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Guias e Dicas
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Resistência dos Materiais, Notas de estudo de Engenharia Agrícola

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Tipologia: Notas de estudo

Antes de 2010

Compartilhado em 26/10/2008

fabio-calixto-marquez-8
fabio-calixto-marquez-8 🇧🇷

4.8

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Baixe Resistência dos Materiais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Agrícola, somente na Docsity! F V UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Ls DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AGRÍCOLA CONSTRUÇÕES RURAIS E AMBIÊNCIA fone (031) 899-2729 fax (031) 899-2735 e-mail: dea O mail. ufv.br 36571-000 VIÇOSA - MG - BRASIL UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E DIMENCIONAMENTO DE ESTRUTURAS PARA CONSTRUÇÕES RURAIS ENG 350 Prof. Fernando da Costa Baêta Prof. Valmir Sartor 1999 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS E DIMENSIONAMENTOS DE ESTRUTURAS PARA CONSTRUÇÕES RURAIS O projeto da estrutura de qualquer edificação, máquina ou outro elemento qualquer é um estudo através do qual a estrutura em si e suas partes componentes são dimensionadas de forma que tenham resistência suficiente para suportar os esforços para as condições de uso a que serão submetidas. Este processo envolve a análise de tensões das partes componentes da estrutura e considerações a respeito das propriedades mecânicas dos materiais. A análise de tensões, esforços e as propriedades mecânicas dos materiais são os principais aspectos da resistência dos materiais. A determinação dos esforços e as deformações da estrutura quando as mesmas são solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas, movimentos de seus apoios, etc.) são os principais aspectos da análise estrutural. Finalmente, com base em um coeficiente de segurança desejável e na análise estrutural chega-se às dimensões dos elementos estruturais. 1. Tensão, Resistência e Coeficiente de Segurança. 1.1. Tensão. As parcelas de forças interiores de um corpo, que atuam na unidade de superfície de uma seção qualquer desse corpo (mn, 1em?, Im), denominam-se TENSÕES, sendo também chamadas SOLICITAÇÕES. As unidades de tensão são as seguintes: t/em?, kg/cm?, kg/mm? e Pa=N/m?. Distinguem-se dois tipos de tensões: a) Tensões Normais, que atuam na direção perpendicular à seção transversal da peça, e podem ser: -tensão de compressão, 6. (-) ou -tensão de tração, 6, (+). b) Tensões Cisalhantes ou de Corte (7), que atuam tangencialmente à seção transversal. Então: ou a N H »l|m a N H >» Aumentando-se gradativamente a força externa que atua em um determinado corpo, ocorrerá, finalmente, a destruição ou ruptura do mesmo. A tensão calculada com a carga máxima que o corpo suporta (Pmax) e a seção transversal original (A,) do mesmo, denomina-se TENSÃO DE RUPTURA ou TENSÃO ESTÁTICA. Ou seja: 1» Ferro fundido... v=4a8 madeira v=25 a 7,5 Alvenaria v=5 a 20 Na escolha do coeficiente de segurança, com consegiiente determinação da tensão admissível, o calculista deve fregiientemente consultar prescrições, regulamentos e resultados de ensaios que são continuamente atualizados e publicados por órgãos oficiais. Na falta de valores de tensão admissível determinados especificamente para o material que se vai utilizar, as Tabelas a seguir fornecem os valores médios para diversos materiais de construção. TENSÕES ADMISSÍVEIS (de Trabalho) e PESOS ESPECÍFICOS para Diferentes Materiais de Construção. Materiais p. Espec. Tração Compressão Cisalhamento Flexão (kg/m?) (kg/em?) (kg/em?) (kg/em?) (kg/em?) FERRO Laminado 7650 1250 1100 1000 1250 Fundido 7200 300 800 240 300 MADEIRAS* Duras 1050 HO 80 65 HO Semi-duras 800 80 70 55 80 Brandas 650 60 50 35 55 ALVENARIA Pedra 2200 - 17 - - Tijolos 1600 - 7 - - comuns Tijolos 1200 - 6 - - furados Tij. Prensados 1800 - u - - CONCRETOS Simples 1:3:6 2200 - 18 - - Armado 1:2:4 2400 - 45 - - Ciclópico 2200 - 18 - - 1:3:6 * Compressão paralela às e cisallamento perpendicular às fibras. Propriedades Mecânica e TENSÕES ADMISSÍVEIS (de Trabalho) de Algumas Madeiras Brasileiras. Madeiras Peso Módulo de Tensões admissiveis específico | Elasticidade (Peças de 2º categ.) kg/cm? (a 15 % de Em Nomes vulgares Nomes umidade) (flexão) Compessão Flexão Cisalhamento botânicos e tração kgfm? Kg/em? lo. Lo. G=G Ligações Vigas Maçaranduba Manikara 1200 183 000 130 39 220 25 17 Ipê tabaco Tecoma 1030 153 800 124 37 29 20 13 ou Ipê amarelo eximia Eucalipto Eucalyptus 1000 136 000 100 30 170 22 15 citriodora citriodora Ipê roxo ou Tecoma 960 165 000 138 41 231 22 14 Ipê preto lipetiginosa Gonçalo Alves ou | Astronium 910 141000 126 38 181 28 19 Guanta fraxinifolium Canafistula Cassia 870 122400 115 35 154 19 13 ferruginea Andiroba Carapa 720 116000 75 22 120 15 10 guianensis Peroba de Campos | Paralecoma 720 119 600 93 28 148 18 12 ou Ipê Peroba peroba Pinho do Paraná | Araucaria 540 105 225 51 15 87 9 6 ou Pinho Brasileiro | Angustifolia 1.4. Aplicações a) A carga de ruptura por tração de uma barra redonda de aço, com diâmetro de 20 mm, é de 12.500 kg. Qual é a resistência à tração desse aço e qual é o coeficiente de segurança existente quando G,am = 1.400 kg/cm? ? Prá . 2 12500k — [20mm 12.500kg o, = Ju —, 12500 he 081 po tem —L ++ do n2 4 em Ê v= CS 5298 helen a Gaim 1.400 kg/cm” b) Um prisma de madeira de pinho com seção 6x6 cm é comprimido paralelamente às fibras. Verifica-se a ruptura quando a carga atinge 11,8 t. Qual a resistência à compressão dessa madeira e a Gaim quando v = 4? 18,8t Pas . 2 GS = Pois, 1800 kg og kg/cm CA 36 cmí 6, 328 kg/cm? Gim= ES adm > 82kg /cm? pes c) Um pilar está carregado com 35 t. Com que carga dever-se-á registrar a ruptura se o mesmo foi calculado com coeficiente de segurança igual a 8 ? Lim o Pi = 506,=VO am E =v. A A Sim Ouseja, P=v.Pam =8x351=280t 5000 4000 3000 2000 Tensão de tração (kg/cm?) 1000 04 T T T T 1 0 5 10 15 20 25 Deformação (%) Onde: APEFBZ = Diagrama Tensão-Deformação de Tração, P = Limite de proporcionalidade, E = Limite de elasticidade, F= Tensão de escoamento, B = Ponto de força máxima, e Z = Ruptura. A partir do ponto F as deformações do corpo continuam a aumentar até um certo limite, para um mesmo valor de tensão aplicada, ocorrendo escoamento no interior do corpo e provocando deformação quase sempre visual, com posterior rearranjo de sua estrutura, normalmente capaz de suportar maiores cargas. GS Desta forma, para efeitos práticos, a tensão admissível é assim calculada: Cm = Vv us . n Pax A resistência máxima é dada por: Cry = A. o AL ax O alongamento total até à ruptura é dado por: ô= “Lo o 2.5. Materiais Dúcteis e Quebradiços Dá-se o nome de DUCTIBILIDADE à propriedade apresentada pelos materiais que têm grandes alongamentos de ruptura, ou seja, apresentam grandes deformações antes de romperem (caso do aço e do alumínio). Se a ruptura ocorre de súbito, já com pequenos alongamentos, diz- se que o material é QUEBRADIÇO ou frágil, sendo sensível a pancadas e solicitações do tipo vibratório (caso do ferro fundido e do concreto). 2.6. Lei de Hooke e Módulo de Elasticidade No intervalo em que o diagrama tensão-deformação se desenvolve retilineamente, as tensões são proporcionais às deformações. Matematicamente pode ser traduzida: Onde q é o COEFICIENTE DE ELASTICIDADE, número que expressa o alongamento da peça (AL) por unidade de tensão (6). 1 Como & é muito pequeno, normalmente trabalha-se com o seu inverso, ou seja: E = q Onde E é denominado MÓDULO DE ELASTICIDADE, que substituído na equação anterior obtêm-se a expressão clássica de HOOKE: S “=p O módulo de Elasticidade (E) é definido como sendo a tesão imaginária (ideal, e medida em kg/em?) que na tração seria capaz de duplicar o comprimento original da peça. Valores aproximados de Módulo de Elasticidade (em kg/em?) para alguns materiai: seguintes: são os 2.100.000 1.000.000 Concreto ... 20.000 à 400.000 Alvenaria de Tijolo. a 20.000 à 200.000 Madeira de Pinho (II à fibra)... 1000.000 (La fibra)... 3.000 2.7. Variação de Comprimento devido à Variações de Temperatura. O aquecimento das estruturas causa DILATAÇÃO das mesmas, enquanto o arrefecimento causa CONTRAÇÃO . Estas deformações podem causar tensões internas nos materiais dos elementos estruturais, semelhantes àquelas devido à esforços externos. Para evitar tensões adicionais nas estruturas, deve-se: - empregar apoios móveis e/ou - juntas de dilatação. A dilatação ou compressão das peças estruturais pode ser calculada pela equação: AL= to AtL Onde, L = comprimento do elemento estrutural un At = variação de temperatura do elemento estrutural, e o, = coeficiente de dilatação térmica O coeficiente de dilatação térmica (Q,), indica a variação de comprimento do elemento estrutural para cada 1ºC de mudança de temperatura do mesmo. Alguns valores aproximados de q, são AÇO... 0,000012 ºC"! ferro fundido e concreto. 0,000010 ºC"! alvenaria de tijolo. 0,000005 ºC"! madeira............ 0,000003 ºC"! Para estruturas de concreto considera-se, em geral, uma variação de temperatura de + 20ºC, e para as estruturas metálicas, de + 35ºC. A retração de argamassa pela evaporação da água tem ação semelhante à variação de comprimento provocada pela diminuição de temperatura. Nas estruturas em concreto simples e concreto armado, a retração deve ser considerada correspondente à uma queda adicional da temperatura de aproximadamente 20ºC. 2.8. Aplicações a) Uma barra de aço circular com 50 cm de comprimento e 22,6 mm de diâmetro, solicitada por uma força de tração de 8.000 kg, apresenta num comprimento de 20 cm um alongamento de 0,19 mm. Calcular a tensão atuante (6), o alongamento relativo (£), o módulo de elasticidade (E). Finalmente, determinar a resistência de ruptura e o alongamento percentual, tendo a peça rompido sob a carga de 16.600 kg e sendo, então, a distância entre as referências de 24,6 em. G=P/A = 8.000/(7 x 2,26'/4) = 1.994 kg/em?. e=AL/L =0,019/20 = 0,00095. E= 1/0,=0/g = 2.000/0,00095 =2.105.263 kg/em? 6,= Pro/Ao = 16.600/( x 2.267/4) = 4.138 kg/cm?. 8 = 100. AL/L, = 100 x (24,6 - 20)/20 = 23 %. b) Um tirante de aço de um telhado tem 18 m de comprimento e 2,8 cm de diâmetro, deve resistir a uma força de tração de 9.600 kg. Calcular sua variação de comprimento total, devido à força aplicada e devido à uma variação de temperatura de + 35 ºC. Alongamento do tirante devido à força: e=ALL e e=0/E, então, AL = (L.oJE. Considerando E = 2.100.000 kg/em?, e 6 =9.600/7 x 1,4?) = 1.560 kg/cm?. AL =(1.800x 1.560)2.100.000 | => AL=134cm. Alongamento do tirante devido à variação de temperatura: 12 Angulo c entre direção da força e direção da fibra. O 10 20 30 40 50 60 70 80 90º | | | | | | | | | | T T T T T T Tensão Admissível de 85 74 Compressão em kg/cm? 3.2.1. Dimensionamento de Pilares ou Colunas de Alvenaria I I I I 63 52 43 35 29 24 21 20 Na compressão é importante a relação ente a menor dimensão da seção transversal (d) e a altura (h) da peça. Para efetuar o dimensionamento de um pilar de alvenaria a tensão admissível, a ser considerada nos cálculos, diminuiu à medida que o GRAU DE ESBELTEZ (h/d) aumenta. A TENSÃO ADMISSÍVEL CORRIGIDA (Gm) Em função do grau de esbeltez é dada por: , Sim —— am" go h onde, para hd = 1 5 10 +++ s = 10 1,4 2,0 — 4y Normalmente, não se trabalha com h/d >10, somente em casos especiais. 3.2.1.1. Aplicação a) Que carga pode suportar um pilar de alvenaria de tijolo maciço comum, 6,am=10 kg/cem?, com seção de 20 x 25cm e 2 m de altura? O cálculo do grau de esbeltez é feito com a menor dimensão transversal, ou seja: h/d = 200/20 = 10 o Sim 5 10 kg /cm? an >5 kg/m? Então, a carga total admissível para a coluna, sem considerar o peso próprio da coluna, será: P=Gm A=5 x 500=2.500 kg. Descontando o peso próprio do pilar, uma vez que esta carga também atua sobra o material da base do mesmo, e considerando o peso específico da alvenaria de tijolo igual a 1.800 kg/m”, tem-se: P=2.500 - (0,20 x 0,25 x 2x 1.800) = 2.320 kg. 3.2.2. Dimensionamento de Pilares ou Colunas de Madeira ou de Aço As colunas ou qualquer outro elemento comprimido que seja de madeira ou de aço podem ser dimensionados verificando: a) A carga máxima que o corpo suporta levando-se em conta a flambagem, empregando-se a equação de Euler ou seja: P ca = carga crítica admissível, kg; = módulo de elasticidade do material, kg/em?; = momento de inércia da seção, em*; comprimento efetivo de flambagem, cm; e = coeficiente de segurança, admensional. 1º xExl erit vxL rem | « I Onde: b) A tensão à compressão atuante no material, ou seja: P 6,= a A < O adm do material. Se as duas condições anteriores são satisfeitas, tudo bem, a coluna é estável. O Momento de Inércia da seção depende da forma, das dimensões e da orientação da mesma. Para o cálculo de elementos comprimidos simples, emprega-se o menor valor entre as direções “x “e “y “. A tabela a seguir apresenta as fórmulas para algumas seções usuais. Momentos de Inércia para algumas Seção Usuais (cm”). Seções a Momento de Inércia Retangular h [PR x | bh? 1 bh “o a «> b 1 Circular Cheia O- L=1 tr! ndº Coca a A Circular Oca = O De Va - n(aj-di) xo dy 64 Perfil 1 O comprimento efetivo de flambagem depende do comprimento de suas extremidades. São quatro os casos a serem considerados: RE E Le=L Le=0,7L Le =0,5L 3.2.2.1. Aplicações a) Uma coluna de 2 m de comprimento tem seção quadrada e é de pinho. Assumindo E = 125.000 kg/em?, Gaim = 120 kg/em? para compressão paralela às fibras, e usando um fator de segurança de 2,5 para calcular a carga crítica de flambagem usando a equação de “Euler”. Determine as dimensões da seção transversal para as cargas de 10.000 kg e de 20.000 kg. Sabe-se que a coluna é articulada nas duas extremidades. (1) Para a carga de 10.000 kg Dados: P. = 10.000 kg; E = 125.000 kg/em?; v=25;L.=L=2m=200cm nº xExl . po PXLV crit = vxL “e = T2xE — 10.000kg x (200cm)? x 2,5 7? x 125.000 kg /cm? 1 > 81 cm «ad =12x81 cm 12 a=(12x81lem)! . a=99em=10cm Estribos d = Smm « P/ cada 20 cm [| [| 1,5 cm de cobertura 3.2.4. Tensões Admissíveis do Solo à Compressão e Cálculo de Fundações Diretas As fundações têm como objetivo compatibilizar a carga transmitida pela obra e a resistência do solo. As fundações diretas são assim chamadas por transmitirem a carga diretamente sobre o solo, e a área de contácto é então função da carga e da tensão admissível do solo. Geralmente as fundações diretas são executadas com 40 a 60 cm de profundidade, dependendo da carga a ser transmitida e do solo, procurando sempre apoia-las em terrenos firmes. A tensão admissível ao solo pode ser estimada pelo processo de percurção e empregando a seguinte equação: SG. = tm" SxC P (Naa Ne) E 2 Onde: roldana G aim = Tensão Admissível do Solo (kg/em?) P = Peso (kg) S = seção do peso (em?) € = coeficiente de segurança (5-10) N = número de quedas (5-10) H= altura de queda (cm) E = aprofundamento no solo (cm) de fundação + 2 E Cada amostragem do método consiste em deixar cair, de uma determinada altura, um peso cilíndrico de valor conhecido, por um determinado número de vezes, e verificar o aprofundamento total causado no solo pelas quedas do mesmo. A determinação deve ser feita na profundidade em que se vai apoiar a sapata, e deve-se fazer no mínimo 3 amostragens em locais diferentes. De uma forma geral são encontradas as seguintes tensões admissíveis para os solos: 1 - Aterros ou entulhos suficientemente tecalcados e consolidados 0,5 kg/em? 2 - Aterros de areias sem possibilidade de fuga... 1,0 kg/em? 3 - Terrenos comuns, bons, como os argilo-aren . embora úmid. 20 kg/em? 4 - Terrenos de excepcional qualidade como os argilo-arenosos secos... 3,5 kg/em? 5 - Rocha viva............... resets 20,0 kg/cm? 20 Para calculo das cargas da obra pode-se utilizar a tabela apresentada a seguir: Cargas por Unidade de Área e Peso Específico de Alguns Elementos Construtivos: Material Cargas Peso Sobrecarga (kg/m?) (kg/m?) (kg/m?) Telhado colonial 140 - 60 Telhado T. Francesa 125 - 60 Telhado C. Amianto 90 - 60 Laje Maciça ou pré-fabricada de forro 120 - 100 Laje Maciça ou pré-fabricada de piso 160 -180 - 200 — 600% Alvenaria Tijolo Maciço - 1.600 - Alvenaria Tijolo Furado - 1.200 - Concreto Armado - 2.000 — 2.400 - Concreto Ciclópico - 1.800 — 2.200 - Revestimento Forro 50 - - Pavimentos Piso 50 —80 - - Revestimento Parede 25 - - * Para depósito vai até 600 kg/m?, dependendo do material a ser estocado, enquanto para residências e escritório fica em torno de 200 kg/m?. 3.2.4.1. Aplicação a) Dimensionar as sapatas isoladas de um galpão com cobertura de cimento-amianto, vão de 11 m, beiral de 0,5 m e pé direito de 3 m. Os pilares são de 0,20 x.0,20m, em concreto armado, espaçados de 4 m entre si. Considere a tensão admissível do solo igual a 1,2 kg/cm?. 4 oo a A eosm esa Área de influência do telhado sobre 1 pilar = 4x 6m TN. - Área de telhado sobre o pilar: (55m+0,5m)x4m=24m - Carga e sobrecarga da cobertura: 90 kg/m? + 60 kg/m? = 150 kg/m? (ver tabela anterior) - Carga sobre o pilar: 150 kg/m? x 24 m? = 3.600 kg - Peso do próprio pilar: 0,2m x 0,2mx3mx 2.400kg/m” =288kg. - Peso próprio estimado da sapata, considerando-a com altura de 50 cm: 0,5m.X.X.2.200 kg/m” = 1.100X? kg - Carga total sobre o solo: 3.600 kg + 288 kg + 1.100X?kg = (3.888 + 1.100X?) kg LU 0,5 EB los X ! sapata (seção X'm?) Gu= Po. 2000 kglm? = (3.888 + 1.100X kg A X“m” 12.000 X? = 3.888 + 1.100X? .. X2=0,357 X=06m Obs: A verificação de que a altura da sapata está aceitavel é empiricamente feita pela fórmula: h=(B-b).0,50 Onde: B = largura maior da sapata b= largura menor do pilar Portanto: H=(0,60- 0,20).0,50 = 0,20 m< 0,50m OK! Finalmente, o dimensionamento complementar é feito recortando, se econômico for, o material que estiver fora da linha do ângulo de 60º, na forma de escada, por ser de fácil construção. b) Dimensionar as sapatas de um galpão com cobertura de telha cerâmica francesa, vão de 11 m, beiral de 0,5 m e pé direito de 3 m. A estrutura de sustentação da cobertura (engradamento) e o forro, apoia-se sobre a parede de alvenaria. Considere a tensão admissível do solo igual a LO kg/em. Obs: No caso de instalações onde as sapatas são contínuas, fixa-se | m de comprimento da mesma, calcula-se a carga de telhado, forro, da parede e peso próprio da fundação neste comprimento, e acha-se a largura necessária. 1- Telhado - Área para Im de parede (55m+05mxIm=6m - Carga e sobrecarga: 125 kg/m? + 60 kg/m? = 185 kg/m? (ver tabela ) - Peso sobre Im de parede 185 kg/m? x 6m?=1.110kg 2 - Laje do forro considerando espessura de 6cm. + Io 0,5m H - Área para Im de parede Im (55m+05mxIm=6m 9 2 c) Calcular a distância “X” no nó da tesoura abaixo, para que a linha resista ao esforço cortante causado pela força transmitida pela perna da tesoura. A T adm. par. (peroba rosa) = 18,1 kg/cm? A=X.7,5 x E A. 7 aim, então E pos Pcos 6=(X.7,5 em) x 18,1 kg/em?. | Se, por exemplo, O = 15º e P=2.100 kg, tem-se: 2.100%; cos15 y= DS à cost, 15 cm 7,5cm x 18cm 5. Dimensionamento de Elementos Flexionados ou vigas Uma peça solicitada à flexão, normalmente chamada de viga, resiste a esforços primeiramente perpendiculares ao seu comprimento. A resistência à flexão é dada pela combinação simultânea da resistência à compressão e à tração. Existe um plano horizontal separando estes dois tipos de res istência que é chamado SUPERFÍCIE NEUTRA. Nesta superfície não existe nem tensão de tração, nem de compressão. 1X Tensão de compressão vo? no Eixo ou linha neutra Tensão de tração Seção Considere “C” a resultante de todas as tensões de compressão atuando na parte superior da seção transversal, e considere “T” a resultante de todas as tensões de tração atuando na parte inferior da mesma seção. A soma dos momentos destas tensões é chamada de MOMENTO RESISTENTE. Para que a viga esteja em equilíbrio, o momento resistente deve ser igual ao MOMENTO FLETOR que atua na mesma. No ponto A: R,.x = momento fletor C.y+7T.y = momento resistente, e C.y+T.y=Rj.x Para qualquer viga o MOMENTO FLETOR MÁXIMO pode ser determinado em função dos esforços externos que atuam na mesma. Para dimensionar uma viga, capaz de suportar estes 25 esforços, precisa-se selecionar um elemento estrutural com uma seção transversal de FORMA, ÁREA e MATERIAL, que seja capaz de desenvolver um momento resistente igual ou maior que o momento fletor máximo, e pode ser equacionado utilizando-se a FÓRMULA FLETORA, em que: M=fxS Onde: M = momento fletor máximo; f = tensão admissível à flexão do material; e S = módulo da seção. Sendo que: sod o Onde: IT = momento de inércia da seção; e C = distância do eixo neutro à extremidade superior ou inferior da viga. Os momentos fletores máximos são tabelados e são função do vão da viga, localização e tipo da carga (concentrada ou uniformemente distribuída) e condição de apoio nos extremos (contínua, engastada ou articulada). A nomenclatura e representação das cargas são: a) carga concentradas b) cargas uniformemente distribuídas a ou W pa RR onde: w = carga uniformente distribuída unitária (ex: 100 kg/m), W = carga uniformente distribuída total ao longo da viga. 5.1. Procedimento no Dimensionamento de Vigas de Madeira O dimensionamento de Vigas, de uma forma geral, pode ser efetuado na seguinte sequência: a) Calcular as cargas que atuam na viga, incluindo o peso próprio, e fazer um esboço mostrando as força as lacalizações. Determinar as reações. b) Determinar o MOMENTO FLETOR MÁXIMO e calcular o MÓDULO DE SEÇÃO (S = M/f). Determinar a seção necessária à flexão, tendo em vista que para a madeira , a largura da seção transversal deve ser 1/3 a 1/2 da altura, para peças retangulares. c) No caso de madeira, verificar se a seção encontrada atende à TENSÃO CISALHANTE HORIZONTAL (v), ou seja: VxQ “2 xs Onde: I = momento de inércia da seção b = largura da viga no local onde v é calculado, V = força vertical cisalhante total na seção considerada Q = MOMENTO ESTÁTICO com relação ao eixo neutro (é a área acima ou abaixo do eixo neutro multiplicada pela distância do seu centróide até o eixo). Para uma seção retangular: ho h bxh Q=[bxi)xd = 8 po dt então 12 30 vV “=2*bxh centróide da seção comprimida ONA eixo neutro A tensão cisalhante horizontal (v) deverá ser menor que a tensão admissível cisalhante do material na direção considerada. d) Verificar a flecha máxima causada na viga pela ação das cargas. Normalmente, uma flecha de “vão/360 “ é considerada como limite. e) Quando a seção que satisfaz todos os requisitos anteriores é encontrada, o comprimento de apoio da viga deve ser determinado em função da tensão de compressão perpendicular ao comprimento da viga. Diagramas e Fórmulas para Algumas Vigas Usuais. W = Carga uniformemente distribuída total. P = Carga concentrada. L=vVão. V = Esforço cortante. M = Momento fletor. D = Flexão máxima. L2 L2 R; R; L [ow A LL SAS 1=Ro=P/2 Vmax = P/2 1=Ro=P2 Vmx=P2 W=wL PL PL 2 3 Ma = PE - Mu wi WL 5 NL 4 48EI 8 8 384 EI | L/3 L/3 L/3 L/4 L/4 L/4 L/4 ' Pp p Pp Pp Ri Ki Ri KI EE EO » Aplicações a) Uma viga de madeira tem vão de 4,5 m com cargas concentradas de 1.500 kg aplicadas a cada 1/3 do vão . Existe ainda uma carga uniformemente distribuída de 300 kg/m (incluindo o peso próprio da viga) sobre todo o vão. A flecha é limitada a 1/360 do vão. Dados: f = 98 kg/cm? Vadm. // = 8 kg/em? E = 108.000 kg/cm? Gaim L = 20 kg/em? 1.500 1.500kg w = 300 kg/m R; Ro 15 15 15m Para resolver o problema, considerar a atuação dos esforços concentrados separadamente dos uniformemente distribuídos e fazer a composição no final de cada caso. As equações para determinar as reações (R), o esforço cortante (v), o momento fletor (M) e a flecha máxima (D), encontram-se na tabela anterior. Cargas concentradas: Re =Ry=P=1.500kg | L/3 L/3 L/3 | I P| Í Vmáce = P= 1.500kg Ri K7 M =D, O, 2.250 kem Cargas Uniformemente Distribuídas: W=w.L=300kgmx4,5m= 1.350kg w IM mix = = > ni => 759,4 kgm = 5 WD =— X 384 El 30 Determinação da seção inicial da viga: Maná = Mmíxe + Mmixu = 2.250kgm + 759,4 kgm = 3.009,4 kg.m sendo f= 98 kg/cm?. M ax 300.940 kg.cm S= — = 3.070,8 cm” f 98 kg /cm” I bh S=-—. “ I= h2. 1| ne 1 LN c 12 h/2 ! bhº oa , 2 s=12 5 bh sho bh Ea Seb= Vide h, então: 2 hTp'276 2 3 s=h,A 5530708 om 26 1 h=(36.849,6)!º .. n=333em=34em -. b=166cm=17em As vigas de madeira normalmente não apresentam problemas quanto ao cisalhamento perpendicular à peça. No entanto, o deslizamento de fibras, cisalhamento paralelo, é fregiiente e deve ser verificado. Verificando o Esforço Cortante para uma seção retangular: V, . 2 Tuas = Dame à 1500RE +6ThE spo gem? “2 bh 2 17cm x 34cm Tuas < Tam = 8 kg/m? OK! Verificação da deformação. A flecha permitida = 1/360 x L = 1/360x 450 cm= 1,25 cm Dia = Dinóx.c + Dinóxu 3 PL 5 WD 648 El 384 El Sendo: E = 108.000 kg/cm? total = L = 450cm W= 1.350kg bh” 17x34 P = 1.500kg I= 0 = = 55.681 cm! 12 12 p =, 150 x 450" 45 (1350 x 450º 1.350. cul 648" 108.000 x 55.681 384 108.000 x 55.681 EL Dou=08 + 03=lLlcm < 1,25em OK! 31 Caso a flecha calculada fosse maior que a flecha permitida, uma nova seção deveria ser achada em função da flecha máxima permitida. 23 PÉ 5 WL 23.P 5W pr total = x + x > + x 648 El 384 EI 648 384 EI pr E P SW ) bh? ou [= + e I= total E xDoul 648 384 12 Comprimento mínimo de apoio da viga: Cada lado da viga deve resistir ao esmagamento, à uma carga igual à reação de apoio do referido lado. Ri = Re + Ry= 1500kg + 675kg =2175kg 2175 kg 0 2475 Gadm.comp 1 = 20 kg/em? = 1 e=D— im. comp + s 7cmxe 17 x 20 Caso o apoio da viga seja de material menos resistente que a madeira o comprimento mínimo passa a ser calculado em função da tensão admissível do mesmo. b) Dimensionar as vigas de seção circular de uma ponte de madeira, cujo assoalho é constituído de madeira roliça e terra e possui 3 m de largura. As vigas (duas de cada lado), deverão ser espaçadas de forma que as rodas passarão sobre as mesmas. O peso máximo permitido aos veículos será de 10.000 kg, vão de 8 m e a flecha não é problema. care derar tudo + D.5m e “vigas [o Dados: Peso Específico da madeira = 850 kg/m”; Peso Específico da terra = 1.800 kg/m”; Emadeia = 70 kg/em?; Cum comi = I8kg/em?; 32 Gun comps = 18 kg/em” 5785 kg 28 cmxe 5.2. Procedimento no Dimensionamento de Vigas de Perfis Metálicos , = 597855 28 x 18 => 119 cm Para a solução de problemas deste tipo, segue-se o procedimento do item 5.1, porém, dois aspectos devem ser observados: - a tensão cisalhante crítica, a ser verificada, é a transversal à peça; e - normalmente trabalh: e com tabelas onde as propriedades das seções comerciai calculadas, o que simplifica nossos cálculos. Uma destas tabelas é apresentada a seguir: Tabela de Propriedade para Cálculos do Perfil Metálico H. Ex:W310 x 143 W = simbologia para perfil de aba larga; 310 = altura da viga em mm; e 143 = massa em kg/ml. ão pré- 35 Designação | Área h b t v Plano Neutro (x — x) Plano Neutro (y — y) (mm2) (mm) (mm) | (mm) (mm) I s r I s r GOSmm?) (1Olmm?) (mm) | (109 mm? (10!mm? (mm) W310x 143.0) 18200 323 309] 22.9 14.0 347.0 2150 138.2 112.40 728.0 78.5 107.0] 13600 311 306] 17.0 10.9 248.0 1595 134.9 81.20 531.0 77.2 74.0] 9480 310 205| 16.3 9.4 164.0 1058 131.6 23.40 228.0 49.2) 60.0, 7610 303 203] 13.1 7.5 129.0 851 1303 18.36 180.9 49.0] 44.5) 5670 313 166] 11.2 6.6 99.1 633 1323 8.45 101.8 38.6 38.7] 4940 310 165] 9.7 5.8 84.9 548 1313 7.20 87.3 38.4 32.7) 4180 313 102] 10.8 6.6 64.9 415 1247 1.94 38.0 21.5 23.8/ 3040 305 101 67 5.6 42.9 281 118.6 117 23.2 19.6 W250x 167.0) 21200 289 265] 31.8 19.2 298.0 2060 118.4 98.20 741.0 68.1 101.0] 12900 264 257] 19.6 11.9 164.0 1242 1128 55.80 434.0 65.8 80.0| 10200 256 255| 15.6 9.4 126.1 985 111.0 42.80 336.0 65.0 67.0] 8580 257 204] 15.7 8.9 103.2 803 110.0 22.20 218.0 511 58.0, 7420 252 203] 13.5 8.0 87.0 690 108.5 18.73 184.5 50.3 44.8) 5700 266 148] 13.0 7.6 70.8 532 1113 6.95 93.9 34.8 32.7] 4190 258 146) 91 61 49.1 381 108.5 4.75 65.1 33.8 28.4] 3630 260 102] 10.0 6.4 40.1 308 105.2 1.80 35.2 22.3| 2850 254 102] 69 5.8 287 226 100.3 1.20 23.6 W200x 86.0) 11000 222 209] 20.6 13.0 94.9 855 927 31.30 300.0 53.3 71.0] 9100 216 206] 174 10.2 76.6 709 91.7 25.30 240.0 52.8 59.0 7550 210 205| 14.2 91 60.8 579 89.7 20.40 199.0 51.8 52.0] 6650 206 204] 12.6 7.9 52.9 514 89.2 17.73 173.8 51.6 46.1) 5890 203 203] 11.0 7.2 45.8 451 88.1 15.44 1521 51.3 41.7) 5320 205 166) 11.8 7.2 40.8 398 87.6 9.03 108.8 411 35.9) 4570 201 165| 10.2 6.2 34.5 343 86.9 7.62 92.4 40.9] 31.3] 3970 210 134] 10.2 6.4 31.3 298 88.6 4.07 60.7 32.0 26.6) 3390 207 133] 84 5.8 25.8 249 871 3.32 49.9 31.2 22.5] 2860 206 102] 8.0 6.2 20.0 194 83.6 1.49 22.3 19.3] 2480 203 102] 6.5 5.8 16.5 162 81.5 1.14 21.4 Wl50x 37.1) 4740 162 154] 11.6 81 22.2 274 68.6 712 38.6 29.8] 3790 157 153] 93 6.6 17.2 219 67.6 5.54 38.1 24.0] 3060 160 102] 10.3 6.6 13.4 67 66.0 1.84 24.6 18.0, 2290 153 102) 71 5.8 9.2 120 63.2 1.25 23.3 3.51 1730 150 100) 51 4.3 6.8 91 62.7 0.92 23.0 Wi30x 28.1) 3590 131 128] 10.9 6.9 10.9 67 55.1 3.80 32.5 23.8 3040 127 127 9.1 6.1 89 140 54.1 W100 x 19.3 2470 106 103 8.8 71 47 89 43.7 36 5.2.1. Aplicação a) Se as vigas do problema anterior fossem de perfil metálico H, quais seriam suas especificações? Considerando: fico = 12,50 kg/mm? e vam =7,60 kg/mm? Determinando a seção: M ax — (5.000 +5.400) kgm > = 832.000 cm” f 12,5 kg /mm” s= Indo à tabela das seções do perfil H, pode-se utilizar: W310 x 60; W250 x 80 ou W200 x 86 Considerando o perfil metálico mais pesado para calcular o peso próprio, tem-se: 86kgm x 8m = 688kg Recalculando, W = 5400kg + 688kg = 6.088kg May = VE O088ke x 6m o ogg kym w máx 8 8 M ax — (5.000 + 6.088) kgm S=— = = 887.040 cm” f 12,5 kg /mm” Agora, W 310 x 74 Ou W 250 x 80 atendem. Escolher a mais econômica. 16,3 Ex:W310 x 74 o W = simbologia para perfil de aba larga; q 310 = altura da viga em mm; e 310 2 9,4 74 = massaem kg/ml. [o Obs = dimensões em mm. |e—20s —] Verificando o cisalhamento; Para o perfil metálico, a resistência ao cisalhamento mais importante é aquela que considera o corte transversal da peça, que é dado pela seguinte fórmula: Va . += Via, 2500hg + 3.044kg = => 2,05 kg/cem? < 7,6 kgmm? OK! dxt 310mm x 9,4mm 37 As inclinações mínimas e máximas para cada tipo de cobertura e a correspondência entre ponto, percentagem e ângulo são apresentadas a seguir: Inclinação mínima e máxima para as coberturas mais comuns Tipos de telha Inclinação Mínima Máxima Cerâmica francesa 26º — 50% 60º Cerâmica colonial 15º — 28% 45º Ferro galvanizado 10º— 18% 90º Cimento-amianto 10º— 18% 90º Alumínio 10º— 18% 90º Compensado — madeirite 10º— 18% 90º Tipo calha 3º — 6% 90º Relação entre inclinação em percentagem e ângulo Inclinaç INILINAÇÃO a As telhas de barro apoiam-se sobre as ripas, e estas sobre os caibros, e estes sobre as terças (trama). As terças apoiam-se sobre as tesouras de telhado que encarregam-se de transmitir a carga permanente mais a acidental sobre os pilares ou paredes. As telhas leves, tipo cimento- amianto, apoiam-se no sentido do seu comprimento sobre as terças, e estas sobre a tesoura (treliça) de telhado. As ripas, os caibros e as terças são solicitados à flexão e são dimensionados como vigas. As tesouras de telhado: 40 ão sistemas estruturais (treliças) construídos de forma que todos os ALTURA amem elementos sejam solicitados à compressão ou tração, com o objetivo de venceram maiores vãos com menor gasto de material estrutural. Nas figuras abaixo pode-se observar uma tesoura simples (tipo 1), uma tesoura normal (tipo 2) e uma tesoura complexa (tipo 3) que pode vencer vão de até 25m, mesmo em madera. A nomenclatura das partes componentes da tesoura de telhado é também mostrada nesta última figura. | TIPO | NE | E NEN ; | Na ; LES 8 1EECIRA 4 PARAFUSOS As tesouras de telhado podem ser dimensionadas por meio de cálculos estáticos ou por métodos gráficos. O dimensionamento gráfico de uma tesoura pelo Método de Cremona será apresentado a seguir: Considerações: - Telhado com cobertura de cimento-amianto - Vão da tesoura = 14m - Distância entre tesouras = 4,0m - Distância entre terças = 1,69m - Inclinação do telhado = 15º Cálculo das cargas sobre cada nó: Considera-se a área de influência da cobertura sobre uma das terças: 4,00m x 1,69 m = 6,76 mº Peso da cobertura e acessório 21 kg/m? Peso próprio da terça (estimado) 17 kg/m Ação do vento (segundo NB —5) 18 kg/m? Carga por nó = 6,76 m? x (21 + 17 + 18) kg/m? = 378,6 kg Esquema da estrutura e cargas atuantes: 41 Determinação dos Esforços: Por se tratar de cargas em posições simétricas, tem-se: Ra=Ro=(380x8)/2=1.520kg Será aplicado o método de Cremona, para a determinação dos esforços nas barras do sistema. Convenções: I- A análise em equilíbrio em cada nó sucessivo é feita da esquerda para a direita (sentido horário), procurando-se aquele nó onde concorrem não mais do que três barras, ou que pelo menos sejam desconhecidos apenas os esforços em duas barras. Isto, para que não haja a necessidade de recorrer a equações auxiliares, a fim de levantar sua indeterminação estática, pois é sabido que uma força só pode ser decomposta em duas únicas direções não concorrentes. H — Em cada nó a composição de forças (as externas e os esforços em cada barra) é feita também no sentido horário. HI — As forças em equilíbrio em cada nó têm seu sentido indicado por flechas no polígono de forças, as quais são transladadas no nó do esquema da estrutura, adotando-se a seguinte convenção: na barra correspondente, se a flecha se dirige para o nó de cada extremidade, considera-se a barra em compressão, e, em tração no caso contrário. IV — Passando-se à análise ao nó seguinte ao estudado, inverte-se o sentido da flecha na barra que se dirige a este nó, indicando-a com dupla flecha. Isto posto, procede-se à pesquisa dos esforços da seguinte maneira: A — Compõe-se em escala gráfica o polígono de forças (as externas e esforços nas barras) que concorrem no nó do apoio esquerdo (parte direita do diagrama de força): tem-se então a reação Ra, a força Po = 380/2 kg, o esforço na barra 1, segundo a direção que ocupa na tesoura e o esforço na barra 2 da mesma forma. Vê-se pois, que o polígono de forças Ra-Po-1-2 está em equilíbrio, por estar fechado, isto é, a extremidade do esforço na barra 2 coincide com a origem da força que representa a reação de apoio, e o sentido indicado pelas flechas é contínuo em uma única direção. B — Translada-se o nó seguinte, que é C, invertendo, conforme a regra, o sentido do esforço na barra de conexão a este nó, que é a barra 1, indicando esta inversão com a flecha dupla no 42 — — TRACIONADA PEÇA Do a A — EA couros GS S EsroRço REAção ExtERNO INTERNA DO MATERIAL 45 DOIS BAMAF-SOS DE QUE tom 4 DIÂMETRO 18 nm 46 Engradamento para coberturas de barro Inclinação do telhado >21,8º i cia entre tesouras <3,5m cia entre caibros < 0,5m Madeiras Gaim. Comp: > 70 kg/em? Gaim tr > 70 kg/em? Tadme // > 20 kg/em” — 3 Ra Ra 4 DD. Vão até (m) 5 7 9 u 13 15 Tesoura tipo 2 2 2 3 3 4 No de terças 5 5 5 7 7 9 Caibros 38x 7,5, 7,5x75, 7,5x75, 7,5x75, 7,5x75, 7,5x75, Terças 7,5x 15 7,5x 23 7,5x23 7,5x 23 7,5x 23 7,5x 23 Perna 7,5x75, 7,5x 15 7,5x 23 7,5x 23 7,5x 23 7,5x 23 Asna 7,5x75, 7,5x75, 7,5x10 | 7,5x11,5 | 7,5x11,5 | 7,5x15 Escora 1 - - - 7,5x75 | 7,5x11,5 | 7,5x115 Escora 2 - - - - - 75x 7,5 Pendural 7,5x 11,5 7,5x11,5 | 7,5x11,5 | 7,5x 11,5 | 7,5x 11,5 | 7,5x15 Tirante 1 - - - 22x75, 22x75, 22x75, Tirante 2 - - - - - 22x75, Linha 7,5x 11,5 7,5x 15 7,5x 15 7,5x 18 7,5x 23 7,5x 23 Obs: A tabela é adaptada do livro “Tesouras de Telhado” de autoria de J. C. REGO MONTEIRO. As seções das peças, em cm, estão dimensionadas considerando os enfraquecimentos dos encaixes. 47
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