é perpendicular ao vetor N = (2; -1; 2) A equação do plano π é dada por: ax + by + cz + d = 0 onde a; b e c são as coordenadas do vetor normal N. Assim é possível escrever: 2x - y + 2z + d = 0 Para que P0, pertença ao plano π, é necessário que seja satisfeita a equação ax+by+cz+d=0 que, substituindo d por -(ax0 + by0 + cz0), temos: ax + by + cz + [-(ax0 + by0 + cz0)] = 0 31 Prof. José Carlos Morilla Sabendo-se que a; b e c são as coordenadas do vetor N e substituindo-as na equação, temos: 2x-y+2z + [-(2·1+ -1·-2 + 2·-2)] = 0 2x-y+2z + -2+2-4 = 0 2x - y + 2z = 0 que é a equação do plano π. Como foi dito no início deste capítulo, uma reta é conhecida a partir do conhecimento de dois de seus pontos. De forma análoga, um plano é determinado se forem conhecidos três de seus pontos que não são colineares. Assim, dados três pontos P1, P2 e P3, é possível construir os vetores P1P2 e P1P3. Com estes vetores é possível, por meio do produto vetorial, encontrar o vetor normal ao plano (N. Sejam, por exemplo, os pontos P1=(1/2,0,0); P2=(0,1/2,0) e P3=(0, -1/2,1/2). Com estes pontos construímos os vetores: P1P2= 0- 1 2 , 1 2 -0,0-0 P1P2= - 1 2 , 1 2 ,0 P1P3= 0- 1 2 ,- 1 2 -0, 1 2 -0 P1P3= - 1 2 ,- 1 2 , 1 2  O vetor N obtido pelo produto vetorial entre P1P2 e P1P3 é: N = P1P2 = P1P3 N = - 1 2 , 1 2 ,0 = - 1 2 ,- 1 2 , 1 2  vetores da base componentes de P1P2 componentes de P1P3 → → → ! i j k-1/2 1/2 0 -1/2 -1/2 1/2 " As componentes do vetor N resultante são dadas por: det @ 1/2 0 -1/2 1/2 A i = 1/4 det @ 0 -1/2 1/2 -1/2 A j = 1/4 det @-1/2 1/2 -1/2 -1/2 A k = 1/2 Sabendo-se que o vetor N é normal ao plano que contem os vetores P1P2 e P1P3, a equação do plano é dada por: ax + by + cz + d = 0 onde a = ¼; b = ¼ e c = ½. Assim, a equação do plano fica: ¼x + ¼y + ½z + d = 0 Para determinar o coeficiente d, vamos usar o fato de que P1=(1/2,0,0) pertence ao plano π se suas coordenadas satisfazem a equação de π; isto é: ax + by + cz + [-(ax1 + by1 + cz1)] = 0 ¼x + ¼y + ½z + [-(¼ N½ + ¼N0 + ½N0)] = 0 ¼x + ¼y + ½z -1/8 = 0 que multiplicando por 8, fornece a equação do plano π: 2x + 2y + 4z -1 = 0 Outra maneira de encontrar a equação do plano π é lembrar que o produto misto de três vetores que estão no mesmo plano é igual a zero. Desta forma, considerando um ponto P de coordenadas (x, y, z) pertencente ao mesmo plano dos vetores P1P2 e P1P3, 32 Prof. José Carlos Morilla podemos definir um terceiro vetor P1P, cujas coordenadas são: P1P= x- 1 2 , y-0,z-0 P1P= x- 1 2 , y,z O produto misto entre P1P,P1P2 e P1P3, é dado por: (P1P=P1P2) ×P1P3 = det x-1/2 y z-1/2 1/2 0 -1/2 -1/2 1/2 = 0 ¼x + ¼y + ½z -1/8 = 0 que multiplicando por 8, fornece a equação do plano π: 2x + 2y + 4z -1 = 0 3.2.2.1 Equações Paramétricas do Plano Da mesma forma que foi feito com a reta, além da equação geral do plano podemos também caracterizar os pontos de um plano da seguinte forma: Considere um plano π, um ponto P0 = (x0; y0; z0) pertencente a π e dois vetores v = (v1; v2; v3) e w = (w1;w2;w3), não colineares, paralelos a π. Um ponto P = (x; y; z) pertencerá ao plano π se, e somente se, o vetor P0P= (x-x0; y-y0; z-z0) for uma combinação linear de v e w, ou seja, se existem escalares t e s tais que: P0P= tv + sw. Escrevendo em termos de componentes esta expressão pode ser escrita como: (x-x0;y-y0;z-z0)=t·(v1;v2;v3)+ s·(w1;w2;w3) (x-x0;y-y0;z-z0)=t·v1+s·w1+t·v2+s·w2+t·v3+s·w3 Lx=x0+tNv1+sNw1y=y0+tNv2+sNw2 z=z0+tNv3+sNw3  estas equações são chamadas de equações paramétricas do plano π. De uma forma geral, a construção das equações paramétricas é feita da seguinte maneira: Lx=x0+tNv1+sNw1y=y0+tNv2+sNw2 z=z0+tNv3+sNw3  Para melhor entender o que foi colocado, vamos fazer o seguinte exemplo: Vamos obter as equações paramétricas de um plano usando o fato de que ele passa pelo ponto P1 = ( 1 2;⁄ 0;0) e é paralelo aos vetores P1P2= ( - 1 2⁄ ; 1 2⁄ ;0) e P1P3= ( - 1 2⁄ ; -1 2⁄ ; 1 2⁄ ). Assim: Qx=1/2 - 1/2 N t - 1/2 N sy = 0 + 1/2 N t - 1/2 N s z = 0  0 N t  1/2 N s  Qx = 1/2 - 1/2 N t - 1/2 N sy = 1/2 N t - 1/2 N s z = 1/2 N s  Como outro exemplo, vamos esboçar o plano π que tem por equações paramétricas: Qx = t y = s z = 1  As equações paramétricas foram determinadas a partir de: Qx = 0 + 1 N t + 0 N sy = 0 + 0 N t + 1 N s z = 1 + 0 N t + 0 N s  Coordenadas de um ponto Coordenadas do vetor v Coordenadas do vetor w 35 Prof. José Carlos Morilla caso afirmativo, determine a interseção. (Sugestão: a questão é se as trajetórias se cortam e não se partículas se chocam, ou seja, elas não precisam estar num mesmo ponto num mesmo instante). 99. Dados os planos π1: x - y + z + 1=0 e π2 : x + y - z - 1 = 0, determine a reta que é obtida na interseção entre os planos. 100. Determine, para o exemplo anterior, o plano que contém π1∩ π2 e é ortogonal ao vetor (-1; 1;-1). 101. Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta? a. x + 2y - 3z - 4 = 0 e x - 4y + 2z + 1 = 0; b. 2x - y + 4z + 3 = 0 e 4x - 2y + 8z = 0; c. x - y = 0 e x + z = 0. 102. Encontre as equações da reta que passa pelo ponto Q = (1; 2; 1) e é perpendicular ao plano x - y + 2z - 1 = 0 103. Determinar as equações da reta que intercepta as retas r1 e r2 e é perpendicular a ambas r1: Qx=‐1+2ty=t z=0  r2=x-2= y-4 2 e z=3 104. Determinar as equações da reta que intercepta as retas r1 e r2 e é perpendicular a ambas r1: Q x=1+ty=2+3t z=4t  r2=x+1= y-1 2 = z+2 3 3.3 Posição relativa de retas e planos 3.3.1 Posição relativa entre duas retas. Neste parágrafo iremos determinar a posição relativa entre duas retas, isto é, determinar se elas são paralelas, concorrentes ou reversas. Para isto; dadas duas retas r e s, vamos designar dois vetores r= a, b, c e s= m, n, p pertencentes às retas r e s, respectivamente. Vamos fixar, também, um ponto A=x1,y1,z1 qualquer, que pertence r, e um ponto B=x2,y2,z2 qualquer pertencente a s. Podemos observar, então, que: a. As retas r e s são reversas se r, s e AB são linearmente independentes. (LI), ou seja: det! a b cm n p x2-x1 y2-y1 z2-z1 " ≠ 0 A figura 44 mostra duas retas reversas. Figura 44 36 Prof. José Carlos Morilla b. As retas r e s são paralelas se e somente se existe λV R, tal que r= λs A figura 45 mostra duas retas paralelas. Figura 45 c. As retas r e s são concorrentes se e somente se r e s são coplanares e não paralelas, ou seja: det! a b cm n p x2-x1 y2-y1 z2-z1 " = 0 A figura 46 mostra duas retas concorrentes. Figura 46 A partir destas considerações podemos estabelecer o seguinte roteiro para determinar a posição relativa entre duas retas: • Escolher um vetor r paralelo a r e um vetor s paralelo a s. • Verificar se estes vetores são LI ou LD. • Se forem LI, escolher um ponto A pertencente a r e um ponto B pertencente a s e verificar se o determinante r, s e AB é nulo. o Se o determinante não for nulo, então as retas são reversas. o Se o determinante for nulo, então as retas são concorrentes. • Se r e s forem LD, então elas são paralelas. Para verificar se r e s são coincidentes, basta tomar um ponto P qualquer pertence a r e verificar se ele pertence a s. o Caso positivo  r = s. o Caso negativo  r e s são paralelas distintas. 3.3.2 Exercícios 105. Estude a posição relativa das retas r e s. r: X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s: X = (0, 1, 0) + φ(1, 1, 1) 106. Estude a posição relativa das retas r e s. r: X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s: X = (1, 3, 6) + µ(0, 2, 6) 37 Prof. José Carlos Morilla 107. Determine a posição relativa das retas r e s. r: X = (1, 1, 1) + λ(2, 2, 1) s: X = (0, 0, 0) + t(1, 1, 0) 108. Sejam r1: X = (1; 0; 2) + (2λ; λ; 3λ) e r2: X = (0; 1;-1) + (t; mt; 2mt) duas retas. Determinar: d. O valor de m para que as retas sejam coplanares (não sejam reversas). e. Para o valor de m encontrado, determine a posição relativa entre r1 e r2. 109. Estude a posição relativa das retas r e s. r: X = (1, -1, 1) + λ(-2, 1, -1) s: y+z=3 x+y-z=6  110. Estude a posição relativa das retas r e s. r:Ex-y-z=2 x+y-z=0  s: y+z=3 x+y-z=6  111. Determine α e β para que as retas r e s sejam coplanares. r: X = (1, α, 0) + λ(1, 2, 1) s:E x=z-2 y=βz-1  3.4 Posição relativa entre uma reta e um plano. O problema a ser resolvido é determinar se uma reta r está contida; é paralela ou se é concorrente a um plano π(intercepta o plano em um único ponto). Para resolver o problema devemos estudar a intersecção entre a reta e o plano. Sejam a reta r: (x; y; z) = OP = OPX+λv e o plano π: ax + by + cz + d = 0. Se o vetor v, diretor da reta r, e o vetor normal do plano π, NY = (a; b; c), são ortogonais (v $ NY = 0), então a reta e o plano são paralelos ou, a reta está contida no plano. A figura 47 mostra uma reta paralela a um plano. Figura 47 – Reta paralela ao plano Se além dos vetores v e N serem ortogonais, um ponto qualquer da reta pertence ao plano, por exemplo, se P0 pertence a π (P0 satisfaz a equação de π), então a reta está contida no plano. Figura 48 – reta pertencente ao plano Se o vetor diretor da reta r, v, e o vetor normal do plano π, N= (a; b; c), não são ortogonais (v · N ≠ 0) então a reta é concorrente ao plano. 40 Prof. José Carlos Morilla 114. Determine o valor de m e n para que a reta r: X = (n, 2, 0) + λ(2, m, m) esteja contida no plano π: x – 3y + z = 1. 115. Dados o plano π e a reta r e sabendo que a reta é concorrente ao plano, determinar a posição em que r encontra o plano π. r: X = (1, 1, 1) + α(3, 2, 1) π: X = (1, 1, 3) + λ(1, -1, 1) + µ(0, 1, 3) 116. Determine o ponto de interseção entre a reta r e o plano π. r: X = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1) π: x – y – z = 2 3.4.2 Posição relativa entre planos. O problema que é colocado neste ponto é: conhecidos dois planos π1 e π2, verificar se eles são paralelos distintos; se eles são coincidentes; os se eles são concorrentes. Sejam, então, os planos π1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e π2: a1x + b2y + c2z + d2 =0. Quando os vetores normais N1 e N2 dos planos π1 e π2, respectivamente, não são paralelos, então os planos são concorrentes. A figura 50 mostra dois planos concorrentes. Note que quando os planos são concorrentes, a interseção entre eles é uma linha reta. Figura 50 Quando os vetores normais N1 e N2 dos planos π1 e π2, respectivamente, são paralelos, isto é N2 =αN1, então os planos são paralelos ou coincidentes. A figura 51 mostra dois planos paralelos. Figura 51 Os planos serão coincidentes se, e somente se, todo ponto que satisfaz a equação de π1, satisfaz também a equação de π2. Assim: a2x+b2y+c2z+d2 = α a1x+ α b1y+ α c1z+d2 = α (a1x+b1y+c1z)+d2 = α (-d1)+d2 = 0. Portanto, d2 = αd1 as equações de π1 e π2 são proporcionais. 41 Prof. José Carlos Morilla Reciprocamente, se as equações de π1 e π2 são proporcionas, então claramente os dois planos são coincidentes. Portanto, dois planos são coincidentes se, e somente se, além dos vetores normais serem paralelos, as suas equações são proporcionais. Tomemos como exemplo os seguintes planos: π1: X = (1, 0, 1) + λ(1, 1, 1) + µ(0, 1, 0) π2: X = (0, 0, 0) + α(1, 0, 1) + β(-1, 0, 3) Vamos estudar a posição relativa entre eles. Vamos, inicialmente, determinar a equação geral de cada plano que são: π1: x – z = 0 π2: y = 0 Ou seja: π1: 1x + 0y +(–1) z = 0 π2: 0x + 1y + 0z = 0 Como (1, 0, -1) não é proporcional a (0, 1, 0), temos que os planos são concorrentes e se interceptam em uma reta. Se quisermos encontrar as equações paramétricas para esta reta, basta fazer: r:x-z=0 y=0  e fazendo z =λ, temos: r:Qx=λy=0 z=λ Vamos fazer outro exemplo, estudando a posição relativa entre os planos: π1: 2x - y + z – 1 = 0 π2: x - 1 2 y + 1 2 z – 9 = 0 Notemos que cada coeficiente na equação de π1 é o dobro de seu correspondente na equação de π2, exceto seu termo independente. Logo os planos π1 e π2 são paralelos e distintos. Caso o termo independente, também, mantivesse a relação dos coeficientes, então os planos seriam coincidentes. 3.4.3 Exercícios 117. Estude a posição relativa entre os planos π1 e π2. π1: X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1) + µ(-1, 2, 1) π2: X = (1, 0, 0) + λ(1, -1, 0) + µ(-1, -1, -2) 118. Estude a posição relativa entre os planos π1 e π2. π1: 2x – y + 2z -1 = 0 π2: 4x – 2y +4z = 0 119. Estude a posição relativa entre os planos π1 e π2. π1: x – y + 2z – 2 = 0 π2: X = (0, 0, 1) + λ(1, 0, 3) + µ(-1, 1, 1) 120. Determine o valor de m para que os planos π1 e π2 sejam paralelos e distintos quando n = -5 e quando n = 1. π1: X = (1, 1, 0) + λ(m, 1, 1) + µ(1, 1, m) π2: 2x + 3y + 2z + n = 0 42 Prof. José Carlos Morilla 121. Determine a posição relativa entre os planos π1, π2 e π3 dados pelas equações: π1: 2x + y + z = 1 π2: x + 3y + z = 2 π3: x + y + 4z = 3 122. Determine a posição relativa entre os planos π1, π2 e π3 dados pelas equações: π1: x - 2y + z = 0 π2: 2x - 4y + 2z = 1 π3: x + y = 0 123. Determine a posição relativa entre os planos π1, π2 e π3 dados pelas equações: π1: 2x - y + z = 3 π2: 3x - 2y - z = -1 π3: 2x - y + 3z = 7
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