Baixe Apostila de Concreto Armado I e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! ESCOLA DE ENGENHARIAR DA UFMG DEPARTAMENTODEENGENHARIA DE ESTRUTURAS – DEEs CONCRETO ARMADO I Prof. Ney Amorim Silva Março de 2005 Para todo professor de concreto é uma tarefa gratificante escrever sobre o assunto de sua aula, principalmente nesse momento de mudança de norma em que existe uma carência natural de livros e apostilas contemplando as mudanças da nova NB 1, NBR-6118 de Março de 2003. Essa é a terceira edição da apostila destinada aos alunos do curso de graduação em Engenharia Civil, disciplina Concreto Armado I. Peço a gentileza que me informem todos os erros encontrados para serem consertados edições posteriores. Os capítulos de flexão simples e fissuração seguem as mesmas formulações das apostilas do Professor José de Miranda Tepedino, de saudosa memória, adaptadas para as mudanças inseridas pela nova norma. No caso da flexão simples essa adaptação foi feita pelo Pof Sebastião Salvador Real Pereira e já utilizada pelos alunos desde o segundo semestre de 2003. Nesses capítulos os trechos entre “aspas”, quando não referenciados de forma diferente, são transcrições das suas apostilas originais. Para o curso completo de Concreto Armado I, essa apostila deve ser complementada com a apostila de Domínios de Deformação, do Professor. José Celso da Cunha, além naturalmente das notas de aula. Gostaria de agradecer a todos os professores de concreto do DEEs, que me ajudaram na troca de idéias e nas correções, e com certeza continuarão a contribuir nas próximas edições desta apostila. Março de 2005 1878 - Monier consegue novas patentes fundamentais que dão origem a introdução do concreto armado em outros países. 1884 – Duas firmas alemãs FREYTAG & HEISDCHUCH e MARSTENSTEIN & JOSSEAUX , compram de Monier os direitos de patente para o sul da Alemanha e reservam- se o direito de revenda para toda a Alemanha. 1886 – As duas firmas alemãs cedem o direito de revenda ao engenheiro G. A WAISS, que funda em Berlim uma empresa para construções de concreto segundo o “Sistema Monier”. Realiza ensaios em “Construções Monier” e mostra através de provas de carga as vantagens econômicas de colocação de barras de aço no concreto, publicando estes resultados em 1887. Nesta mesma publicação o construtor oficial Mathias KOENEN, enviado aos ensaios pelo governo Prussiano, desenvolve baseado nos ensaios, um método de dimensionamento empírico para alguns tipos de “Construções Monier”, mostrando que conhecia claramente o efeito estrutural das armaduras de aço. Deste modo passa a existir uma base tecnicamente correta para o cálculo das armaduras de aço. 1888 – O alemão DOHRING consegue uma patente segunda a qual lajes e vigas de pequeno porte tem sua resistência aumentada através da protensão da armadura, constituída de fios de aço. Surge assim provavelmente pela primeira vez a idéia da protensão deliberada. 1900 – A construção de concreto armado ainda se caracterizava pela coexistência de sistemas distintos, geralmente patenteados. O alemão E. MORSH desenvolve a teoria iniciada por Koenen e a sustenta através de inúmeros ensaios realizados sobre a incumbência da firma WAISS & FREITAG, a qual pertencia. Os conceitos desenvolvidos por Morsh e publicados em 1902 constituem ao longo do tempo e em quase todo o mundo os fundamentos da teoria de dimensionamento de peças de concreto armado. 1906 – O alemão LABES concluiu que a segurança contra abertura de fissuras conduzia a peças antieconômicas. Koenen propôs em 1907 o uso de armaduras previamente distendidas. Foram realizados ensaios em vigas protendidas relatadas por BACH em 1910. Os ensaios mostraram que os efeitos danosos da fissuração eram eliminados com a protensão. Entretanto Koenen e Morsh reconheceram já em 1912 uma perda razoável de protensão devido à retração e deformação lenta do concreto. 2 1928 - O francês FREYSSINET já havia usado a protensão em 1924. Entretanto só em 1928 é o primeiro engenheiro projetista a reconhecer a importância bem maior da protensão na construção civil. Estuda as perdas devido a retração e deformação lenta do concreto e registra várias patentes sobre o sistema Freyssinet de protensão. É considerado o pai do concreto protendido. I.2 – Viabilidade do concreto armado As três propriedades abaixo em conjunto é que viabilizam o material concreto armado: • Aderência aço-concreto – esta talvez seja a mais importante das propriedades uma vez que é a responsável pela transferência das tensões de tração não absorvidas pelo concreto para as barras da armadura, garantindo assim o perfeito funcionamento conjunto dos dois materiais. • Coeficiente de dilatação térmica do aço e do concreto são praticamente iguais – esta propriedade garante que para variações normais de temperatura, excetuada a situação extrema de incêndio, não haverá acréscimo de tensão capaz de comprometer a perfeita aderência aço-concreto. • Proteção da armadura contra a corrosão – Esta proteção que está intimamente relacionada com a durabilidade do concreto armado acontece de duas formas distintas: a proteção física e a proteção química. A primeira é garantida quando se atende os requisitos de cobrimento mínimo preconizado pela NBR 6118(2003) que protege de forma direta as armaduras das intempéries. A proteção química ocorre devido a presença da cal no processo químico de produção do concreto, que envolve a barra de aço dentro do concreto, criando uma camada passivadora cujo ph se situa acima de 13, criando condições inibidoras da corrosão. Quando a frente de carbonatação, que acontece devido a presença de gás carbônico (CO2) do ar e porosidade do concreto, atinge as barras da armação essa camada é despassivada pela reação química do (CO2) com a cal, produzindo ácidos que abaixam o ph desta camada para níveis iguais ou inferiores a 11,5 , criando condições favoráveis para o processo eletro-químico da corrosão se iniciar. A corrosão pode acontecer independentemente da carbonatação, na presença de cloretos (íons cloro Cl-), ou sulfatos (S--). 3 I.3 – Vantagens do concreto armado • Economia – é a vantagem que juntamente com a segunda a seguir, transformaram o concreto em um século e meio no material para construção mais usado no mundo. • Adaptação a qualquer tipo de forma ou fôrma e facilidade de execução – a produção do concreto não requer mão de obra especializada e com relativa facilidade se consegue qualquer tipo de forma propiciada por uma fôrma de madeira. • Estrutura monolítica – (monos – única, litos – pedra) esta propriedade garante à estrutura de concreto armado uma grande reserva de segurança devido ao alto grau de hiperestaticidade propiciado pelas ligações bastante rígidas das peças de concreto. Além disso quando a peça está submetida a um esforço maior que a sua capacidade elástica resistente, a mesma ao plastificar, promove uma redistribuição de esforços, transferindo às peças adjacentes a responsabilidade de absorver os mesmos. • Manutenção e conservação praticamente nulas – a idéia que a estrutura de concreto armado é eterna não é mais aceita no meio técnico, uma nova mentalidade associa à qualidade de execução do concreto, em todas as suas etapas, um programa preventivo de manutenção e conservação. Naturalmente quando comparado com outros materiais de construção esta manutenção e conservação acontecem em uma escala bem menor, sem prejuízo no entanto da vida útil das obras de concreto armado. • Resistência a efeitos térmicos-atmosféricos e a desgaste mecânicos. I.4 – Desvantagens do concreto armado • Peso próprio – a maior desvantagem do concreto armado é seguramente o seu grande peso próprio que limita a sua utilização para grandes vãos, onde o concreto protendido ou mesmo a estrutura metálica passam a ser econômica e tecnicamente mais viáveis. A sua massa específica é dada pela NBR 6118(2003) como 2500 Kg/m3; • Dificuldade de reformas e demolições (hoje amenizada com tecnologias avançadas e equipamentos modernos que facilitam as reformas e demolições); • Baixo grau de proteção térmica – embora resista normalmente à ação do fogo a estrutura de concreto necessita de dispositivos complementares como telhados e isolamentos térmicos para proporcionar um conforto térmico adequado a construção. 4 Frequência Do lote de CPs ensaiados a resistência a ser utilizada nos cálculos é baseada em considerações probabilísticas, considerando-se em âmbito mundial: a resistência característica (fck) do lote de concreto ensaiado aquela abaixo da qual só corresponde um total de 5% dos resultados obtidos (ou seja um valor com 95% de probabilidade de ocorrência)(ver fig. 1.2). 5% 95% fck Frequência Figura 1.2 – Resistência característica do concreto à compressão s s Freq,max Resist. média fcj Resistência do concreto fc Figura 1.1 – Curva normal de distribuição de freqüências (Curva de Gauss) 7 Para um quantil de 5% obtem-se a partir da curva de Gauss: fck = fcj – 1,65 s (1.3) A partir de resultados de ensaios feitos em um grande número de obras e em todo o mundo percebe-se que o desvio-padrão “s” é principalmente dependente da qualidade de execução e não da resistência do concreto. A NBR-12655(1996) que trata do preparo, controle e recebimento do concreto, define baseada na sua expressão (2.3) que o cálculo da resistência de dosagem deve ser feito segundo a equação: fcj = fck + 1,65 sd (1.4) onde sd representa o desvio-padrão de dosagem. De acordo com a NBR-12655(1996) o cálculo da resistência de dosagem do concreto depende, entre outras variáveis, da condição de preparo do concreto, definida a seguir: • Condição A (aplicável às classes C10 até C80): o cimento e o os agregados são medidos em massa, a água de amassamento é medida em massa ou volume com dispositivo dosador e corrigida em função da umidade dos agregados; • Condição B • Aplicável às classes C10 até C25 - o cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em massa combinada com volume, de acordo com o exposto em 6.2.3; • Aplicável às classes C10 até C20 - o cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em volume. A umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos três vezes durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de agregado é corrigido através da curva de inchamento estabelecida especificamente para o material utilizado; • Condição C (aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento é medido em massa, os agregados são medidos em volume, a água de amassamento é medida em 8 Ainda de acordo com a NBR-12655(1996), no início da obra ou em qualquer outra circunstância em que não se conheça o valor do desvio-padrão sd, deve-se adotar para o cálculo da resistência de dosagem os valores apresentados na tabela 1.1, de acordo com a condição de preparo, que deve ser mantida permanentemente durante a construção. Mesmo quando o desvio-padrão seja conhecido, em nenhum caso o mesmo pode ser adotado menor que 2,0 MPa. Tabela 1.1 – Desvio- padrão a ser adotado em função da condição de preparo do concreto Condição Desvio-padrão MPa A 4,0 B 5,5 C1) 7,0 1) Para condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, exige-se para os concretos de classe C15 um consumo mínimo de 350 Kg de cimento por metro cúbico. Módulo de elasticidade longitudinal O módulo de elasticidade longitudinal para um ponto qualquer do diagrama σxε (tensão x deformação) é obtido pela derivada dσ/dε no ponto considerado, que representa a inclinação da tangente à curva no ponto..De todos os módulos tangentes possíveis o seu valor na origem tem grande interesse, uma vez que as tensões de serviço na estrutura não devem superar a 40% da tensão de ruptura do concreto, e neste trecho inicial o diagrama σxε é praticamente linear. De acordo com o item 8.2.8 da NBR-6118(2003) o módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial é dado por: Eci = 5600 (fck)1/2 (1.5) 9 Resistência à tração Conforme o item 8.2.5 da NBR-6118(2003) a resistência a tração direta do concreto (fct) é dado por: fct = 0,9 fct,st (1.10) ou fct = 0,7 fct,f (1.11) onde fct,st é a resistência a tração indireta e fct,f é a resistência a tração na flexão. Na falta desses valores pode-se obter a resistência média a tração dada por: fct,m = 0,3 (fck)2/3 (MPa) (1.12) Os valores inferior e superior para a resistência característica a tração (fctk) são dados por: fctk,inf = 0,7 fct,m (1.13a) fctk,sup = 1,3 fct,m (1.13b) I.5.2 – Características reológicas do concreto Segundo o dicionário Aurélio reologia é “parte da física que investiga as propriedades e o comportamento mecânico dos corpos deformáveis que não são nem sólidos nem líquidos”. Retração (shrinkage) A retração no concreto é uma deformação independente do carregamento (e, portanto, de direção, sendo, pois, uma deformação volumétrica) que ocorre devido à perda de parte da água dissociada quimicamente do processo de produção do concreto, quando este “seca” em contato com o ar. A deformação específica de retração do concreto εcs pode ser calculada conforme indica o anexo A da NBR 6118(2003). Na grande maioria dos casos, permite-se que ela seja calculada simplificadamente através da tabela 1.2. Esta tabela fornece o valor característico superior da 12 deformação específica de retração entre os instantes to e t∞, εcs(t∞, to), em função da umidade relativa do ar e da espessura equivalente ou fictícia em , dada por: em = (2 Ac) /u (1.14) onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a atmosfera. Os valores dessa tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10 oC e 20 oC, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0 oC e 40 oC. Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum. Nos casos correntes das obras de concreto armado, em função da restrição à retração do concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mínimo especificado na NBR-6118(2003), o valor de εcs(t∞, to) pode ser adotado igual a –15x10-5. Esse valor admite elementos estruturais de dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm sujeitos a umidade ambiente não inferior a 75%. O valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo. Fluência (creep) A fluência é uma deformação que depende do carregamento e é caracterizada pelo aumento da deformação imediata ou inicial, mesmo quando se mantém constante a tensão aplicada. Devido a esta deformação imediata ocorrerá uma redução de volume da peça, provocando este fato uma expulsão de água quimicamente inerte, de camadas mais internas para regiões superficiais da peça, onde a mesma já tenha se evaporado. Isto desencadeia um processo, ao longo do tempo, análogo ao da retração, verificando-se desta forma um crescimento da deformação inicial, até um valor máximo no tempo infinito, mesmo sob tensão constante. Da mesma forma que na retração, as deformações decorrentes da fluência do concreto podem ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR-6118(2003). Nos casos em que a tensão σc(to) não varia significativamente, permite-se que essas deformações sejam calculadas simplificadamente pela expressão: 13 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += ∞∞ (28)E )t(t )(tE 1)(tσ)tε(t ci 0, 0ci 0c0, ϕ (1.15) onde: - εc(t∞, to) é a deformação específica total do concreto entre os instantes to e t∞; - σc(to) é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em to; - ϕ(t∞, to) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento aplicado em to. O valor de ϕ(t∞, to) pode ser calculado por interpolação da tabela 1.2. Esta tabela fornece o valor característico superior do coeficiente de fluência ϕ(t∞, to). O seu valor característico inferior é considerado nulo. Tabela 1.2 - Valores característicos superiores da deformação especifica de retração εcs(t∞,to) e do coeficiente de fluência ϕ(t∞,to) Umidade Ambiente % 40 55 75 90 Espessura fictícia 2 Ac/u (cm) 20 60 20 60 20 60 20 60 ϕ(t∞, to) to dias 5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 εcs(t∞, to) %o 5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09 I.6 – Aço de armadura passiva Armadura passiva é a armadura usada nas peças de concreto armado. 14 Fig. 1.5 – Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas Es σs εsεyd 10‰ I.7 – Definições da NBR 6118(2003) Concreto estrutural – termo que se refere ao espectro completo das aplicações do concreto como material estrutural Elementos de concreto simples estrutural – elementos estruturais produzidos com concreto sem nenhuma armadura, ou quando a possui é em quantidades inferiores aos mínimos estabelecidos nesta norma. Elementos de concreto armado – elementos estruturais produzidos com concreto cujo comportamento estrutural depende da perfeita aderência aço-concreto e onde não se aplicam deformações iniciais nas armaduras. Elementos de concreto protendido – elementos estruturais produzidos com concreto onde parte da armadura é previamente alongada por equipamentos especiais de protensão com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU( estado limite último). 17 Armadura passiva – qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de protensão, ou seja, armadura utilizada no concreto armado. Armadura ativa (de protensão) – armadura constituída por barras, fios isolados ou cordoalhas, destinada a produzir forças de protensão, isto é, armaduras com pré-alongamento inicial. Estados limites • Estado limite último (ELU) – estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. 1. estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido; 2. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais; 3. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem; 4. estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; 5. estado limite último de colapso progressivo; 6. outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos especiais. • Estados limites de serviço (ELS) 1. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F) – estado que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão máxima de tração na seção transversal for igual a fct,f , já definida anteriormente como a resistência característica à tração do concreto na flexão. 2. Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) – estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos m´ximos estabelecidos nesta norma. 3. Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) – estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para utilização normal especificados nesta norma. 4. Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE) – estado em que as vibrações atingem os limites estabelecidos para utilização normal da construção. 18 I.8 – Ações Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviços. As ações são classificadas conforme a NBR-8681(2003) em permanente, variáveis e excepcionais. I.8.1 – Ações permanentes Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da construção. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança. I.8.1.1 – Ações permanentes diretas As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio e pelos pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes. • Peso próprio • Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes NBR 6120(1980) • Empuxos permanentes I.8.1.2 – Ações permanentes indiretas As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão. • Retração do concreto • Fluência do concreto • Deslocamentos de apoio • Imperfeições geométricas 1. Imperfeições globais 2. Imperfeições locais • Momento mínimo • Protensão 19 • γf1 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf , que considera a variabilidade das ações • γf2 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf , que considera a simultaneidade de atuação das ações • γf3 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf , que considera os desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações I.8.5.1 – Coeficientes de ponderação das ações no ELU Os valores-base são os apresentados na tabela 1.4 para γf1 . γf3 e na tabela 1.5 para γf2 . Tabela 1.4 – Valores de γf1 . γf3 Combinações de ações Ações Permanentes (g) Variáveis (q) Protensão (p) Recalques de apoio e retração D1) F G T D F D F Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 Especiais ou de construção 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 Onde: D é desfavorável, F é favorável, G é geral e T é temporária. 1) Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3. I.8.5.2 – Coeficientes de ponderação no ELS Em geral , o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado pela expressão: γf = γf2 (1.17) onde γf2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tab. 1.5) • γf2 = 1 para combinações raras • γf2 = ψ1 para combinações freqüentes 22 • γf2 = ψ2 para combinações quase permanentes. I.8.6 – Combinações de ações Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período preestabelecido. Tabela 1.5 – Valores do coeficiente γf2 Ações γf2 ψ0 ψ11) ψ2 Cargas acidentais de edifícios Locais em que não há predominância de peso de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas 2) 0,5 0,4 0,3 Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de pessoas 3) 0,7 0,6 0,4 Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0 Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3 1) Para os valores ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 23. 2) Edifícios residenciais 3) Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos 23 I.8.6.1 – Combinações últimas 1. Combinações últimas normais – Em cada combinação devem estar incluídas as ações permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR-8681(2003). 2. Combinações últimas especiais ou de construção – Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável especial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR- 8681(2003) 3. Combinações últimas excepcionais - Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, com seus valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR- 8681(2003). Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo, incêndio e colapso progressivo. 4. Combinações últimas usuais – para facilitar a visualização, essas combinações estão listadas na tabela 11.3 da NBR-6118(2003) I.8.6.2 – Combinações de serviço São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura como: 1. Quase permanente – podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF); 2. Freqüentes – se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para verificações de ELS-DEF decorrentes de vento ou temperatura que possam comprometer as vedações; 3. Raras – ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras. 24 Tabela 1.6 – Valores dos coeficientes γc e γs Combinações Concreto γc Aço γs Normais 1.4 1.15 Especiais ou de construção 1.2 1.15 Excepcionais 1.2 1 Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite de serviço (ELS) Os limites estabelecidos para os estados limites de serviço não necessitam de minoração, portanto γm= 1. I.9 – Referências Bibliográficas ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003) – NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1980) – NBR 6120 – Cargas para cálculo de estruturas de edificações – Procedimento ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1987) – NBR 6123 – Forças devidas ao vento em edificações – Procedimento ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996) – NBR 7480 – Barras e fios de aço destinados a armadura para concreto armado – Especificação 27 28 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003) – NBR 8681 – Ações e segurança nas estruturas – Procedimento ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996) – NBR 12655 – Concreto – Preparo, controle e recebimento – Procedimento RUSCH, H. (1981) – Concreto armado e protendido, propriedades dos materiais e dimensionamento – Editora Campus, Rio de Janeiro Capítulo 2 - FLEXÃO NORMAL SIMPLES 2.1 - Introdução Dentre os esforços solicitantes o momento fletor M é em condições normais o esforço preponderante no dimensionamento de peças estruturais como lajes e vigas. Quando o momento fletor atua segundo um plano que contenha um dos eixos principais da seção transversal, a flexão é dita normal . Se simultaneamente atua uma força normal N ela é dita normal composta e na ausência desta, flexão normal simples. Normalmente o momento fletor atua em conjunto com a força cortante V, podendo no entanto em situações especiais, ser o único esforço solicitante. Nesse caso tem-se a flexão pura, situação ilustrada na figura 2.2, no trecho entre as cargas simétricas P, quando se despreza o peso próprio da viga. Segundo o o item 16.1 da NBR 6118 (2003), o objetivo do dimensionamento, da verificação e do detalhamento é garantir segurança em relação aos estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS) da estrutura como um todo ou de cada uma de suas partes. Essa segurança exige que sejam respeitadas condições analíticas do tipo: Sd ≤ Rd MS,d ≤ MR,d (2.1) Onde Sd é a solicitação externa de cálculo e Rd é a resistência interna de cálculo. Na figura 2.1, designou-se por Rcc a resultante de compressão no concreto e por Rst a resultante de tração na armadura (aço = steel), na seção em que atua o momento solicitante de cálculo Md. Como é flexão simples, Nd = 0, tem-se que o momento interno resistente é equivalente a ação do binário: Rcc . z = Rst . z = Md (2.2) Quanto ao comportamento resistente à flexão pura, sabe-se que sendo o concreto um material menos resistente à tração do que à compressão, tão logo a barra seja submetida a um momento Md Rcc z Rst Nd=0 Seção Transversal Figura 2.1 – Esforços externos e internos na seção transversal 29 Alongamento Encurtamento 2.2 - Seção subarmada, normalmente armada e superarmada No caso particular de flexão simples, dos domínios existentes ficam eliminados os de número 1 (seção totalmente tracionada), 4a e 5 (seção totalmente comprimida), restando pois os domínios possíveis 2,3 e 4. Os domínios 2 e 3 correspondem ao que se denomina seção sub-armada (a armadura escoa antes da ruptura do concreto à compressão: εsd ≥ εyd). O domínio 4 corresponde ao que se 2,0%o 3,5%o 2,0%o d’ B h 7 3 a d b C 2 1 h 5 3 4 A 4aεyd 10,0% Figura 2.3 – Domínios de deformação (Tepdino/NBR-6118) σcd=0,85fcd ou 0,80fcd 3,5%o σcd=0,85fcd y = 0. 8x x h Figura 2.4 – Diagramas parábola-retângulo e retangular simplificado do concreto (Tepedino) 32 denomina seção superarmada (o concreto atinge o encurtamento convencional de ruptura antes da armadura escoar: εsd < εyd). Costuma-se chamar normalmente armada uma seção que funciona no limite entre as duas situações acima, isto é, no qual, teoricamente, o esmagamento convencional do concreto comprimido e a deformação de escoamento do aço ocorram simultaneamente. Na figura 2.3 a situação de peças normalmente armadas ocorre no limite entre os domínios 3 e 4. Segundo Tepedinio “em princípio, não há inconveniente técnico na superarmação, a não ser, talvez, alguma deformação excessiva por flexão, fato que pode ser prevenido. No entanto, a superarmação é antieconômica, pelo mau aproveitamento da resistência do aço. Por isto mesmo, sempre que possível, devem-se projetar seções subarmadas ou normalmente armadas, sendo a mesma desaconselhável pela NBR 6118”. A NBR 6118 prescreve no item 14.6.4.3 limites para redistribuição de momentos e condições de dutilidade: “A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor é x/d, maior é essa capacidade. Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoios das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: a) x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa; ou b) x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa;” E no item 17.2.3, dutilidade de vigas: “Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, é importante garantir boas condições de dutilidade, sendo adotada, se necessário, armadura de compressão que garante a posição adequada da linha neutra (x), conforme 14.6.4.3 33 A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores de x (posição da linha neutra), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está associada a posição da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.” 2.3 - Seção retangular à flexão simples Segundo Tepedino “no caso da seção retangular, pode-se, sem erro considerável e obtendo-se grande simplificação, adotar, para os domínios 2 e 3 (seção subarmada ou normalmente armada), o diagrama retangular para as tensões no concreto, permitido pela NBR 6118, representado na figura 2.5.” Para que a tensão σsd na armadura tracionada seja igual a fyd, é necessário e suficiente que a profundidade relativa da linha neutra (x/d) seja menor ou igual à profundidade relativa limite do domínio 3, dada por: 0,035ε 0,035 d xξ ydlim3, lim3, + =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= (2.6) com εyd, deformação de cálculo ao escoamento da armadura, dada por: b h Asfyd Rcc = fc.b.y A’sσ’s εc ≤ 0,0035 fc = σcd = 0,85fcd Md εs≥εyd ε’s y = 0.8x d x Figura 2.5 – Seção retangular à flexão simples d’ A’s As 34 ( 2K'11 f bdf A yd c s1 −−= ) (2.20) d d'1 K'K f bdf φA'A yd c ss2 − − == (2.21) Uma vez calculada a armadura As, com sua parcela As2 pode-se obter a armadura A’s dada por: A’s = As2 / φ (2.22) As expressões (2.19) a (2.22) são as utilizadas para o cálculo à flexão de vigas com seção retangular. A armadura de compressão A’s nem sempre é necessária para equilibrar o momento externo Md (representado adimensionalmente por K), que nesse caso será equilibrado internamente apenas pelo momento devido ao concreto comprimido (representado adimensionalmente por K’). A única possibilidade matemática de se ter armadura A’s nula e conseqüentemente também As2, é fazer em (2.15) ou em (2.21) K = K’. Essa igualdade tem uma explicação física coerente com a situação de armadura simples (sem armadura de compressão), ou seja: - quando o momento externo Md, (K), for equilibrado pelo momento interno devido ao concreto comprimido, (K’), isto é K = K’, não é necessário armadura de compressão. Conforme visto anteriormente na equação (2.6), a máxima profundidade relativa da linha neutra para se ter seção subarmada ou normalmente armada é a correspondente ao limite do domínio 3. Com essa profundidade limite obtém-se o máximo momento interno resistente K’L, que deve ser equilibrado pelo momento externo limite KL. Para essa situação limite, a partir da equação (2.12), obtém-se: KL = K’L = αL (1 - αL / 2) (2.23) Com αL = (y/d)L = 0,8.(x/d)L = 0,8 . ξ3,lim (2.24) 37 O valor de ξ3,lim depende do tipo de aço empregado, assim como as outras grandezas da tabela 2.1 abaixo. Tabela 2.1 – Valores de KL sem a consideração da dutilidade Aço fyd (kN/cm2) εyd (‰) ξ3,lim (x/d)3,lim αL KL CA-25 21,74 1,035 0,772 0,617 0,427 CA-50 43,48 2,070 0,628 0,503 0,376 CA-60 52,17 2,484 0,585 0,468 0,358 A relação ξ = (x/d), além de satisfazer ao limite estabelecido em (2.6), que gerou a tabela 2.1, deve também atender aos limites fixados pela NBR 6118 em 14.6.4.3, para melhoria da dutilidade, que fixa a profundidade relativa limite em: ξlim = (x/d)lim ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa (2.25) ξlim = (x/d)lim ≤ 0,40 para concretos com fck ≤ 35 MPa Observando-se a tabela 2.1 nota-se que todos os valores de ξ3,lim são superiores aos das equações (2.25) e que, portanto, para se atender às prescrições de melhoria de dutilidade das vigas deve-se ter os seguintes valores de KL da tabela 2.2, que agora não mais dependem do tipo de aço, mas sim apenas se a resistência fck do concreto é inferior ou não a 35 MPa. Tabela 2.2 – Valores finais de KL, com a consideração da dutilidade fck KL ≤ 35 MPa 0,320 > 35 MPa 0,269 A partir da equação (2.11) e considerando os valores limites da tabela 2.2, obtém-se: Md,L = KL . (fc.b.d2) (2.26) 38 bfK M d cL d L = (2.27) onde: • Md,L é o máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples • dL é a altura útil mínima necessária para resistir ao Md com armadura simples Caso o momento de cálculo atuante seja maior que Md,L ou ainda que a altura útil seja menor que dL,o que significa em ambos, K > KL, torna-se necessário para o equilíbrio a armadura de compressão A’s. Essa situação, com a utilização simultânea de armadura de tração As e de compressão A’s, caracteriza seções dimensionadas à flexão com armadura dupla. Conforme já citado a superarmação deve sempre ser evitada, principalmente por ser antieconômica. Na situação de armadura dupla para os valores da tabela 2.2, caso se pretenda absorver um momento solicitante superior ao Md,L apenas com armadura de tração, isso não significa necessariamente peças superarmadas. Já com os valores da tabela 2.1, caso a mesma situação ocorra e seja possível o equilíbrio apenas com armadura simples (só As), essa seção será obrigatoriamente superarmada, uma vez que os limites da tabela 2.1 referem-se ao final do domínio 3. Na situação de armadura dupla K > KL (Md > Md,L), basta fazer nas equações de dimensionamento à flexão em seções retangulares, equações (2.19) a (2.22), K’ = KL. Essa igualdade significa fisicamente que o momento interno resistente referente ao concreto comprimido K’ é igual ao máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples KL. Essa parcela do momento total será resistida pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada As1. A diferença (Md – Md,L), que em termos adimensionais fica (K – KL), será absorvida pela parcela da armadura de tração As2 e pela armadura de compressão A’s. No cálculo da armadura A’s aparece o nível de tensão φ na armadura comprimida, que normalmente vale 1, ou seja σ’sd = fyd. A tensão na armadura comprimida σ’sd é função da deformação ε’sd, que por sua vez depende da profundidade relativa da linha neutra ξ = (x/d). Na situação de armadura dupla (onde A’s ≠ 0) essa profundidade relativa é constante e igual a ξlim = (x/d)lim dado na equação (2.25), para cada uma das duas faixas de resistência do concreto (fck≤ 35 MPa ou fck> 35 MPa). 39 Valores de KL fck KL ≤ 35 MPa 0,320 > 35 MPa 0,269 Relações entre d e d’ para de ter o nível de tensão φ = 1 Aço fck ≤ 35 MPa fck > 35 MPa (d’/d) ≤ (d/d’) ≥ (d’/d) ≤ (d/d’) ≥ CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616 A’s d’ As b d y=0,8x Md σcd=fc=0,85fcd A’s.σ’s Rcc=fcby Asfyd d -y /2 d -d ’ FLEXÃO NORMAL SIMPLES – SEÇÃO RETANGULAR (TEPEDINO) K ≤ KL ⇒ K’ = K 2 c d bdf MK = > KL ⇒ K’ = KL K ( )2K'11 f bdf A yd c s1 −−= s2s1s AAA +≥ d d'1 K'K f bdf A yd c s2 − − = 0,8 αdx =2K'11α −−=φAA' s2s ÷= yd sd f σ' φ = ( ) ( ) ( ) lim lim yd d x d d' d x f 735φ − = 2 fyd em kN/cm 42 2.4 – Seção T ou L à flexão simples “Nas estruturas de concreto armado são muito freqüentes as seções em T ou L, uma vez que as nervuras das vigas são normalmente solidárias às lajes, que colaboram na resistência à compressão, conforme mostrado na figura 2.7. É necessário salientar que uma viga de concreto armado com seção geométrica em T ou L, isto é, composta de uma nervura e uma mesa, somente pode ser considerada como tal no cálculo, quando a mesa estiver comprimida; caso contrário a seção se comportará como retangular de largura bw”(Tepedino). Por outro lado, caso a profundidade da linha neutra, considerando-se o diagrama retangular simplificado, seja menor ou igual a altura da mesa (y ≤ hf), a seção será tratada como retangular, de largura bf. Também no caso da seção em T ou L é válida e vantajosa a substituição do diagrama parábola-retângulo pelo retangular simplificado. hf bf d’ =f bw d x Figura 2.7 – Seção T à flexão simples εs ε’s εc y=0,8x Md σcd c=0,85fcd A’sσ’sd Rcc A fs yd 43 Para seções normalmente armadas ou subarmadas (εs ≥ εyd ⇒ σs = fyd), podem ser montadas as seguintes equações de equilíbrio: ( ) ( )d'dσ'A' 2 hdhbbf 2 ydybfM sdsffwfcwcd −+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −−+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= (2.34) (2.35) ( ) 0fAσ'A'hbbfybfN ydssdsfwfcwcd =−+−+= Transformando-se a equação (2.34) conforme procedimento análogo ao da seção retangular e lembrando-se que α = y/d e φ = σ’sd/fyd obtém-se: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= d d'1 bdf φfA' 2d h 1 d h 1 b b 2 α1α bdf M c ydsff w f 2 c d (2.36) Fazendo-se ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−= 2d h1 d h1 b b bdf M K ff w f 2 c d (2.37) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 2 α1αK' (2.38) Nota-se pelo valor de K em (2.37), que ao diminuir do momento total solicitante de cálculo Md o momento resistido apenas pelas laterais da mesa comprimida - fc(bf-bw)hf(d-hf/2), o problema se transforma na flexão de uma seção retangular de largura bw. Levando-se (2.37) e (2.38) em (2.36) obtém-se: φ d d'1 KK' f dbf A' yd wc s ÷ − − = (2.39) 44 diagrama retangular simplificado da NBR-6118, a tensão na mesa comprimida correspondente ao trecho comum com a nervura (bw), deve ser igual a σcd = fc = 0,85fcd. Afastando-se desse trecho nos dois sentidos, conforme mostrado na figura 2.8, a tensão de compressão deve diminuir até zero, para pontos na laje bem distantes da nervura. Essa distribuição de tensões na mesa pode ser obtida pela teoria da elasticidade, mas pela NBR- 6118 ela é substituída por uma distribuição uniforme simplificada, com tensão igual a fc, e com uma largura total igual a bf, de tal forma que as resultantes de compressão em ambas as distribuições sejam estaticamente equivalentes. Segundo a NBR-6118, no item 14.6.2.2, a largura colaborante bf deve ser dada pela largura bw acrescida de no máximo 10% da distância a entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante. A distância a pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo considerado,como se apresenta a seguir: fc bf Distribuição simplificada equivalente Distribuição real de tensões na mesa bw Figura 2.8 – Distribuição real e simplificada de tensões na mesa 47 • viga simplesmente apoiada a = 1,00 l, • tramo com momento em uma só extremidade a = 0,75 l; • tramo com momentos nas duas extremidades a = 0,60 l; • tramo em balanço a = 2,00 l. Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura. Devem ser respeitados os limites b1 e b3 conforme indicado na figura 2.9. b1 ≤ 0,5 b2 b1 ≤ 0,1 a (2.47) b3 ≤ b4 b3 ≤ 0,1 a bfbf c b3 b1 b1 b1 b4 c b2 bw bw Figura 2.9 – Largura da mesa colaborante 48 K ≤ KL K’ = K ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−= 2d h 1 d h 1 b b dbf M K ff w f 2 wc d K ≤ 0 seção retangular bf x h K > KL K’ = KL ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+−−= d h 1 b b 2K'11 f dbf A f w f yd wc s1 s2s1s AAA +≥ d d'1 K'K f dbf A yd wc s2 − − = φAA' s2s ÷= 2K'11α −−= 0,8 αdx = Valores de KL fck KL ≤ 35 MPa 0,320 > 35 MPa 0,269 Relações entre d e d’ para de ter o nível de tensão φ = 1 Aço fck ≤ 35 MPa fck > 35 MPa (d’/d) ≤ (d/d’) ≥ (d’/d) ≤ (d/d’) ≥ CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616 FLEXÃO NORMAL SIMPLES – SEÇÃO T OU L (TEPEDINO) hf bf d’ σcd=fc=0,85fcd A’sσ’sd Rcc A’s d Md As Asfyd bw yd sd f σ' φ = ( ) ( ) ( ) lim lim yd d x d d' d x f 735φ − = fyd em kN/cm2 49 2.4.3 – Armaduras de tração e compressão A soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não deve ter valor maior que 4%Ac, calculada na região fora da zona de emendas. 2.4.4 – Distribuição transversal das armaduras longitudinais O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: • na direção horizontal (ah) - 20 mm; - diâmetro da barra, do feixe ou da luva; - 1,2 vez o diâmetro máximo do agregado; • na direção vertical (av) - 20 mm - diâmetro da barra, do feixe ou da luva; - 0,5 vez o diâmetro máximo do agregado. Na figura 2.10 estão indicados os espaçamentos mínimos na direção horizontal (ah) e vertical (av). Com base nessa figura obtém-se a largura útil (bútil) da viga dada por: bútil = bw – 2 . (c + φtransv) (2.52) onde: • c é o cobrimento nominal da armadura • φtransv é o diâmetro da armadura transversal (estribo) O número máximo de barras longitudinais com diâmetro φlong que cabem em uma mesma camada, atendendo ao espaçamento horizontal ah especificado acima, fica: longh hútil adabarras/cam φa ab n + + ≤ (2.53) 52 bútil c φtransv ah av φlong bw Figura 2.10 – Distribuição transversal das armaduras longitudinais Adota-se como valor final do número de barras por camada, a parcela inteira do número calculado em (53). 2.4.5 – Armaduras de ligação mesa-alma ou talão-alma Segundo o item 18.3.7 da NBR-6118, os planos de ligação entre mesas e almas ou talões e alma devem ser verificados com relação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de tensões normais ao longo do comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistência do concreto, quanto das armaduras necessária para resistir às trações decorrentes desses efeitos. As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas como parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se necessário. A 53 54 seção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura útil e ancorada na alma, deve ser de 1,5 cm2 por metro. Para a solução desse problema cujas incógnitas são as parcelas ou quinhões de carga pa e pb deve-se lançar mão de uma equação de compatibilidade geométrica, que nesse caso consiste em igualar as flechas δa e δb no centro da placa, correspondente às flechas máximas nas direções a e b, respectivamente (figura 3.1). 384EI b5p δ 384EI a5p δ 4 b b 4 a a === (3.4) De (3.4) obtém-se: pa = pb . (b / a)4 (3.5) Levando-se (3.5) em (3.3) obtém-se a expressão da parcela de carga na direção b: pk a b1 pp b4b = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ = (3.6) 1 pa a p b b δb 1 δa Figura 3.1 – Quinhões de cargas 57 4b a b1 1k ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ = ka = 1 - kb (3.7) Onde ka e kb são os coeficientes para se determinar os quinhões de cargas nas direções a e b respectivamente. Para a determinação das reações e momentos fletores da laje basta calcular isoladamente as vigas nas direções a e b, utilizando-se as parcelas ou quinhões de carga obtidos. Pela equação (3.7) para uma relação (b/a) = 2 o valor de kb = 1 / 17 ≈ 0,06 e conseqüentemente ka ≈ 0,94, indicando que a laje funciona praticamente na direção menor a. Conforme será visto adiante, a partir da relação (b/a) > 2 a laje será considerada armada em uma direção, ou seja a dimensão menor, sendo que para relações menores, a laje será considerada armada em duas direções ou em cruz. Outras tabelas para o cálculo de reações e momentos bastante utilizadas são as tabelas de Kalmanock, que integrou numericamente a equação diferencial (3.1) e tabelou para diversos tipos de lajes retangulares e de relações (b/a), variando de 0,5 a 2. Estas tabelas, como outras baseadas na teoria da elasticidade, são utilizadas no cálculo de lajes em regime elástico. Existem também as tabelas baseadas no regime rígido-plástico, ou das linhas de ruptura, ou das charneiras plásticas (Ingerslev -1923 e Johansen -1932), onde o diagrama tensão- deformação do material constituinte da laje é elasto-plástico perfeito, com um trecho linear elástico seguido por um trecho perfeitamente plástico. Este processo extremamente simples de cálculo pode ser visto na apostila de lajes retangulares do Prof. José de Miranda Tepedino, que originou tanto as tabelas para cálculo de momentos fletores no regime rígido-plástico, quanto no elástico, mostradas adiante. 3.3 – Laje retangular armada em uma direção Conforme visto no item anterior as lajes retangulares cuja relação entre lados for maior que 2, será calculada como laje armada em uma direção, no caso, a direção menor. Estas lajes são calculadas supondo vigas unitárias com o comprimento correspondente ao vão menor da laje e 58 com as condições de contorno iguais às do lado maior. Desta forma as configurações possíveis para lajes retangulares armadas em uma direção estão indicadas na figura 3.2. As reações e os momentos para as três lajes da figura 3.2 estão apresentados na tabela 3.1 abaixo, para o cálculo no regime elástico e no regime rígido-plástico, com a carga total p atuando na faixa unitária. Os valores das reações e dos momentos da coluna correspondente ao regime elástico são os valores conhecidos da análise das estruturas, já os valores do regime rígido–plástico são obtidos a partir da relação entre o momento negativo e do positivo atuantes numa mesma direção, que no caso da tabela 3.1 foi adotado igual a 1,5. Assim para a laje apoiada-engastada o momento máximo positivo é dado por: M = (Ra)2 / 2 . p (3.8) com Ra = p.l / 2 – X / l = p.l / 2 – 1,5.M / l (3.9) M = Ra2 / 2.p = (p.l / 2 – 1,5.M / l)2 / 2.p (3.10) a a a b 1 M M M X X X R R Ra Re R R Figura 3.2 – Lajes armadas em uma direção 59 3.4.2 – Reações de apoio As reações de apoio para lajes maciças retangulares com carga uniforme podem ser feitas de acordo com o item 14.7.6 da NBR 6118, seguindo as aproximações: 1. as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas, sendo que essas reações podem ser, de maneira aproximada, consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio; 2. quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos: • 45o entre dois apoios do mesmo tipo; • 60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; • 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. A partir dos ângulos definidos acima são produzidas tabelas para os 6 tipos de lajes retangulares da figura 3.3, para as diversas relações b/a (tabela 3.8,adiante). Nessas tabelas a reação em cada lado é obtida multiplicando-se os coeficientes tabelados sempre pelo produto p.a. 62 3.4.3 – Momentos fletores Os momentos fletores em lajes retangulares são calculados também através de tabelas produzidas tanto para o regime elástico como para o regime rígido-plástico. No regime elástico, para a obtenção dos valores dos momentos atuantes nas duas direções, basta multiplicar os valores tabelados tanto para os momentos positivos (armadura de flexão na parte inferior da laje) quanto para os momentos negativos (idem para a parte superior) pelo 60o 45o 3 45o 1 4 30o 2 R”b b ≥ a R’a = pA1 / a R”a = pA2 / a R’b = pA4 / b R”b = pA3 / b R’b R’a R”a a Figura 3.4 – Reações de apoio para lajes retangulares 60o 45 o 90o 90o 1 2 3 Rb b R’a R”a Bordo livre R’a = pA2 / a R”a = pA3 / a a Rb = pA1 63 produto p.a2. Já para o regime rígido-plástico apenas são tabelados os coeficientes para os momentos positivos nas duas direções, que são obtidos multiplicando-se esses coeficientes pelo produto p.a2. Caso exista, o momento negativo em uma determinada direção será obtido multiplicando-se por 1,5 o momento positivo da mesma direção. As tabelas 3.8 a 3.11 mostradas adiante, são as mesmas da apostila sobre lajes retangulares do Prof. José de Miranda Tepedino, salientando que as do regime rígido-plástico foram produzidas para uma variação contínua do índice de ortotropia (relação entre os momentos de plastificação nas duas direções ortogonais da laje) e para uma relação constante entre os momentos negativo e positivo em uma mesma direção, adotada igual a 1,5. 3.5 – Cálculo da flecha em lajes retangulares O cálculo da flecha em lajes retangulares deve naturalmente obedecer ao estado limite de serviço – ELS, nesse caso denominado ELS-DEF, ou seja, de deformações excessivas, definido no item 3.2.4 da NBR-6118. As cargas para o cálculo em serviço devem ser afetadas pelo coeficiente de ponderação, no caso minoração, das ações no ELS, correspondente às combinações quase permanentes (ELS- DEF): γf = γf2 = ψ2 (3.14) Conforme a tabela 11.2 da NBR-6118 para cargas acidentais de edifícios, ψ2 = 0,3 para edifícios residenciais, ψ2 = 0,4 para edifícios comerciais, de escritório, estações e edifícios públicos e ψ2 = 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens. Mserv = Mg + ψ2 . Mq (3.15) Caso o momento de serviço dado em (3.15) seja menor que o momento de fissuração Mr determinado conforme o item 17.3.1 da NBR-6118 a laje está trabalhando no estádio I (concreto trabalhando simultaneamente à tração e compressão – concreto não fissurado), caso 64 Os critérios para a flecha imediata em vigas se baseiam no cálculo da rigidez equivalente pela formulação de Branson, dada na NBR-6118 no item 17.3.2.1.1. Para lajes maciças usuais dos edifícios residenciais armadas em uma ou duas direções, geralmente o momento máximo é menor que o momento de fissuração, ou quando isso não ocorre, apenas uma pequena área da laje, próxima ao momento máximo, encontra-se no estádio II. A maior parte da laje estará sempre no estádio I. Mesmo a região que se encontra fissurada, segundo alguns autores, tem uma contribuição mais efetiva para a rigidez equivalente que no caso das vigas, portanto não seria muito correto usar o mesmo modelo para vigas e lajes. No entanto, para efeito dessa publicação, deve-se considerar: Estádio I - (EI)eq = Ecs . Ic (3.20) Estádio II - ( ) ccsII 3 a r c 3 a r cseq IEIM M 1I M M EEI ≤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = (3.21) Onde: • Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto; • Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto; • III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II, calculada com αe=Es/Ecs; • Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para lajes biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para lajes em balanço, para a combinação de ações considerada nessa avaliação; • Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural. 3.5.2 – Flecha imediata em lajes retangulares armadas em duas direções O valor da flecha imediata para essas lajes é obtido usando-se tabelas para cálculo de flechas em lajes retangulares, baseadas nas tabelas de Bares. Segundo Tepedino, por meio de regressão polinomial, ajustou-se para a flecha imediata fi, a seguinte expressão: 67 fi = f1 . pi.a4 / (Ecs . h3 ) (3.22) com pi o mesmo dado em (3.19) e f1 = [K1.(b/a)3 + K2.(b/a)2 + K3. (b/a) + K4] / 1000 (3.23) onde K1, K2, K3 e K4 estão mostrados na tabela 3.2 abaixo, não se adotando para o cálculo valores de (b/a) inferiores a 0,5, nem superiores a 2. Com os valores de K1 a K4 tabelados abaixo, organizou-se a tabela 3.9, mostrada adiante, para o cálculo de flechas nos seis tipos de lajes retangulares da figura 3.3. Nessa tabela, a partir do tipo de laje e da relação (b/a), extrai-se o coeficiente f1 que permite o cálculo da flecha com o emprego da equação (3.22). Tabela 3.2 – Valores dos coeficientes para cálculo das flechas (Tepedino) LAJE K1 K2 K3 K4 0,4 -29,6 156,8 -79,8 -1,0 -16,0 79,3 -29,9 14,4 -84,3 182,1 -87,9 7,2 -42,1 83,8 -26,6 1,9 -21,2 60,9 -23,3 2,0 23,0 69,2 -33,3 A B C D E F 68 A discussão sobre rigidez equivalente, feita anteriormente, é mais acentuada nas lajes armadas em duas direções, tendo em vista que para as lajes armadas em uma, o modelo estrutural aproxima-se mais do comportamento de vigas, onde se aplica efetivamente a formulação de Branson (equação 3.21). Para efeito dessa publicação, quando o momento em serviço for menor que o de fissuração, ou seja, estádio I, deve-se adotar para a rigidez equivalente a mesma dada pela equação (3.20). Quando ocorrer o estádio II, deve-se adotar um valor médio aproximado para a rigidez equivalente, sem utilizar, no entanto a equação (3.21). Assim para lajes armadas em duas direções tem-se: Estádio I - (EI)eq = Ecs . Ic (3.24) Estádio II - (EI)eq = 0,7 . Ecs.Ic (3.25) O valor 0,7 da equação (3.25) pode ser justificado como sendo o mesmo fator utilizado no item 15.7.3 da NBR-6118, para consideração aproximada da não-linearidade física do concreto. A equação (3.22), que calcula a flecha em lajes retangulares, apresenta apenas o valor do módulo de elasticidade Ecs e não a rigidez à flexão EI. Portanto para levar em conta a rigidez equivalente, conforme equações (3.24) e (3.25), basta somente substituir pelo valor 0,7.Ecs quando se tiver estádio II, ficando inalterada a equação (3.22) para o estádio I. 3.5.3 – Flecha diferida no tempo para lajes de concreto armado Segundo o item 17.3.2.1.2 da NBR-6118, a flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão: αf = Δξ / (1 + 50.ρ’) (3.26) onde: ρ’ = A’s / (b.d) (3.27) 69 6. 16 cm para lisas e 14 cm para lajes-cogumelo (segundo o item 14.7.8 lajes-cogumelo são lajes apoiadas diretamente em pilares com capitéis, enquanto lajes lisas são as apoiadas nos pilares sem capitéis). 3.6.2 – Deslocamentos limites Segundo o item 13.3 da NBR-6118, deslocamentos limites são valores práticos para verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura. Esses valores devem obedecer aos limites estabelecidos na tabela 13.2 da NBR-6118. Para o caso das lajes, a flecha máxima em serviço quando atuar a totalidade das cargas deve ser l / 250, onde l é o menor vão da laje retangular. Quando atuar apenas a carga acidental esse limite deve ser considerado igual a l / 350. Para lajes em balanço o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço. Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas, entretanto a sua atuação isolada não pode ocasionar um desvio do plano da laje maior que l / 350. 3.6.3 – Cobrimento nominal mínimo Segundo o item 7.4.7.2 da NBR-6118, cobrimento nominal cnom é o cobrimento mínimo cmin acrescido da tolerância de execução Δc, que para obras correntes deve ser maior ou igual a 10 mm. Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor Δc = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Nesse caso permite-se, então, a redução dos cobrimentos nominais dados abaixo em 5 mm. Segundo a tabela 7.2 da NBR-6118 a correspondência entre a classe de agressividade ambiental (CAA) e o cobrimento nominal para lajes, com Δc = 10 mm, é dada a seguir: CAA I cnom = 20 mm CAA II cnom = 25 mm CAA III cnom = 35 mm CAA IV cnom = 45 mm 72 Para a face superior de lajes que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos do tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, os cobrimentos acima podem ser substituídos pelo item 7.4.7.5 da NBR-6118, respeitado um cobrimento nominal cnom ≥ 15 mm. Esse item da norma estabelece que o cobrimento nominal de uma barra deve sempre ser maior que o diâmetro da barra (cnom ≥ φbarra). 3.6.4 – Vãos efetivos de lajes Segundo o item 14.7.2.2 da NBR-6118, quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão: lef = l0 + a1 + a2 (3.37) onde: • l0 é o vão livre, ou seja, distância entre as faces dos apoios; • a1 e a2 são em cada extremidade do vão o menor entre os valores: 0,3.h e t1/2 ou t2/2, com h a espessura da laje e ti o comprimento do apoio i. 3.6.5 – Aproximações para diagramas de momento fletor Este é o item 14.7.6.2 da NBR-6118, que trata da compensação de negativos entre lajes contíguas. • Quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes vizinhas podem ser consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos momentos sobre os apoios de forma aproximada. 73 Na figura 3.5 está indicado esquematicamente o diagrama de momentos fletores de duas lajes contíguas calculadas isoladamente no regime elástico e representado pelo diagrama tracejado descontínuo. Os valores máximos dos momentos fletores sobre o apoio central são respectivamente X1 e X2 para as lajes L1 e L2. Depois da compensação dos negativos o diagrama final contínuo apresenta sobre o apoio central o valor Xfinal dado pelo maior entre os valores: 0,8 . Xi,max Xfinal ≥ (3.38) Xmed = (X1 + X2) / 2 No caso de análise plástica, a compatibilização pode ser realizada mediante alteração das razões entre momentos de engaste e vão, em procedimento iterativo, até a obtenção de valores equilibrados nos engastes; Permite-se, simplificadamente, a adoção do maior valor de momento negativo ao invés de equilibrar os momentos de lajes diferentes sobre um apoio comum. Devido a dificuldade de se fazer o procedimento iterativo nas lajes calculadas no regime rígido-plástico, adota-se para essas o maior valor entre os dois sobre um mesmo apoio. Já para as lajes calculadas no regime elástico deve-se adotar o valor Xfinal dado em (3.38). No caso da laje L1 o momento positivo deve ser acrescido de ΔM ≈ 0,3.ΔX (fig. 3.5) X2 X1 ΔX Xfinal Laje 1 Laje 2 Figura 3.5 – Compensação de negativos - regime elástico ΔM ≈ 0,3.ΔX 74 • As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desse dois valores na região dos maiores momentos fletores; • A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo 33 cm. A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda de barras da armadura principal. 3.6.8 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações (NBR-6120) Quando forem previstas paredes divisórias,cuja posição não esteja definida no projeto, o cálculo de pisos com suficiente capacidade de distribuição transversal de carga, quando não for feito por processo exato, pode ser feito admitindo, além dos demais carregamentos, uma carga uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terço do peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1 KN/m2. 77 78 Tabela 3.6 – Peso específico de alguns materiais de construção Materiais Peso específico aparente KN/m3 Rochas Arenito Basalto Gneiss Granito Mármore e calcáreo 26 30 30 28 28 Blocos artificiais Blocos de argamassa Cimento amianto Lajotas cerâmicas Tijolos furados Tijolos maciços Tijolos sílico-calcáreos 22 20 18 13 18 20 Revestimentos e concretos Argamassa de cimento, cal e areia Argamassa de cimento e areia Argamassa de gesso Concreto simples Concreto armado 19 21 12,5 24 25 Madeiras Pinho, cedro Angico, cabriúva, ipê róseo 5 10 Metais Aço Alumínio e ligas Bronze Chumbo 78,5 28 85 114 Tabela 3.7 – Valores mínimos de carga vertical Local Carga KN/m2 1- Arquibancadas 4 2- Balcões Mesma carga da peça com a qual se comunica e as previstas para parapeitos e balcões (ver adiante) - 3- Bancos Escritórios e banheiros Salas de diretoria e de gerência 2 1,5 4- Bibliotecas Sala de leitura Sala para depósito de livros Sala com estantes de livro, a ser determinada em cada caso ou 2,5 kN/m2 por metro de altura observado, porém o valor mínimo de 2,5 4 6 5- Casa de máquinas (incluindo o peso das máquinas) a ser determinada em caso, porém com o valor mínimo de 7,5 6- Cinemas Platéia com assentos fixos Estúdio e platéia com assentos móveis Banheiro 3 4 2 7- Clubes Sala de refeição e assembléia com assentos fixos Sala de assembléia com assentos móveis Salão de danças e salão de esportes Sala de bilhar e banheiro 3 4 5 2 8- Corredores Com acesso ao público Sem acesso ao público 3 2 9- Cozinhas não residenciais A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3 10- Depósitos A ser determinada em cada caso e na falta de valores experimentais conforme a tabela 1 da NBR-6120 - 11- Edifícios residenciais Dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro Despensa, área de serviço e lavanderia 1,5 2 12- Escadas Com acesso ao público 3 79 Tabela 3.8 – Reações de apoio em lajes retangulares (Tepedino) Tipo de laje ra=0,25 r’a = 0,183 r’’a = 0,317 ra = 0,144 b/a rb ra r’b r’’b r’b r’’b rb r’a r’’a rb 0,50 - 0,165 0,125 0,217 - - 0,217 0,125 0,217 0,158 0,55 - 0,172 0,138 0,238 - - 0,238 0,131 0,227 0,174 0,60 - 0,177 0,150 0,260 - - 0,259 0,136 0,236 0,190 0,65 - 0,181 0,163 0,281 - - 0,278 0,140 0,242 0,206 0,70 - 0,183 0,175 0,302 - - 0,294 0,143 0,247 0,222 0,75 - 0,183 0,187 0,325 - - 0,308 0,144 0,249 0,238 0,80 - 0,183 0,199 0,344 - - 0,320 0,144 0,250 0,254 0,85 - 0,183 0,208 0,361 - - 0,330 0,144 0,250 0,268 0,90 - 0,183 0,217 0,376 - - 0,340 0,144 0,250 0,281 0,95 - 0,183 0,225 0,390 - - 0,348 0,144 0,250 0,292 1,00 0,250 0,183 0,232 0,402 0,183 0,317 0,356 0,144 0,250 0,303 1,05 0,262 0,183 0,238 0,413 0,192 0,332 0,363 0,144 0,250 0,312 1,10 0,273 0,183 0,244 0,423 0,200 0,346 0,369 0,144 0,250 0,321 1,15 0,283 0,183 0,250 0,432 0,207 0,358 0,374 0,144 0,250 0,329 1,20 0,292 0,183 0,254 0,441 0,214 0,370 0,380 0,144 0,250 0,336 1,25 0,300 0,183 0,259 0,448 0,220 0,380 0,385 0,144 0,250 0,342 1,30 0,308 0,183 0,263 0,455 0,225 0,390 0,389 0,144 0,250 0,348 1,35 0,315 0,183 0,267 0,462 0,230 0,399 0,393 0,144 0,250 0,354 1,40 0,321 0,183 0,270 0,468 0,235 0,408 0,397 0,144 0,250 0,359 1,45 0,328 0,183 0,274 0,474 0,240 0,415 0,400 0,144 0,250 0,364 1,50 0,333 0,183 0,277 0,479 0,244 0,423 0,404 0,144 0,250 0,369 1,55 0,339 0,183 0,280 0,484 0,248 0,429 0,407 0,144 0,250 0,373 1,60 0,344 0,183 0,282 0,489 0,252 0,436 0,410 0,144 0,250 0,377 1,65 0,348 0,183 0,285 0,493 0,255 0,442 0,413 0,144 0,250 0,381 1,70 0,353 0,183 0,287 0,497 0,258 0,448 0,415 0,144 0,250 0,384 1,75 0,357 0,183 0,289 0,501 0,261 0,453 0,418 0,144 0,250 0,387 1,80 0,361 0,183 0,292 0,505 0,264 0,458 0,420 0,144 0,250 0,390 1,85 0,365 0,183 0,294 0,509 0,267 0,463 0,422 0,144 0,250 0,393 1,90 0,368 0,183 0,296 0,512 0,270 0,467 0,424 0,144 0,250 0,396 1,95 0,372 0,183 0,297 0,515 0,272 0,471 0,426 0,144 0,250 0,399 2,00 0,375 0,183 0,299 0,518 0,275 0,475 0,428 0,144 0,250 0,401 O valor da reação é dado por: R = r . p.a a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão. C A D E B F 82 Tabela 3.9 – Momentos fletores, regime rígido-plástico (Tepedino) Tipo de laje b/a ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb 0,50 - - 122,1 50,9 - - 103,2 64,5 215,6 80,8 - - 0,55 - - 92,2 46,5 - - 81,4 61,6 161,2 73,2 - - 0,60 - - 72,6 43,6 - - 66,9 60,2 125,6 67,8 - - 0,65 - -- 59,2 41,7 - - 56,9 60,1 101,4 64,2 - - 0,70 - - 49,7 40,6 - - 49,7 60,8 84,2 61,9 - - 0,75 - - 42,7 40,1 - - 44,3 62,3 71,8 60,6 - - 0,80 - - 37,6 40,1 - - 40,3 64,5 62,5 60,0 - - 0,85 - - 33,6 40,5 - - 37,2 67,2 55,5 60,1 - - 0,90 - - 30,5 41,2 - - 34,8 70,4 50,0 60,8 - - 0,95 - - 28,1 42,3 - - 32,8 74,0 45,7 61,8 - - 1,00 24,0 24,0 26,1 43,6 40,0 40,0 31,2 78,0 42,2 63,3 60,0 60,0 1,05 21,8 24,1 24,5 45,1 36,4 40,1 29,9 82,4 39,4 65,2 54,6 60,2 1,10 20,1 24,3 23,2 46,8 33,5 40,5 28,8 87,1 37,1 67,3 50,2 60,7 1,15 18,6 24,6 22,1 48,8 31,0 41,0 27,9 92,2 35,2 69,8 46,6 61,6 1,20 17,4 25,1 21,2 50,9 29,0 41,8 27,1 97,6 33,5 72,5 43,5 62,7 1,25 16,4 25,6 20,4 53,2 27,3 42,7 26,4 103,2 32,2 75,4 41,0 64,4 1,30 15,5 26,3 19,8 55,6 25,9 43,8 25,9 109,2 31,0 78,6 38,8 65,6 1,35 14,8 27,0 19,2 58,2 24,7 44,9 25,4 115,5 30,0 82,0 37,0 67,4 1,40 14,2 27,8 18,7 61,0 23,6 46,3 24,9 122,1 29,1 85,6 35,4 69,4 1,45 13,6 28,6 18,2 63,9 22,7 47,7 24,5 128,9 28,4 89,4 34,0 71,6 1,50 13,1 29,6 17,8 66,9 21,9 49,3 24,2 136,1 27,7 93,4 32,8 73,9 1,55 12,7 30,6 17,5 70,1 21,2 50,9 23,9 143,5 27,1 97,6 31,8 76,4 1,60 12,4 31,6 17,2 73,4 20,6 52,7 23,6 151,1 26,6 102,0 30,9 79,0 1,65 12,0 32,7 16,9 76,8 20,0 54,5 23,4 159,1 26,1 106,6 30,0 81,8 1,70 11,7 33,9 16,7 80,3 19,5 56,5 23,2 167,3 25,7 111,3 29,3 84,7 1,75 11,5 35,1 16,5 84,0 19,1 58,5 23,0 175,7 25,3 116,2 28,7 87,8 1,80 11,2 36,4 16,3 87,8 18,7 60,6 22,8 184,5 25,0 121,3 28,1 91,0 1,85 11,0 37,7 16,1 91,7 18,4 62,9 22,6 193,5 24,7 126,6 27,6 94,3 1,90 10,8 39,1 15,9 95,8 18,0 65,2 22,5 202,7 24,4 132,0 27,1 97,7 1,95 10,7 40,5 15,8 99,9 17,8 67,5 22,3 212,2 24,1 137,6 26,6 101,3 2,00 10,5 42,0 15,6 104,2 17,5 70,0 22,2 222,0 23,9 143,3 26,3 105,0 O valor do momento fletor positivo é dado por: M = (pa2)/m O momento fletor negativo na direção a ou b, se tiver, será dado por: Xi = 1,5 . Mi a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão. A B C D E F 83 Tabela 3.10 – Flecha elástica em lajes retangulares (Tepedino) Tipo de laje b/a f1 f1 f1 f1 f1 f1 0,50 - 0,0068 - 0,0062 0,0033 - 0,55 - 0,0090 - 0,0080 0,0045 - 0,60 - 0,011 - 0,0098 0,0058 - 0,65 - 0,014 - 0,012 0,0073 - 0,70 - 0,017 - 0,014 0,0090 - 0,75 - 0,020 - 0,015 0,011 - 0,80 - 0,022 - 0,017 0,012 - 0,85 - 0,025 - 0,019 0,014 - 0,90 - 0,028 - 0,020 0,015 - 0,95 - 0,030 - 0,021 0,017 - 1,00 0,048 0,033 0,025 0,023 0,018 0,015 1,05 0,053 0,035 0,027 0,024 0,020 0,016 1,10 0,057 0,037 0,029 0,024 0,021 0,018 1,15 0,062 0,039 0,032 0,025 0,022 0,019 1,20 0,066 0,041 0,034 0,026 0,023 0,020 1,25 0,071 0,043 0,036 0,027 0,024 0,021 1,30 0,075 0,044 0,038 0,027 0,025 0,022 1,35 0,079 0,046 0,040 0,028 0,026 0,023 1,40 0,083 0,047 0,041 0,028 0,026 0,024 1,45 0,087 0,049 0,043 0,029 0,027 0,025 1,50 0,090 0,050 0,045 0,029 0,027 0,026 1,55 0,094 0,051 0,046 0,029 0,028 0,027 1,60 0,097 0,052 0,047 0,029 0,028 0,027 1,65 0,100 0,053 0,048 0,030 0,028 0,027 1,70 0,103 0,053 0,049 0,030 0,028 0,028 1,75 0,106 0,054 0,050 0,030 0,028 0,028 1,80 0,109 0,055 0,050 0,030 0,028 0,028 1,85 0,112 0,056 0,051 0,030 0,029 0,029 1,90 0,114 0,056 0,052 0,030 0,029 0,029 1,95 0,116 0,057 0,054 0,030 0,029 0,029 2,00 0,119 0,058 0,055 0,030 0029 0,029 O valor da flecha é dada por: f = f1 . (p.a4) / (Ecs . h3) a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão. 84 A B C D E F pp ⇒ 2,5 kN/m2 Carga acidental q = 2,0 kN/m2 Rev. ⇒ 1,0 kN/m2 Carga permanente g = 3,5 kN/m2 Carga total p = g+q = 5,50 kN/m2 a)Reações e momentos Laje L1 6,2/2,2 > 2 ⇒ laje armada em uma direção 2,20 m ,2 0 m 6 De acordo a tabela 3.1, para laje apoiada-engastada no regime rígido plástico tem-se: Ra = 0,387 x p.a = 0,387 x 5,5 x 2,2 ≈ 4,68 kN/m] Re = 0,613 x p.a = 0,613 x 5,5 x 2,2 ≈ 7,42 kN/m M = p.a2 / 13,33 = 5,5 x (2,2)2 / 13,33 ≈ 2,00 kN.m X = 1,5.M = 1,5 x 2,00 ≈ 3,00 kN.m Laje L2 laje tipo A (teoricamente essa laje poderia ser tipo B, ou seja, engastada na continuidade com L1. Por nor- ma a armadura negativa estende-se para cada lado do apoio comum, 0,25 x 420 = 105 cm, que é menor que o vão de L1 = 220 cm. Fazendo-se uma análise numérica desse exemplo observa-se que o diagrama de momentos fletores negativos de L2 para L1 estende-se praticamente à viga de contorno V3, o que justifica considerá-la como tipo A) b/a = 6,2/4,2 = 1,48 p.a = 5,5 x 4,2 = 23,1 p.a2 = 5,5 x 4,22 = 97,02 Reações de apoio Na tabela 3.8 para laje tipo A, interpolando-se linearmente para b/a=1,48, obtém-se: ra = 0,250 rb = 0,331 Ra= 0,250 x 23,1 = 5,78 kN/m Rb= 0,331 x 23,1 = 7,65 kN/m Momentos fletores Na tabela 3.9 para laje tipo A, interpolando-se linearmente para b/a=1,48, obtém-se: ma = 13,3 mb = 29,2 Ma = 97,02 / 13,3 = 7,29 kN.m Mb = 97,02 / 29,2 = 3,32 kN/m a = 4,2 m b = 6, 2 m 87 Xa = Xb = 0 (não há engaste nas direções a e b) Os valores das reações de apoio e dos momentos fletores estão indicados na figura 3.7. Os valores dos momentos foram indicados em planta na direção correspondente a armadura a ser calculada para combatê-los. b) Cálculo da flecha Laje L1 Como a laje é armada em uma direção, segundo a equação (3.19), para K=2 (laje apoiada- engastada) tem-se para a flecha imediata: fi = K .pi . a4 / 384 . (E.I)eq com pi = g + ψ2 . q o valor de (E.I)eq vai depender se em situação de serviço a laje L1 estará no estádio I ou no estádio II. Para isso, deve-se calcular o valor de Mserv dado pela equação (3.15), lembrando-se que para obras residenciais ψ2 = 0,3: Mserv = Mg + ψ2 . Mq = (3,5 + 0,3 x 2) x 2,22/13,33 = 1,49 kN.m = 149 kN.cm Pela equação (3.18) determina-se o valor do momento de fissuração para as lajes: Mr = 150.fctm . h2 / 6 fctm = 0,3 x (20)2/3 = 2,21 MPa = 0,221 kN/cm2 4, 68 7, 42 5,78 7, 65 7 ,6 5 2,00 3,00 7,29 3, 32 5,78 Figura 3.7 – Reações e momentos indicados em planta 88 Mr = 150 x 0,221 x 102 / 6 = 553 kN.cm Mr > Mserv = 149 kN.cm ⇒ estádio I, portanto: EIeq = Ecs . Ic Ecs = 0,85 x 5600 x (20)1/2 = 21287 MPa = 2129 kN/cm2 EIeq = 2129 x 100 x 103 / 12 = 1,774 x 107 kN.cm2 fi = 2 x (3,5 x 10-2 + 0,3 x 2 x 10-2) x (220)4 / (384 x 1,774 x 107) = 0,03 cm De acordo equação (3.34), com αf = 1,46 obtém-se para a flecha no tempo infinito: f∞ = (1+αf).fi = 2,46 x (0,03) = 0,074 cm Laje L2 Ma,serv = Mg + ψ2 . Mq = (3,5 + 0,3 x 2) x (4,2)2 / 13,3 = 5,44 kN.m = 544 kN.cm Mr = 553 kN.cm > Ma,serv = 544 kN.cm estádio I De (3.36) p∞ = 2,46 . (g + 0,3 . q) = (2,46 x 3,5 + 0,738 x 2) x 10-4 = 10,09 x 10-4 kN/cm2 De (3.34) com f1 = 0,089 obtido interpolando-se na tabela 3.10, para laje tipo A e relação b/a = 1,48 , obtém-se: f∞ = 0,089 x 10,09 x 10-4 x (420)4 / (2129 x 103) = 1,31 cm < l/250 = 420/250 = 1,68 cm ok! c) Cálculo das armaduras e detalhamento seção retangular bw.h = 100 x 10 cm2, com d = h – 2,5 = 7,5 cm fc=σcd = 0,85 x 2 / 1,4 = 1,21 kN/cm2, fyd = 60/1,15 = 52,17 kN/cm2 ,K = Md / fc . b . d2) ⇒ As M (kN.cm) K (Kl = 0,211)* As (cm2/m) φ a c/ 729 0,149 2,84 φ 6,0 c/ 10 cm 332 0,068 1,23** φ 5,0 c/ 16 cm 300 0,061 1,11 (1,50)*** φ 6,0 c/ 16 cm**** 200 0,041 0,73 (1,50)*** φ 5,0 c/ 13 cm * De acordo o item 14.7.4 da NBR 6118, quando a análise dos esforços no ELU for realizada através da teoria das charneiras plásticas (caso do regime rígido-plástico), para garantia de 89 Compensação de negativos entre L1 e L2 Como só L1 está engastada bastaria apenas considerar 0,8 Xmax Xmed = (3,33 + 0,00) / 2 = 1,67 kN.m 0,8 . Xmax = 0,8 x 3,33 = 2,66 kN.m X = 2,66 kN.m Compensação do positivo da L1 M = 1,87 + 0,3 x (3,33 – 2,66) = 2,07 kN.m Para o dimensionamento de lajes no regime elástico, Kl = 0,32 para fck ≤ 35 MPa Kl = 0,269 para fck >35 MPa M (kN.cm) K As (cm2/m) φ a c/ 698 0,143 2,71 > 1,00 φ 6,0 c/ 10 cm 379 0,078 1,41 > 1,00 φ 5,0 c/ 14 cm 266 0,055 0,98 < (1,50)*** φ 6,0 c/ 18 cm**** 207 0,042 0,76 <(1,50)*** φ 5,0 c/ 13 cm N1 – 47 φ 5,0 c/ 13 - 235 N3 – 60 φ 6,0 c/10 - 435 N4 – 34 φ 6,0 c/18 - 125 N 2 -1 0 φ 5, 0 c/ 22 - 63 5 8 8 109 29 N 2 c/ 14 55 Figura 9 – Desenho de armação, regime elástico 92 A posição N4 ficou a mesma do regime rígido-plástico. Lista de ferros N φ (mm) Quant. Comp. (cm) 1 5 47 235 2 5 39 635 3 6 60 435 4 6 34 125 Resumo CA-60 φ Comp. (m) Peso (kgf) 5 606 96 6 132 30 Total 126 Consumo = 125/4,22 = 30 kg/m3 Obs.: Tanto no regime rígido-plástico quanto no plástico a ferragem negativa pode ser alternada. Já as positivas nunca poderão ser alternadas no regime plástico, pois pressupõe-se momento de plastificação positivo constante. No regime elástico as armaduras positivas podem também ser alternadas, usando-se em termos práticos os valores 0,85 . L, 0,80 . L e 0,75 . L para lajes respectivamente engastadas-engastadas, engastadas-apoiadas e apoiadas-apoiadas, onde L é o vão da laje onde se está alternando a armação. Pode-se simplificadamente adotar um valor médio único de 0,80 . L para as três condições de contorno acima. 93 Capítulo 4 - CONTROLE DA FISSURAÇÃO 4.1 – Introdução A fissuração é um fenômeno inevitável no concreto armado (não protendido), devido à baixa resistência do concreto à tração, normalmente desprezada no projeto. Mesmo sob as ações de serviço (utilização), valores críticos de tensões de tração no concreto são atingidos e visando um melhor desempenho na proteção das armaduras contra a corrosão e uma aceitabilidade sensorial dos usuários, devem-se controlar adequadamente as aberturas das fissuras, dentro de valores pré-estabelecidos de acordo com a classe de agressividade ambiental – CAA (tabela 4.1). Tabela 4.1 – Classes de agressividade ambiental Classe de agressividade ambiental Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto Risco de deterioração da estrutura I Fraca Rural Insignificante Submersa II Moderada Urbana Pequeno III Forte Marinha Grande Industrial IV Muito forte Industrial Elevado Respingos de maré Segundo o Prof. Tepedino, “De uma maneira geral, a presença de fissuras com aberturas que respeitem os limites dados na tabela 4.2, em estruturas bem projetadas, construídas e submetidas às cargas previstas na normalização, não denotam perda de durabilidade ou perda de segurança quanto aos estados limites últimos. 94