Baixe Resumo de Séries e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity! G r u p o M a t e m á t i c o s Ματ ξΜατγκφ δ http://groups.google.com/group/matematicafema E~mail: matematicafema@googlegroups.com Luiz Francisco Batista Sampaio sanuzukesagara@gmail.com Séries Infinitas Definição de Série Infinita: Se { }nu é uma seqüência e n 1 2 3 ns u u u . . . u= + + + + então { }nu é uma seqüência de somas parciais denominada série infinita e se denota por n 1 2 3 n n 1 u u u u . . . u . . . +∞ = = + + + + +∑ Os números 1u , 2u , 3u , ... , nu , ... são os termos da série infinita. Definição da soma de uma Série Infinita: Considere que n n 1 u +∞ = ∑ denota uma série infinita dada para a qual { }ns é a seqüência de somas parciais. Se n x l im s →+∞ existe e é igual a S, então a série converge e S é a soma da série. Se n x l im s →+∞ não existe, então a série é divergente, e a série não tem soma. Teorema: Seja c qualquer constante diferente de 0 • Se a série n n 1 u +∞ = ∑ é convergente e sua suma é S, então a série n n 1 cu +∞ = ∑ , também é convergente e sua soma é c . S. • Se a série n n 1 u +∞ = ∑ é divergente, então a série n n 1 cu +∞ = ∑ , também é divergente. Teorema: Se n n 1 a +∞ = ∑ e n n 1 b +∞ = ∑ são séries infinitas convergentes cujas somas são S e T, respectivamente, então • ( )n n n 1 a b +∞ = +∑ é uma série convergente e sua suma é S + T. • ( )n n n 1 a b +∞ = −∑ é uma série convergente e sua soma é S + T. Teorema: Se a série n n 1 a +∞ = ∑ é convergente e a série n n 1 b +∞ = ∑ é divergente, então ( )n n n 1 a b +∞ = ±∑ é uma série divergente. G r u p o M a t h e m a t h y k o s Ματ ξΜατγκφ δ - 2 “A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei Teorema: Se n n 1 u +∞ = ∑ é uma série convergente de termos positivos, então seus termos podem ser reagrupados de qualquer maneira, de modo que a série resultante, também será convergente e terá a mesma soma da série original. Definição de Função: Se n n 1 u +∞ = ∑ é uma série convergente de termos positivos, então a ordem dos termos podem ser modificados, e a série resultante também será convergente e terá a mesma soma da série original. Teorema: Se n n 1 a +∞ = ∑ e n n 1 b +∞ = ∑ são séries infinitas, que diferem unicamente em seus primeiros m termos (é dizer, k ka b= se k m> ), então as duas séries são convergentes ou ambas são divergentes. Teorema: uma série infinita de termos positivos é convergente se, e somente se, sua seqüência de somas parciais tiver um limitante superior. Definição de Série Alternada: Se na 0> para todos os números inteiros positivos n, então a série ( ) ( )n 1 n 1n 1 2 3 4 n n 1 1 a a a a a . . . 1 a . . . +∞ + + = − = − + − + − − +∑ e a série ( ) ( )n nn 1 2 3 4 n n 1 1 a a a a a . . . 1 a . . . +∞ = − = − + − + − + − +∑ denominam-se séries alternadas Definição do Erro depois de k termos: Se uma série infinita é convergente e sua soma é S, então o erro depois de k termos, se obtém ao aproximar a soma da série mediante a k-éssima soma parcial ks , denotado por kR é k nR S s= − Teorema: Considere a série alternada ( )n 1 n n 1 1 a +∞ + = −∑ ou ( )n n n 1 1 a +∞ = −∑ , aonde na 0> e n 1 na a+ > para todos os números inteiros positivos n. Se n x l im a 0 →+∞ = . Se kR é o erro obtido ao aproximar a soma da série mediante a soma dos primeiros k termos, então k k 1R a +< . G r u p o M a t h e m a t h y k o s Ματ ξΜατγκφ δ - 5 “A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei Teorema: Critério da Raiz Seja as série n n 1 u +∞ = ∑ uma série infinita para a qual cada nu é diferente de zero: • Se n n 1 x l im u L 1+→+∞ = < , então a série é absolutamente convergente. • Se n n 1 x l im u L 1+→+∞ = > ou se n n 1 x l im u +→+∞ = +∞ então a série é divergente. • Se n n 1 x l im u 1+→+∞ = , não se pode concluir nada acerca da convergência a partir deste critério. Teorema: Critério Raabe´s Seja as série n n 1 u +∞ = ∑ uma série infinita dada para o qual n x n 1 u l im 1 u→+∞ + = . Então: • Se n 1 x n u l im n 1 P 1 u + →+∞   − = >     ou n 1 x n u l im n 1 u + →+∞   − = +∞     então a série é absolutamente convergente. • Se n 1 x n u l im n 1 P 1 u + →+∞   − = <     ou n 1 x n u l im n 1 u + →+∞   − = −∞     então a série é divergente. • Se n 1 x n u l im n 1 1 u + →+∞   − =     ou n 1 x n u l im n 1 u + →+∞   − = ∃     , não se pode concluir nada acerca da convergência a partir deste critério. Resumos dos Critérios de Convergência e Divergência de Séries Infinitas A fim de adquirir destreza no reconhecimento e aplicação do critério apropriado, se requer considerável pratica, a qual se obtém realizando vários exercícios. Como ajuda, são listados abaixo algum passos e se aconselha que sejam aplicados na ordem indicada. Se algum passo em particular não é aplicável o não pode levá-lo a nenhuma conclusão, continue com o próximo passo. Algumas vezes poderá ser aplicado mais de um critério, contudo, deve-se aplicar o mais eficaz. Modelo I 1-) Calcule o n x l im u →+∞ . Se n x l im u 0 →+∞ ≠ , então a série diverge. Se n x l im u 0 →+∞ = , não se pode concluir nada através deste passo; 2-) Examine a série a fim de determinar se corresponde a um dos seguintes tipos especiais: • Uma serie geométrica; n 1 n 1 a r +∞ − = ∑ . Convergente para ( ) a 1 r− se r 1< . Divergente si r 1≥ ; G r u p o M a t h e m a t h y k o s Ματ ξΜατγκφ δ - 6 “A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei • Uma p-série: p n 1 1 n +∞ = ∑ (aonde p é uma constante). Convergente se p 1> . Divergente se p 1≤ ; • Uma série alternada: ( )n 1 n n 1 1 a +∞ + = −∑ ou ( )n n n 1 1 a +∞ = −∑ . Aplique o critério da série alternada: se na 0> e n 1 na a+ > para todos os números inteiros positivos n. Se n x l im a 0 →+∞ = , então a série alternada é convergente. 3-) Aplique o critério da razão: seja as série n n 1 u +∞ = ∑ uma série infinita para a qual cada nu é diferente de zero: • Se n 1 x n u l im L 1 u + →+∞ = < , então a série é absolutamente convergente. • Se n 1 x n u l im L 1 u + →+∞ = > ou se n 1 x n u l im u + →+∞ = +∞ então a série é divergente. • Se n 1 x n u l im 1 u + →+∞ = , não se pode concluir nada acerca da convergência a partir deste critério. 5-) Aplique o critério da integral: seja f uma função continua, decrescente, e de valores positivos para todo x 1≥ . Então a série infinita ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 f (n) f 1 f 2 f 3 . . . f n . . . +∞ = = + + + + +∑ é convergente se a integral 1 f (x)d x +∞ ∫ existe, e é divergente si b b 1 l im f (x)d x →∞ = +∞∫ . 6-) Aplique o critério de comparação: seja a série n n 1 u +∞ = ∑ uma série de termos positivos • Se n n 1 v +∞ = ∑ é uma série de termos positivos que é convergente, e n nu v≤ para todos os números inteiros positivos n, então n n 1 u +∞ = ∑ é convergente. • Se n n 1 w +∞ = ∑ é uma série de termos positivos que é divergente, e n nu w≥ para todos os números inteiros positivos n, então n n 1 u +∞ = ∑ é divergente. G r u p o M a t h e m a t h y k o s Ματ ξΜατγκφ δ - 7 “A matemática foi o alfabeto criado por Deus para descrever o Universo.” – Galileu Galilei 7-) Aplique o teste de comparação por limite: seja as série n n 1 u +∞ = ∑ e n n 1 v +∞ = ∑ duas séries de termos positivos • Se n x n u l im c 0 v→+∞ = > , então as séries são convergentes ou ambas as séries são divergentes. • Se n x n u l im 0 v→+∞ = , e se n n 1 v +∞ = ∑ é uma série convergente, então n n 1 u +∞ = ∑ é uma série convergente. Se n n 1 v +∞ = ∑ é uma série divergente nada podemos concluir. • Se n x n u l im v→+∞ = +∞ , e se n n 1 v +∞ = ∑ é uma série divergente, então n n 1 u +∞ = ∑ é uma série divergente. Se n n 1 v +∞ = ∑ é uma série convergente nada podemos concluir. Modelo II A seguintes etapas podem ser freqüentemente utilizadas para determinar se uma serie infinita n n 1 u +∞ = ∑ é convergente ou divergente: 1-) se n 1nu a r −= , sendo a 0≠ , é uma série geométrica, onde: • Se r 1< , a série é convergente e sua soma é a 1 r− ; • Se r 1≥ , a série é divergente. 2-) Se n n n 1u a a −= − e n x l ima 0 →∞ = , então utilizar o método do encurtamento da série (telescoping serie) e cuja soma é 0a . 3-) Se n p a u n = , sendo a 0≠ , a série é uma constante multiplicada por uma p-série. • Se p 1> , a série é convergente; • Se p 1≤ , a série é divergente. 4-) Calculando n x l im u L →+∞ = • Se L 0≠ , a série é divergente;