Baixe Notação científica ? Exponenciação - Radiciação e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Notação científica A notação científica é uma forma concisa de representar números, em especial muito grandes (100000000000) ou muito pequenos (0,00000000001). É baseado no uso de potências de 10 (os casos acima, em notação científica, ficariam: 1 · 1011 e 1 · 10-11, respectivamente). Introdução Observe os números abaixo: • 600 000 • 30 000 000 • 500 000 000 000 000 • 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 • 0,0004 • 0,00000001 • 0,0000000000000006 • 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008 A representação desses números na forma convencional torna-se difícil, em especial no quarto e oitavo exemplos. O principal fator de dificuldade é a quantidade de zeros extremamente alta para a velocidade normal de leitura dos números. Pode-se pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Mas este pensamento é incorreto. Em áreas como a Física e a Química esses valores são frequentes. Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 metros, e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 gramas. Para valores como esses, a notação científica é mais compacta. Outra vantagem da notação científica é que ela sempre pode representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos. Por exemplo, a distância observável do universo, do modo que está escrito, sugere a precisão de 30 algarismos significativos. Mas isso não é verdade (seria coincidência demais 25 zeros seguidos numa aferição). História A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente extensos foi empreendida pelo matemático e filósofo grego Arquimedes, e descrita em sua obra O Contador de Areia[1], no século III a.C.. Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de areia existiam no universo. O número estimado por ele foi de 1 · 1063 grãos. Foi através da notação científica que foi concebido o modelo de representação de números reais através de ponto flutuante. Essa ideia foi proposta independentemente por Leonardo Torres y Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) e George Robert Stibitz (1939). A codificação em ponto flutuante dos computadores atuais é basicamente uma notação científica de base 2. A programação com o uso de números em notação científica consagrou uma representação sem números subscritos. 1,785 · 105 e 2,36 · 10-14 são representados respectivamente por 1.785E5 e 2.36E-14 (como a maioria das linguagens de programação são baseadas na língua inglesa, as vírgulas são substituídas por pontos). Descrição Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: m · 10 e O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza. Notação científica padronizada A definição básica de notação científica permite uma infinidade de representações para cada valor. Mas a notação científica padronizada inclui uma restrição: a mantissa deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Desse modo cada número é representado de uma única maneira. Como transformar Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula obedecendo o príncípio de equlíbrio. Vejamos o exemplo abaixo: 253 756,42 A notação científica padronizada exige que a mantissa esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor adequado seria 2,5375642 (observe que a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição da vírgula). Para o exponente, vale o princípio de equilíbrio: "Cada casa decimal que diminui o valor da mantissa aumenta o expoente em uma unidade, e vice-versa". Nesse caso, o expoente é 5. Observe a transformação passo a passo: 253 756,42 = 25 375,642 · 101 = 2 537,5642 · 102 = 253,75642 · 103 = 25,375642 · 104 = 2,5375642 · 105 Um outro exemplo, com valor menor que 1: 0,0000000475 = 0,000000475 · 10-1 = 0,00000475 · 10-2 = 0,0000475 · 10-3 = 0,000475 · 10-4 = 0,00475 · 10-5 = 0,0475 · 10-6 = 0,475 · 10-7 = 4,75 · 10-8 Desse modo, os exemplos acima ficarão: • 6 · 105 • 3 · 107 • 5 · 1014 • 7 · 1033 • 4 · 10-4 • 1 · 10-8 • 6 · 10-16 continue valendo para n = 0, devemos ter: Expoentes inteiros negativos Para que seja válido para n + m = 0, é necessário que elevar um número (exceto 0) à potência -1 produza seu inverso. Então: Elevando 0 a uma potência negativa implicaria uma divisão por 0, sendo assim indefinido. Um expoente inteiro negativo também pode ser visto como uma divisão pela base. Logo: Pode-se provar que, com essa definição, continua valendo para . Expoentes um e zero • qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo. • qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1. Indeterminações Na exponenciação, é possível chegar à formas de indeterminação a seguir: • • , quando • Potências cujo expoente não altera o resultado Potências de 0 As potências de 0 são as potências de base 0, dados por 0n n>0. A matemática julga ser indeterminado o valor da potência: 0°, mas as outras potências cuja base é 0, têm como resultado o próprio 0. Potências de 1 As potências de 1 são as potências de base 1, dados por 1n, sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de "n", 1n será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a 1. Potências de 10 Multiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois usamos um sistema decimal. Por exemplo, 106 é igual a um milhão, que é 1 seguido de 6 zeros. Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para descrever números muito grandes ou pequenos em notação científica; por exemplo, 299792458 (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2.99792458 × 108 e então aproximada para 2.998 × 108. Os prefixos do sistema internacional de unidades também são utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa 103 = 1000, logo, um quilometro é igual a 1000 metros. Potências de 2 Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por exemplo, existem 2n valores possíveis para uma variável que ocupa n bits da memória. 1 kilobyte = 210 = 1024 bytes. Como pode haver confusão entre os significados padrões dos prefixo, em 1998 a Comissão Eletrotécnica Internacional aprovou vários prefixos binários novos. Por exemplo, o prefixo de múltiplos de 1024 é kibi-, então 1024 bytes é equivalente a um kibibyte. Outros prefixos são mebi-, gibi- e tebi-. Expoentes fracionários A expressão Pode ser usada para provar, por indução, que: Para que essa expressão seja válida para números racionais, devemos ter: Ou, se forma genérica, para qualquer expoente fracionário, o denominador do expoente é o índice da raiz e o numerador é o expoente do radicando. Expoentes decimais No caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em fração e depois em raiz. Expoentes irracionais Como a exponenciação tem a propriedade de que expoentes próximos geram resultados próximos (essa noção pode ser tornada mais precisa usando-se o conceito de continuidade), pode-se definir expoentes irracionais: Expoentes imaginários e complexos Graças a Euler, considera-se que: Assim, usando-se logaritmos, pode-se definir para qualquer a real e z complexo, z = x + i y: Radiciação A radiciação é uma operação matemática oposta à potenciação (ou exponenciação). Para um número real a, a expressão representa o único número real x que verifica xn = a e tem o mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omitido, significa que n=2 e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. A x chama-se a raiz, a n índice, a a radicando e a radical. Exemplos • • Propriedades