Materiais Compositos, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia Mecânica Grupo de Análise e Projeto Mecânico CURSO DE PROJETO ESTRUTURAL COM MATERIAIS COMPOSTOS Prof. José Carlos Pereira Florianópolis, agosto de 2003 SUMÁRIO 1 – ASPECTOS GERAIS DOS MATERIAIS COMPOSTOS ______________________1 1.1– Definição _________________________________________________________1 1.2– Componentes constituintes de um material composto ______________________1 1.2.1 – Fibras________________________________________________________1 1.2.2 – Matrizes ______________________________________________________1 1.3 – Interesse dos materiais compostos_____________________________________3 1.4 – Aplicações dos materiais compostos ___________________________________3 1.5 – Propriedades físicas principais ________________________________________7 1.6 – Características da mistura reforço-matriz ________________________________9 1.7 – Processos de fabricação____________________________________________11 1.7.1 – Moldagem sem pressão_________________________________________12 1.7.2 – Moldagem por projeção simultânea________________________________13 1.7.3 – Moldagem a vácuo_____________________________________________14 1.7.4 – Moldagem por compressão a frio _________________________________14 1.7.5 – Moldagem por injeção __________________________________________14 1.7.6 – Moldagem em contínuo _________________________________________15 1.7.7 – Moldagem por centrifugação _____________________________________16 1.7.8 – Bobinamento circunferencial _____________________________________17 1.7.9 – Bobinamento helicoidal _________________________________________18 1.7.10 – Bobinamento polar____________________________________________19 1.8 – Arquitetura dos materiais compostos __________________________________20 1.8.1 – Laminados ___________________________________________________20 1.8.2 – Sanduíche ___________________________________________________21 1.9 – Determinação experimental das constantes elásticas de uma lâmina _________22 2 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS _______________25 2.1 – Equações constitutivas para materiais compostos ________________________25 2.2 – Efeito da temperatura ______________________________________________29 3 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS NUMA DIREÇÃO QUALQUER__________________________________________________________31 Curso de projeto estrutural com materiais compostos 1 1 – ASPECTOS GERAIS DOS MATERIAIS COMPOSTOS 1.1– Definição Um material composto é formado pela união de dois materiais de naturezas diferentes, resultando em um material de performance superior àquela de seus componentes tomados separadamente. O material resultante é um arranjo de fibras, contínuas ou não, de um material resistente (reforço) que são impregnados em uma matriz de resistência mecânica inferior as fibras. 1.2– Componentes constituintes de um material composto 1.2.1 – Fibras A(s) fibra(s) é o elemento constituinte que confere ao material composto suas características mecânicas: rigidez, resistência à ruptura, etc. As fibras podem ser curtas de alguns centímetros que são injetadas no momento da moldagem da peça, ou longas e que são cortadas após a fabricação da peça. Os tipos mais comuns de fibras são: de vidro, de aramida (kevlar), carbono, boro, etc. As fibras podem ser definidas como sendo unidirecionais, quando orientadas segundo uma mesma direção; bidimensionais, com as fibras orientadas segundo duas direções ortogonais (tecidos), Figura 1.1 e Figura 1.2, ou com as fibras orientadas aleatoriamente (esteiras), Figura 1.3; e tridimensionais, quando as fibras são orientadas no espaço tridimensional (tecidos multidimensionais). 1.2.2 – Matrizes As matrizes têm como função principal, transferir as solicitações mecânicas as fibras e protegê-las do ambiente externo. As matrizes podem ser resinosas (poliéster, epóxi, etc), minerais (carbono) e metálicas (ligas de alumínio). Aspectos gerais dos materiais compostos 2 Figura 1.1 – Tecido - padrão 1 Figura 1.2 – Tecido - padrão 2 Figura 1.3 – Esteira (fibras contínuas ou cortadas) Curso de projeto estrutural com materiais compostos 3 A escolha entre um tipo de fibra e uma matriz depende fundamentalmente da aplicação ao qual será dado o material composto: características mecânicas elevadas, resistência a alta temperatura, resistência a corrosão, etc. O custo em muitos casos pode também ser um fator de escolha entre um ou outro componente. Deve ser observada também a compatibilidade entre as fibras e as matrizes. 1.3 – Interesse dos materiais compostos O interesse dos materiais compostos está ligado a dois fatores: econômico e performance. O fator econômico vem do fato do material composto ser muito mais leve que os materiais metálicos, o que implica numa economia de combustível e conseqüentemente, num aumento de carga útil (aeronáutica e aeroespacial). A redução na massa total do produto pode chegar a 30 % ou mais, em função da aplicação dada ao material composto. O custo de fabricação de algumas peças em material composto pode ser também sensivelmente menor se comparado com os materiais metálicos. O fator performance está ligado a procura por um melhor desempenho de componentes estruturais, sobretudo no que diz respeito às características mecânicas (resistência a ruptura, resistência à ambientes agressivos, etc.). O caráter anisotrópico dos materiais compostos é o fator primordial para a obtenção das propriedades mecânicas requeridas pelo componente. A leveza juntamente com as excelentes características mecânicas faz com que os materiais compostos sejam cada vez mais utilizados dentro de atividades esportivas. 1.4 – Aplicações dos materiais compostos A aplicação dos materiais compostos surgiu inicialmente na área aeronáutica devido a necessidade de diminuição de peso, preservando a robustez dos componentes estruturais. Atualmente uma grande variedade de peças em materiais compostos podem ser encontradas nos aviões em substituição aos materiais metálicos: fuselagem, spoilers, portas de trem de aterrissagem, portas internas, etc., Figura 1.4. Em muitos destes componentes, sua concepção foge da definição dada Aspectos gerais dos materiais compostos 6 Figura 1.7 – Barcos a vela Figura 1.8 – Ski Uma aplicação bem recente dos materiais compostos na área aeroespacial são os painéis solares de satélites, confeccionados em uma configuração sanduíche, Figura 1.9, e os motores de último estágio dos lançadores de satélites, confeccionados a partir do bobinamento das fibras sobre um mandril, Figura 1.10. Figura 1.9 – Painéis solares de satélite Curso de projeto estrutural com materiais compostos 7 Figura 1.10 – Propulsor de último estágio de lançador de satélite 1.5 – Propriedades físicas principais M etais M assa volum étrica 3 M ódulo de elasticidade M ódulo de cisalham ento C oeficiente de poisson Tensão de ruptura à tração (M Pa) Alongam ento à ruptura (% ) C oeficiente de dilatação térm ica 1 Tem peratura lim ite de utilização ρ E G ν σ ε α Tmax aços 7800 205000 79000 0,3 400 a 1600 1,8 a 10 1,3.10-5 800 ligas de alumínio 2800 75000 29000 0,3 450 10 2,2.10-5 350 ligas de titânio 4400 105000 40300 0,3 1200 14 0,8.10-5 700 Cobre 8800 125000 48000 0,3 200 a 500 1,7.10-5 650 Aspectos gerais dos materiais compostos 8 Fibras M assa volum étrica 3 M ódulo de elasticidade M ódulo de cisalham ento C oeficiente de poisson Tensão de ruptura à tração (M Pa) Alongam ento à ruptura (% ) C oeficiente de dilatação térm ica (°C -1) Tem peratura lim ite de utilização Preço/kg 1985 ρ E G ν σ ε α Tmax $US Vidro “R” 2500 86000 0,2 3200 4 0,3.10-5 700 12 Vidro “E” 2600 74000 30000 0,25 2500 3,5 0,5.10-5 700 2,8 Kevlar 49 1450 130000 12000 0,4 2900 2,3 -0,2.10-5 70 Grafite “HR” 1750 230000 50000 0,3 3200 1,3 0,02.10-5 >1500 70 a 140 Grafite “HM” 1800 390000 20000 0,35 2500 0,6 0,08.10-5 >1500 70 a 140 Boro 2600 400000 3400 0,8 0,4.10-5 500 500 M atrizes M assa volum étrica (kg/m 3) M ódulo de elasticidade (M Pa) M ódulo de cisalham ento (M Pa) C oeficiente de poisson Tensão de ruptura à tração (M Pa) Alongam ento à ruptura (% ) C oeficiente de dilatação térm ica ( °C -1) Tem peratura lim ite de utilização (°C ) Preço/kg 1985 ρ E G ν σ ε α Tmax $US TERMORESISTENTES Epóxi 1200 4500 1600 0,4 130 2 a 6 11.10-5 90 a 200 6 a 20 Fenólica 1300 3000 1100 0,4 70 2,5 1.10-5 120 a 200 Poliéster 1200 4000 1400 0,4 80 2,5 8.10-5 60 a 200 2,4 Curso de projeto estrutural com materiais compostos 11 vidro kevlar carbono Massa volumétrica (kg/m3) 2080 1350 1530 σruptura em tração na direção 1 (Xt) (MPa) 1250 1410 1270 σruptura em compressão na direção 1 (Xc) (MPa) 600 280 1130 σruptura em tração na direção 2 (Yt) (MPa) 35 28 42 σruptura em compressão na direção 2 (Yc) (MPa) 141 141 141 τ12 ruptura em cisalhamento (S12) (MPa) 63 45 63 τruptura em cisalhamento interlaminar (MPa) 80 60 90 módulo de elasticidade longitudinal E1 (MPa) 45000 85000 134000 módulo de elasticidade transversal E2 (MPa) 12000 5600 7000 módulo de cisalhamento G12 (MPa) 4500 2100 4200 coeficiente de poisson ν12 0,3 0,34 0,25 Coef. de dilatação térmica longitudinal α1 (°C-1) 0,4 a 0,7.10-5 -0,4.10-5 -0,12.10- 5 Coef. de dilatação térmica transversal α2 (°C-1) 1,6 a 2.10-5 5,8.10-5 3,4.10-5 1.7 – Processos de fabricação Muitas peças ou estruturas em material composto são geralmente produzidas por uma composição de lâminas sucessivas, chamadas de estruturas estratificadas. Os processos de fabricação são inúmeros e devem ser selecionadas segundo requisitos como: dimensões, forma, qualidade, produtividade (capacidade de produção), etc. As operações básicas para a obtenção da peça final têm a seguinte seqüência: Aspectos gerais dos materiais compostos 12 1.7.1 – Moldagem sem pressão O molde é primeiramente revestido de um desmoldante e posteriormente de uma resina colorida. A seguir as fibras são depositadas sobre o molde e em seguida impregnadas com resina e compactadas com um rolo. O processo se segue para as lâminas sucessivas, Figura 1.11. A polimerização (solidificação) ou cura da resina pode ser feita com ou sem o molde, isto em função da geometria da peça. A cura da resina pode ser feita em temperatura ambiente ou ser acelerada se colocada em uma estufa a uma temperatura entre 80° C e 120° C. Após a cura da resina e a desmoldagem, a peça é finalizada: retirada de rebarbas, pintura, etc. Fibras Resina Impregnação (mistura) Colocação da mistura sobre o molde/mandril Polimerização (estufa) Desmoldagem Acabamento Curso de projeto estrutural com materiais compostos 13 Figura 1.11 – Moldagem sem pressão 1.7.2 – Moldagem por projeção simultânea Este processo consiste em projetar simultaneamente fibras cortadas impregnadas em resina sobre o molde. A lâmina de fibras impregnadas é em seguida compactada por um rolo e novas lâminas podem ser sucessivamente depositadas, Figura 1.12. Um contra-molde pode eventualmente ser utilizado para a obtenção de faces lisas e para proporcionar uma melhor compactação entre as lâminas. A vantagem deste processo com relação ao anterior é permitir uma produção em série das peças, no entanto, as características mecânicas das peças são médias devido ao fato das fibras serem cortadas. Figura 1.12 – Moldagem por projeção simultânea molde rolo fibras resina resina fibra fibra cortada e resina pistola Aspectos gerais dos materiais compostos 16 Figura 1.16 – Moldagem de placas contínuas Figura 1.17 – Moldagem de placas onduladas contínuas 1.7.7 – Moldagem por centrifugação Este processo é utilizado na produção de peças de revolução. Dentro do molde em movimento de rotação é injetado as fibras cortadas juntamente com a resina. A impregnação da resina nas fibras e a compactação é feita pelo efeito de centrifugação. A cura da resina pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. Este processo é utilizado em casos onde não se exige homogeneidade das propriedades mecânicas da peça. estufa faca rolos fibras resina filme desmoldante filme desmoldante resina faca fibras cortadas filme desmoldante filme desmoldante rolos estufa Curso de projeto estrutural com materiais compostos 17 Figura 1.18 – Moldagem por centrifugação Outros processos de fabricação de peças de revolução podem ser empregados quando se exige homogeneidade das propriedades mecânicas da peça. Nestes processos fibras são enroladas (bobinadas) sobre um mandril que dará a forma final da peça. Este processo permite a fabricação industrial de tubos de diversos diâmetros e grandes comprimentos de alta performance. Para atender a estas necessidades de projeto, o bobinamento das fibras pode ser feito da seguinte maneira: bobinamento circunferencial, bobinamento helicoidal e o bobinamento polar. 1.7.8 – Bobinamento circunferencial No bobinamento circunferencial, as fibras são depositadas em um mandril rotativo, com um ângulo de deposição de 90° em relação ao eixo de rotação, Figura 1.19. Este tipo de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais. fibra molde Aspectos gerais dos materiais compostos 18 Figura 1.19 - Bobinamento circunferencial 1.7.9 – Bobinamento helicoidal No bobinamento helicoidal, as fibras são depositadas em um mandril rotativo com um ângulo de deposição α em relação ao eixo de rotação, Figura 1.20. Este tipo de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais e longitudinais. Figura 1.20 - Bobinamento helicoidal fibras resina mandril guia Curso de projeto estrutural com materiais compostos 21 Figura 1.23 – Constituição de um laminado Figura 1.24 – Designação de um laminado 1.8.2 – Sanduíche O princípio da técnica de estruturas do tipo sanduíche consiste em colocar um material leve (geralmente com boas propriedades em compressão) entre duas contra- placas com alta rigidez. Este princípio concilia leveza e rigidez a estrutura final. 45°45° 0°90°90°30° 45° 0° 45° 90° 90° 30° [45/0/45/902/30 Aspectos gerais dos materiais compostos 22 Figura 1.25 – Sanduíche de alma plena Figura 1.26 – Sanduíche de alma “oca” 1.9 – Determinação experimental das constantes elásticas de uma lâmina Placas rígidas (aço, placas laminadas, etc) alma de baixo peso (espuma, resina, etc) Placas rígidas (aço, placas laminadas, etc) Alma de madeira Sentido das fibras da madeira colméia alma ondulada Curso de projeto estrutural com materiais compostos 23 Para a determinação das constantes elásticas de placas unidirecionais em fibra/resina, é necessário cortar dois corpos de prova padronizados, sobre os quais são colados dois extensômetros dispostos ortogonalmente como mostrado abaixo. Os corpos de prova são ensaiados numa máquina de tração e as deformações são medidas pelos extensômetros. Como exemplo, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as deformações medidas pelos extensômetros no primeiro corpo de prova são: ε1x = 143e- 6 e ε1y = - 36e-6. Assim: x x 1x x 1E E σ σ ε = = , x1 1x 20E 143e 6 σ = = ε − , E1 = 139860 MPa 1y xy 1x 12 1xε = −ν ε = −ν ε , 1y 12 1x ε ν = − ε , 12 36e 6 143e 6 − ν = − , ν12 = 0,25 Analogamente, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as deformações medidas pelos extensômetros no segundo corpo de prova, no qual as fibras formam um ângulo de 20° com o eixo x, são: ε2x = 660e-6 e ε2y = - 250e-6. Assim de [1], pag. 332: x y σx 20° x y σx Constantes elásticas dos materiais compostos 26 3121 1 2 3 32121 1 1 2 3 2 2 13 23 3 31 2 3 23 23 2313 13 12 12 13 12 1 0 0 0E E E 1 0 0 0E E E 1 0 0 0E E E 10 0 0 0 0G 10 0 0 0 0G 10 0 0 0 0 G −ν−ν     −ν−νε σ         ε σ    −ν −ν    ε σ   =    γ τ         γ τ      γ τ               (2.1) onde: εii = deformações normais na direção i γij = deformações angulares no plano ij σii = tensões normais na direção i τij = tensões de cisalhamento no plano ij νij = coeficiente de poisson (deformação causada na direção j devida uma solicitação na direção i). Ei = módulo de elasticidade na direção i Gij = módulo de cisalhamento no plano ij Como a matriz de comportamento é simétrica tem-se que: 21 12 2 1E E ν ν = , 31 13 3 1E E ν ν = , 32 23 3 2E E ν ν = (2.2) Para a demonstração da simetria da matriz de comportamento, considere uma placa unidirecional de dimensões a, b e espessura e: 1 2 b a Curso de projeto estrutural com materiais compostos 27 Deformações devido a σ1 (na direção longitudinal): ( ) l 11 l 1 ∆b b E σ ε = = , ( ) ( )l 12 12 1 12l l 1 ∆a a E σ ε = = −ν ε = −ν (2.3) Deformações devido a σ2 (na direção transversal): ( ) 2 22 2 2 ∆a a E σ ε = = , ( ) ( )2 21 21 2 212 2 2 ∆b b E σ ε = = −ν ε = −ν (2.4) Considerando a energia acumulada devida ao carregamento σ1 e depois a σ2, mantendo σ1: 1 1 2 2 1 2 1 1W ( a e) ∆b ( b e) ∆a ( a e) ∆b 2 2 = σ + σ + σ (2.5) Considerando agora a energia acumulada devida ao carregamento σ2 e depois a σ1, mantendo σ2: 2 2 1 1 2 1 1 1W ' ( b e) ∆a ( a e) ∆b ( b e) ∆a 2 2 = σ + σ + σ (2.6) Sendo a energia final a mesma, W = W’: 1 2 2 1( a e) ∆b ( b e) ∆aσ = σ , 2 11 21 2 12 2 1 a e b b e a E E    σ σ σ −ν = σ −ν        (2.7) 21 12 2 1E E ν ν = (2.8) Em alguns casos, é possível considerar que as propriedades mecânicas nas direções 2 e 3 são idênticas, já que, como mostrado pela Figura 2.1, estas direções são direções perpendiculares a direção 1. Para este caso de materiais, ditos isotrópicos transversos, a matriz de comportamento se simplifica, necessitando somente de 5 constantes elásticas independentes: Constantes elásticas dos materiais compostos 28 21 21 1 2 2 12 21 1 1 2 2 2 2 12 2 3 31 2 2 23 232 213 13 12 12 12 12 1 0 0 0E E E 1 0 0 0E E E 1 0 0 0E E E 2(1 )0 0 0 0 0E 10 0 0 0 0G 10 0 0 0 0 G −ν −ν     −ν −νε σ         ε σ    −ν −ν     ε σ   =     γ τ+ ν         γ τ      γ τ               (2.9) onde: ν2 = coeficiente de poisson no plano de isotropia transversa Nota-se que, devido a isotropia transversa, 2 23 2 1 2(1 ) G E + ν = . A relação tensão/deformação é dada pela matriz constitutiva do material, inversa da matriz de flexibilidade dada na eq. (2.1): 11 12 13 14 15 151 1 21 22 23 24 25 262 2 31 32 33 34 35 363 3 41 42 43 44 45 4623 23 51 52 53 54 55 5613 13 61 62 63 64 65 6612 12 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q σ ε         σ ε         σ ε   =     τ γ        τ γ     τ γ           (2.10) onde os termos não nulos são: 23 32 21 31 23 11 12 44 23 2 3 2 3 13 31 31 21 32 22 13 55 31 1 3 2 3 32 12 3112 21 33 23 66 12 1 2 1 3 1Q Q Q G E E ∆ E E ∆ 1Q Q Q G E E ∆ E E ∆ 1Q Q Q G E E ∆ E E ∆ + ν ν ν + ν ν = = = + ν ν ν + ν ν = = = ν + ν ν+ ν ν = = = (2.11) Curso de projeto estrutural com materiais compostos 31 3 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS NUMA DIREÇÃO QUALQUER 3.1 – Equações constitutivas dos materiais compostos numa direção qualquer Para a análise do comportamento mecânico de placas laminadas é necessário definir um sistema de eixos de referência (x, y, z) para o conjunto de lâminas e expressar as constantes elásticas de cada lâmina neste sistema de referência. Para isto é considerada uma lâmina sobre a qual estão definidos os eixos de ortotropia (1, 2, 3). O sistema de eixos de referência é girado em torno do eixo 3 do ângulo θ, Figura 3.1. Figura 3.1 – Sistema de eixos de ortotropia e de referência Uma das maneiras de determinar a matriz de transformação, que relaciona as tensões dadas no sistema de eixos de referência com as tensões no sistema de eixos de ortotropia, é através do balanço de forças nas direções x e y sobre um elemento plano, conforme mostrado na Figura 3.2. 1 2 3, z x y θ Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 32 Figura 3.2 – Transformação de tensão no plano x-y Aplicando as equações de equilíbrio estático: → 0=∑ xF , x 1 12 2 12 dA dA cos cos dA cos sen dA sen sen dA sen cos 0 σ − σ θ θ − τ θ θ − σ θ θ − τ θ θ = (3.1) 2 2 x 1 2 12cos sen 2 cos senσ = σ θ + σ θ + τ θ θ (3.2) ↑ 0=∑ yF , σ1 τ12 σ2 1 2 τ21 x y + θ + θ A B C θ σx τxy τ12 τ21 σ2 σ1 x y θ dA σx dA τxy dA τ21 dA senθ σ1 dA cosθ x y θ σ2 dA senθ τ12 dA cosθ Curso de projeto estrutural com materiais compostos 33 xy 1 12 2 12 dA dA cos sen dA cos cos dA sen cos dA sen sen 0 τ + σ θ θ − τ θ θ − σ θ θ + τ θ θ = (3.3) 2 2 xy 1 2 12cos sen sen cos (cos sen )τ = − σ θ θ + σ θ θ + τ θ − θ (3.4) A tensão normal σy é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σx. 2 2 y 1 2 12sen cos 2 cos senσ = σ θ + σ θ − τ θ θ (3.5) Considerando o elemento conforme apresentado pela Figura 3.3, pode-se determinar a tensão σxz: Figura 3.3 – Transformação de tensões transversas ↑ 0=∑ zF , xz 13 23dA dA cos dA sen 0τ − τ θ −τ θ = (3.6) xz 23 13sen cosτ = τ θ + τ θ (3.7) A tensão σyz é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σxz. yz 23 13cos senσ = σ θ −σ θ (3.8) τxz τ13 τ23 1 x y θ dA z Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 36                     τ τ τ σ σ σ                                 ςµη ξ ξ ςν−ν− µν−ν− ην−ν− =                     γ γ γ ε ε ε xy xz yz z y x xyz z x y x x xzyz yz xz xz yz xy xy zy yz x xz xy xy z zy yx xy xy xy z zx y yx x xy xz yz z y x GEEE GG GG GEEE GEEE GEEE 100 01000 01000 001 001 001 (3.17) Observa-se que surgem termos de acoplamento que relacionam tensões de cisalhamento com deformações normais: ηxy/Gxy, µxy/Gxy e ζx/Gxy; e termos de acoplamento que relacionam tensões normais com deformações angulares ηx/Ex, µy/Ex, e ζz/Ez. Estes termos surgem quando, por exemplo, aplicando uma tensão normal, a lâmina se deforma da seguinte maneira, Figura 3.4: Figura 3.4 – Deformação de materiais isotrópico e ortotrópico devido à carga normal Material isotrópico Material ortotrópico σx σx σx σx Curso de projeto estrutural com materiais compostos 37 3.2 - Efeito da temperatura O efeito da temperatura sobre os materiais compostos considerado em uma direção qualquer é dado da forma: { } [ ]{ }1xt T ε=ε ε (3.18) ou seja: 2 2x t 1 2 2y t 2 z t 3 yz t xz t 2 2 xy t c s 0 0 0 sc ∆T ∆Ts c 0 0 0 sc ∆T0 0 1 0 0 0 00 0 0 c s 0 00 0 0 s c 0 02sc 2sc 0 0 0 c s ε    α      ε  α−      ε  α   =   γ          −γ            − −γ    (3.19) A relação tensão/deformação considerando o efeito da temperatura, dada no sistema de eixos de referência (x, y, z) pode ser obtida pela eq. (2.19) e utilizando a matriz de transformação dada pelas eqs. (3.9) ou (3.10): [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ][ ] { }xtxt1xtx111t111 TCTTCTCTT ε−ε=ε−ε=ε−ε=σ σσ−εσσσ (3.20) ou seja: { } [ ]{ }xtxxx C ε−ε=σ (3.21) A relação tensão/deformação considerando somente o estado plano de tensão é do tipo: x x tx 11 12 16 y 12 22 26 y y t 16 26 66xy xy xy t Q Q Q Q Q Q Q Q Q    ε − ε σ      σ = ε − ε         τ γ − γ     (3.22) Comportamento mecânico de placas laminadas 38 4 – COMPORTAMENTO MECÂNICO DE PLACAS LAMINADAS Os materiais compostos são na maioria dos casos utilizados na forma de laminados, onde as lâminas são coladas umas sobre as outras com orientações e espessura das fibras podendo ser diferentes uma das outras. No caso de placas, uma dimensão é muito pequena com relação as outras duas. Em conseqüência disto, a tensão normal na direção da espessura da placa é considerada desprezível (σz = 0). As deformações são determinadas em função do campo de deslocamentos definido para o laminado. Na teoria clássica de laminados, na definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento transverso é considerado nulo (σxz = σyz = 0). Na teoria de primeira ordem, na definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento transverso é considerado não nulo (σxz ≠ 0, σyz ≠ 0), porém constante ao longo da espessura da placa. 4.1 – Teoria clássica de laminados Da definição do campo de deslocamento na teoria clássica de laminados, o cisalhamento transverso é considerado nulo, o que resulta num estado plano de tensão, onde as únicas tensões não nulas são: σx, σy e σxy. 4.1.1 – Comportamento em membrana No estudo do comportamento em membrana dos materiais compostos, é considerado um laminado de espessura total h com n lâminas de espessura hk cada uma. As solicitações no plano do laminado são denotadas Nx, Ny (forças normais por unidade de comprimento transversal); Nxy e Nyx (forças cortantes por unidade de comprimento transversal). Os eixos x, y, e z são eixos de referência, conforme visto no item 3. Os esforços Nx, Ny, Nxy e Nyx são determinados da seguinte maneira: Curso de projeto estrutural com materiais compostos 41 xy66y62x61xy AAAN γ+ε+ε= (4.8) com: ∑ = = n 1k k k j6j6 hQA (4.9) Exprimindo os esforços Nx, Ny, e Nxy em forma matricial, temos:           γ ε ε           =           xy y x 666261 262221 161211 xy y x AAA AAA AAA N N N (4.10) com: ∑ = = n 1k k k ijij hQA (4.11) Observações: As expressões acima são independentes da ordem de empilhamento das lâminas. Os termos de acoplamento A16, A26, A61 e A62 se anulam quando o laminado é simétrico e equilibrado (mesmo número de lâminas de mesma espessura na direção +θ e -θ) ou anti-simétrico. A partir dos esforços Nx, Ny, e Nxy, pode-se determinar as tensões globais (fictícias), considerando o laminado como sendo homogêneo: h N h N h N xy xy y y x x =τ =σ =σ (4.12) Comportamento mecânico de placas laminadas 42 A lei de comportamento em membrana do laminado “homogêneo” é da seguinte forma:           γ ε ε           =           τ σ σ xy y x 666261 262221 161211 xy y x AAA AAA AAA h 1 (4.13) Os componentes da matriz de comportamento acima podem também ser apresentados em termos de porcentagem de lâminas numa mesma orientação em relação a espessura total. ∑ = = n 1k kk ijij h hQA h 1 (4.14) Da inversão da matriz de comportamento acima, obtêm-se as constantes elásticas aparentes ou homogeneizadas do laminado:           τ σ σ                   µη µν− ην− =           γ ε ε xy y x xyx y x x xy xy yx xy xy xy y yx x xy y x GEE GEE GEE 1 1 1 (4.15) A partir destas constantes elásticas, conhecido o carregamento do laminado (Nx, Ny e Nxy), é possível determinar as deformações. Exemplo 4.1 – Considere o laminado simétrico e balanceado (+45°/-45°/-45°/+45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz constitutiva das lâminas no sistema de ortotropia (1, 2, 3), eq. (2.12), é da seguinte forma: [ ] MPa10 5,400 03,127,3 07,31,46 Q 3           = (4.16) Curso de projeto estrutural com materiais compostos 43 Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva das lâminas no sistema de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma: [ ] MPa10 8,1246,846,8 46,80,219,11 46,89,119,20 Q 3450           =+ (4.17) Para as lâminas orientadas à -45°, a matriz constitutiva das lâminas no sistema de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma: [ ] MPa10 8,1246,846,8 46,80,219,11 46,89,119,20 Q 3450           −− − − =− (4.18) A matriz [A] que representa a rigidez em membrana do laminado, eq. (4.10) é: [ ] mm N10 51,2500 091,4189,23 089,2387,41 A 3           = (4.19) A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, eq. (4.13) é da seguinte forma:           γ ε ε           =           τ σ σ xy y x xy y x 51,2500 091,4189,23 089,2387,41 2 1 (4.20) Logo, invertendo o sistema dado pela eq. (4.20), as constantes elásticas podem ser encontradas: Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705, Gxy =12,76 103 MPa e os termos de acoplamento são: ηxy = 0.0, µxy = 0.0, ηx = 0.0, µy = 0.0 Comportamento mecânico de placas laminadas 46 Figura 4.1 – Hipóteses de deslocamento pela Teoria Clássica de Laminados (T.C.L.) Os deslocamentos nas direções x, y e z da superfície neutra são uo, vo e wo e são definidos como segue (ver Figura 4.1): o o o o o ww y wzvv x wzuu = ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= (4.25) e as deformações normais e angulares são: sem carregamento h z zk zk-1 uo wo com carregamento x w0 ∂ ∂ x w0 ∂ ∂ y z dx dy x Mx Mxy My Myx Curso de projeto estrutural com materiais compostos 47 0 0 yx w2z y wz x wz yz xz o 2 0 xyxy 2 o 2 0 yy 2 o 2 0 xx =γ =γ ∂∂ ∂ −γ=γ ∂ ∂ −ε=ε ∂ ∂ −ε=ε (4.26) As deformações ε0x, ε0y e γ0xy são deformações normais e angular da superfície neutra. As curvaturas são normalmente escritas da forma: 2 o x2 w x ∂ − = κ ∂ , 2 o y2 w y ∂ − = κ ∂ , 2 o xy w2 x y ∂ − = κ ∂ ∂ , logo as deformações podem ser redefinidas como segue: xy 0 xyxy y 0 yy x 0 xx z z z κ+γ=γ κ+ε=ε κ+ε=ε (4.27) Considerando a matriz de comportamento de cada lâmina no sistema de eixos de referência, os momentos são da forma: ( ) zkn k k k x 11 x 12 y 16 xy k 1 zk 1 M Q Q Q z dz = −   = ε + ε + γ     ∑ ∫ (4.28) que, levando em conta as deformações, dadas pela eq. (4.26): ( ) ( ) ( )[ ]∑ ∫ =         κ+γ+κ+ε+κ+ε= − n 1k z z xy 20 xy k 16y 20 y k 12x 20 x k 11x dzzzQzzQzzQM k 1k (4.29) Se considerarmos que o laminado é simétrico, as integrais do tipo ∫ − k 1k z z k j1 dzzQ , se Comportamento mecânico de placas laminadas 48 anulam com as integrais ∫ −− − 1k k z z k j1 dzzQ , consideradas para as lâminas simétricas com relação a superfície neutra, logo: ( ) ( ) ( )∑ = −−−         κ − +κ − +κ − = n 1k xy 3 1k 3 kk 16y 3 1k 3 kk 12x 3 1k 3 kk 11x 3 zzQ 3 zzQ 3 zzQM (4.30) que, de forma mais compacta, pode ser colocado: x 11 x 12 y 16 xyM D D D= κ + κ + κ (4.31) com: ( )3 3n k k 1k 1j 1j k 1 z z D Q 3 − = − = ∑ (4.32) Os momentos My e Mxy podem ser também obtidos de forma análoga. Assim, colocados em forma matricial, as expressões de momentos são: x 11 12 16 x y 21 22 26 y 61 62 66xy xy M D D D M D D D D D DM    κ      = κ          κ     (4.33) com: ( )3 3n k k 1k ij ij k 1 z z D Q 3 − = − = ∑ (4.34) Observações: As expressões acima dependem da ordem de empilhamento das lâminas. Os coeficientes D16 e D26 são termos de acoplamento que torçem o laminado quando aplicados somente momentos de flexão e os coeficientes D61 e D62 são termos de acoplamento que extendem o laminado quando aplicados somente momentos de torção. Curso de projeto estrutural com materiais compostos 51 3 xy y x 0 xy 0 y 0 x xy y x xy y x 10 13,787,145,5087,145,5 87,171,959,687,100 45,559,697,2045,500 087,145,539,2100 87,100012,2977,19 45,500077,1991,62 0M 0M 0M 0N 0N 1000N                     κ κ κ γ ε ε                     =                     = = = = = = (4.41) Resolvendo o sistema dado pela eq. (4. ), as deformações e as curvaturas são: ε0x = 0,213e-01, ε0y = -0,136e-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = -0,127e-01 Exemplo 4.6 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória (+30°/-45°/-30°/45°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada Lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é da forma: 3 xy y x 0 xy 0 y 0 x xy y x xy y x 10 82,705,384,452,035,222,1 05,384,1128,735,260,152,0 84,428,746,1722,152,063,2 52,035,222,139,2100 35,260,152,0051,3583,21 22,152.063,2083,2139,52 0M 0M 0M 0N 0N 1000N                     κ κ κ γ ε ε                     −− −−− − −− −−− − =                     = = = = = = (4.42) Resolvendo a eq. (4.42), as deformações e as curvaturas determinadas são: ε0x = 0,265e-01, ε0y = -0,167e-01, γ0xy = 0,337e-03, κx = -0,360e-02, κy = 0,329e-02, κxy = -0,821e-02 Conclusão: Em um laminado não simétrico com uma solicitação do tipo membrana, as curvaturas não são nulas. Logo, o laminado pode fletir devido à uma força Nx (κx ≠ 0, κy ≠ 0, κxy ≠ 0). Comportamento mecânico de placas laminadas 52 Exemplo 4.7 – Considere o laminado simétrico e balanceado (+30°/-30°/-30°/+30°) em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz de comportamento para este laminado simétrico é a mesma dada pela eq. (4.40). 3 xy y x 0 xy 0 y 0 x xy y x xy y x 10 13,787,145,5000 87,171,959,6000 45,559,697,20000 00039,2100 000012,2977,19 000077,1991,62 0M 0M 1000M 0N 0N 0N                     κ κ κ γ ε ε                     =                     = = = = = = (4.43) Assim, as deformações e as curvaturas podem então ser determinadas resolvendo o sistema dado pela eq. (4.43): ε0x = 0,0 , ε0y = 0,0 , γ0xy = 0.0, κx = 0,718e-01, κy = -0,402e-01, κxy = -0,443e-01 Exemplo 4.8 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (+30°/-30°/+30°/-30°) em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 N. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é a mesma dada pela eq. (4.41): 3 xy y x 0 xy 0 y 0 x xy y x xy y x 10 13,787,145,5087,145,5 87,171,959,687,100 45,559,697,2045,500 087,145,539,2100 87,100012,2977,19 45,500077,1991,62 0M 0M 1000M 0N 0N 0N                     κ κ κ γ ε ε                     =                     = = = = = = (4.44) Curso de projeto estrutural com materiais compostos 53 Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.44), as deformações e as curvaturas são: ε0x = 0,0, ε0x = 0,0, γ0xy =-0,127e-01, κx = 0,638e-01, κy = -0,409e-01 , κxy = 0,0 Exemplo 4.9 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória (+30°/-45°/-30°/45°) em vidro/epóxi submetido à um momento Mx = 1000 Nmmm/mm. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30. A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é a mesma dada pela eq. (4.42): 3 xy y x 0 xy 0 y 0 x xy y x xy y x 10 82,705,384,452,035,222,1 05,384,1128,735,260,152,0 84,428,746,1722,152,063,2 52,035,222,139,2100 35,260,152,0051,3583,21 22,152.063,2083,2139,52 0M 0M 1000M 0N 0N 0N                     κ κ κ γ ε ε                     −− −−− − −− −−− − =                     = = = = = = (4.45) Resolvendo o sistema de equações da eq. (4.45), as deformações e as curvaturas determinadas são: ε0x = -0,360e-02, ε0y = -0,106e-02, γ0xy = -0,101e-01, κx = 0,883e-01, κy = -0,471e-01, κxy = -0,366e-01 Conclusão: No comportamento em flexão do laminado, mesmo sendo este simétrico, os termos de acoplamento não são nulos (D16 ≠ 0 e D26 ≠ 0). A deformação do laminado devido à um momento Mx pode ser portanto como apresentado pela Figura 4.2: Comportamento mecânico de placas laminadas 56 A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico, dados pela eq. (4.47), são da forma: 0 xx 0 y y 0xy xy x x y y xy xy N 0 69,20 34,67 5,24 0 0 0 N 0 34,67 33,69 10,00 0 0 0 N 0 5,24 10,00 34,78 0 0 0 M 0 0 0 0 17,52 12,65 8,45 M 0 0 0 0 12,65 14,58 9,73 0 0 0 8,45 9,73 12,69M 0  ε=  −     = ε     =  − γ  =   = κ       = κ     =    κ   3 3 0,42 0,30 0,07 10 10 0 0 0  −    −   − −                (4.53) Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.53), as deformações e as curvaturas obtidas são: ε0x = -0,409e-02, ε0y = -0,416e-02, γ0xy = -0,139e-02, κx = 0,0, κy = 0,0,κxy = 0,0. Ex. 4.11: Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória (+30°/- 45°/-30°/45°) em kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Determine as deformações e as curvaturas se o laminado é submetido a uma variação de temperatura de -90°C oriunda do processo de cura da resina. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1. A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia (1, 2, 3) é dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva no sistema de referência (x, y, z) é dada pela eq. (4.51), e para as lâminas orientadas à - 45°, a matriz constitutiva no sistema de referência é da forma: [ ] MPa10 6,198,178,17 8,175,235,19 8,175,195,23 Q 3450           −− − − =− (4.54) Para as lâminas orientadas à -30°, a matriz constitutiva no sistema de referência (x, y, z) é dada pela eq. (4.52), e para as lâminas orientadas à +30°, a matriz constitutiva no sistema de referência é da forma: Curso de projeto estrutural com materiais compostos 57 [ ] MPa10 2,1579,70,23 79,71,101,15 0,231,157,45 Q 3300           =+ (4.55) A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico, dados pela eq. (4.47), são da forma: x y xy x y xy N 0 69,20 34,67 0 5,55 1,10 2,62 N 0 34,67 33,69 0 1,10 3,35 5,00 N 0 0 0 34,78 2,62 5,00 1,10 M 0 5,55 1,10 2,62 23,07 11,56 10,20 M 0 1,10 3,35 5,00 11,56 11,23 6,40 2,62 5,00 1,10 10,20 6,40 1M 0 =  −  = − − −   = − −  = = −   = − −   − −=   0 x 0 y 0 3 3xy x y xy 0,42 0,30 0,00 10 10 0,003 0,028 1,59 0,034  ε −        ε  −        γ  −     −κ          κ            κ  (4.56) Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.53), as deformações e as curvaturas obtidas são: ε0x = -0,390e-02, ε0y = -0,445e-02, γ0xy = 0,931e-04, κx = -0,416e-03 , κy = -0,857e-04, κxy = 0,235e-02. Conclusão: O processo de cura da resina pode provocar flexão em um laminado não simétrico. Critérios de ruptura 58 5 – CRITÉRIOS DE RUPTURA Os critérios de ruptura têm por objetivo permitir ao projetista avaliar a resistência mecânica de estruturas laminadas. A ruptura de estruturas laminadas em material composto pode se dar por diferentes mecanismos: ruptura das fibras, ruptura da matriz, decoesão fibra/matriz, delaminação (descolamento das lâminas), etc. Os critérios de ruptura podem ser classificados da seguinte maneira: critério de tensão máxima, critério de deformação máxima, critérios interativos ou critérios energéticos. 5.1 – Critério de tensão máxima O critério de tensão máxima estipula que a resistência mecânica da lâmina analisada é atingida quando umas das três tensões as quais a lâmina está sendo submetida atingir o valor da tensão de ruptura correspondente. Desta forma, o critério pode ser escrito da seguinte maneira: SS YY XX 12 t2c t1c <τ<− <σ< <σ< (5.1) onde: σ1, σ2 e τ12 representam as tensões longitudinal, transversal e de cisalhamento no plano da lâmina. Xc e Xt representam as resistências mecânicas na direção longitudinal em compressão e em tração, Yc e Yt representam as resistências mecânicas na direção transversal em compressão e em tração e S representa a resistência mecânica ao cisalhamento. Se as inequações acima são verificadas, a lâmina não se romperá devido ao estado de tensão σ1, σ2 e τ12. Como normalmente as lâminas estão orientadas segundo o sistema de eixos de referência (x, y, z), girado de θ com relação ao sistema de eixos de ortotropia (1, 2, 3), a matriz de transformação dada pela eq. (3.9) deve ser utilizada: Curso de projeto estrutural com materiais compostos 61 12 σ2 < Xt, MPa11712 Xt 2 =<σ e σ2 < Yt = 35 MPa A ruptura se dará no menor valor de tensão, 35 MPa, e será na direção transversal. O estado de tensão neste caso é σ1 = 12 x 35 = 420 MPa e σ2 = 35 MPa. Utilizando o critério de deformação máxima e admitindo que o material se comporta linearmente até a ruptura, temos: 1 t t E XX <ε e 2 t t E YY <ε As deformações nas direções longitudinal e transversal são definidas da forma: 2 2 21 1 1 1 EE σ ν− σ =ε 1 1 12 2 2 2 EE σ ν− σ =ε Como 2 21 1 12 EE ν = ν , temos: ( ) 1 t 2121 11 2 12 1 1 1 E X E 1 EE <σν−σ= σ ν− σ =ε ( ) 2 t 1212 22 1 21 2 2 2 E Y E 1 EE <σν−σ= σ ν− σ =ε ou seja: t2121 X<σν−σ t1212 Y<σν−σ Como σ1 = 12 σ2. Critérios de ruptura 62 MPa120 12 X 12 t 2 =ν− <σ MPa183 121 Y 21 t 2 =ν− <σ A ruptura se dará no menor valor de tensão, 120 MPa, e será na direção longitudinal. O estado de tensão neste caso é σ1 = 12 x 120 = 1440 MPa e σ2 = 120 MPa. Os valores encontrados utilizando o critério de tensão máxima σ1 = 420 MPa e σ2 = 35 MPa e aqueles encontrados utilizando o critério de deformação máxima σ1 = 1440 MPa e σ2 = 120 MPa são contraditórios em valores e em modo de ruptura: ruptura transversal no primeiro e longitudinal no segundo. Isto vem do fato de estabelecer a relação entre tensão máxima e deformação máxima como anteriormente, mas que devem ser mais complexas. 5.4 – Critérios interativos Nos critérios de tensão máxima e deformação máxima, assume-se que os mecanismos de ruptura longitudinal, transversal e de cisalhamento se produzem de forma independente. De maneira a levar em consideração todos estes mecanismos simultaneamente como no critério de von Mises para materiais isotrópicos, foram desenvolvidos os critérios interativos ou energéticos. 5.4.1 – Revisão do critério de von Mises Considere a energia de deformação total por unidade de volume em um material isotrópico (densidade de energia de deformação) para um estado multiaxial de tensões: ( ) ( ) ( )xz2yz2xz2xzzyyx2z2y2xtotal G2 1 EE2 1U τ+τ+τ+σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ= (5.7) Esta energia de deformação total, medida nos eixos principais é da forma: Curso de projeto estrutural com materiais compostos 63 ( ) ( )133221232221total EE2 1U σσ+σσ+σσν−σ+σ+σ= (5.8) A energia de deformação total acima, é dividida em duas partes: uma causando dilatação do material (mudanças volumétricas), e outra causando distorções de cisalhamento, Figura 5.2. É interessante lembrar que em um material dúctil, admite-se que o escoamento do material depende apenas da máxima tensão de cisalhamento. Figura 5.2 – Energias de deformação de dilatação e de distorção A fim de facilitar a compreensão, somente o estado de tensão uniaxial será considerado. A passagem para um estado de tensão multiaxial é automática. Desta forma, para um estado de tensão uniaxial, as energias de dilatação e de distorção são representadas da seguinte forma: Figura 5.3 – Energias de dilatação e de distorção num elemento solicitado axialmente σ1 σ3 σ2 Energia de deformação elástica total = Energia de dilatação + Energia de distorção σ−σ2 σ−σ1 σ−σ3σ σ σ σ1 Energia de deformação elástica total = Energia de distorção σ1 Energia de dilatação σ1/3 σ1/3 σ1/3 + σ1/3 σ1/3 + σ1/3 σ1/3 Critérios de ruptura 66 5.4.2 – Critério de Hill A energia de distorção para um material ortotrópico onde as tensões de cisalhamento τ12, τ23 e τ31 são diferentes de zero, é obtida de maneira análoga à obtida por um material isotrópico. Igualando a energia de distorção de cisalhamento com a energia no ponto de ruptura, estabelece-se o critério de ruptura para tensão combinada para materiais compostos. ( ) ( ) ( ) 1N2M2L2HGF 231223212213232221 =τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.17) As constantes F, G, H, L, M e N são parâmetros da lâmina analisada e estão ligadas as tensões de ruptura do material. Colocando a equação acima sob uma outra forma, tem-se: ( ) ( ) ( ) 1N2M2L2G2 H2F2HGGFHF 2 31 2 23 2 1232 3121 2 3 2 2 2 1 =τ+τ+τ+σσ− σσ−σσ−σ++σ++σ+ (5.18) Para um ensaio em tração (ou compressão) na direção longitudinal (1), o critério se reduz: ( ) 1XHF 2 =+ , ( ) 2X 1HF =+ (5.19) onde X é a tensão de ruptura em tração (ou compressão) na direção longitudinal. Da mesma forma, para um ensaio em tração (ou compressão) nas direções transversais (2 e 3), o critério se reduz: ( ) 1YGF 2 =+ , ( ) 2Y 1GF =+ (5.20) ( ) 1ZHG 2 =+ , ( ) 2Z 1HG =+ (5.21) onde Y e Z são as tensões de ruptura em tração (ou compressão) nas direções transversais. Curso de projeto estrutural com materiais compostos 67 Para um ensaio de cisalhamento no plano (1,2), o critério se reduz: 2 12S 1L2 = (5.22) onde S12 é a tensão de ruptura no cisalhamento no plano (1,2). Analogamente: 2 23S 1M2 = (5.23) 2 31S 1N2 = (5.24) Substituindo os parâmetros F, G, H, L, M e N na equação do critério de ruptura para tensão combinada para os materiais compostos, eq. (5.18), tem-se: 1 SSSY 1 X 1 Z 1 X 1 Z 1 Y 1 Z 1 Y 1 X 1 ZYX 2 31 31 2 23 23 2 12 12 13222 3222221222 2 3 2 2 2 1 =      τ +      τ +      τ +σσ      −+− σσ      −+−σσ      −+−      σ+      σ+      σ (5.25) Para um estado plano de tensão, onde σ3 = τ23 = τ31 = 0: 1 SZ 1 Y 1 X 1 YX 2 12 12 21222 2 2 2 1 =      τ +σσ      −+−      σ+      σ (5.26) 5.4.3 – Critério de Tsai-Hill No critério de Tsai-Hill, o critério de Hill analisado para o estado plano de tensão é simplificado fazendo-se Z = Y. 1 SXYX 2 12 12 2 21 2 2 2 1 =      τ +      σσ−      σ+      σ (5.27) Critérios de ruptura 68 5.4.4 – Critério de Hoffman No critério de Hoffman é levado em consideração a diferença do comportamento em tração e em compressão. Este critério admite que a ruptura acontece quando a igualdade é verificada: ( ) ( ) ( ) 1CCCCC CCCC 2 319 2 238 2 1273625 14 2 133 2 322 2 211 =τ+τ+τ+σ+σ+ σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.28) Observe que a diferença do critério de Hoffman para o critério de Hill está na adição dos termos relativos aos parâmetros C4, C5, C6. As constantes Ci são determinadas a partir de ensaios experimentais para a obtenção das tensões de ruptura em tração e em compressão. 2 31 9 2 23 8 2 12 7 ct 6 ct 5 ct 4 ctctct 3 ctctct 2 ctctct 1 S 1C S 1C S 1C Z 1 Z 1C Y 1 Y 1C X 1 X 1C ZZ 1 YY 1 XX 1 2 1C YY 1 XX 1 ZZ 1 2 1C XX 1 ZZ 1 YY 1 2 1C = = = −= −= −=       −+=       −+=       −+= (5.29) Considerando somente o estado plano de tensão, o critério de Hoffman se põe da seguinte maneira: Curso de projeto estrutural com materiais compostos 71 (3.23). Para o ponto à z = 1,5 mm e z = 1,0 mm, ou para o ponto à z = -1,5 mm e z = - 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é o mesmo, já que as curvaturas são nulas:           + +−− +−           =           τ σ σ 00x5,10,0 0,0x5,102e849,0 0,0x5,101e109,0 10 0,200 055,594,1 094,17,76 3 xy y x (5.35) Logo: MPa 0 65,25 56,819 12 2 1 xy y x           −=           τ σ σ =           τ σ σ (5.36) Pelo critério de máxima tensão, temos: OK118,0 140 65,25 Y OK159,0 1380 56,819 X c 2 t 1 <= − − = σ <== σ Pelo critério de Tsai-Hill, temos: OK140,0 55 0 1380 )65,25.(56,819 140 65,25 1380 56,819 2 2 22 <=     +      −−      − − +      Para o ponto à z = 1,0 mm e para z = 0,5 mm, ou para o ponto à z = -1,5 mm e para z = - 0,5 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão também é o mesmo, já que as curvaturas são nulas:           + +−− +−           =           τ σ σ 0,0x0,10,0 0,0x0,102e849,0 0,0x0,101e109,0 10 6,198,178,17 8,175,235,19 8,175,195,23 3 xy y x (5.37) O que resulta: Critérios de ruptura 72 MPa 898,42 035,13 595,90 xy y x           =           τ σ σ (5.38) Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que 2 245cos = e 2 245sen = , temos:           τ σ σ           − −=           12 2 1 022 422 422 4 1 898,42 035,13 595,90 (5.39) Logo: MPa 78,38 713,94 917,8 898,42 035,13 595,90 011 211 211 2 1 12 2 1           =                     − − =           τ σ σ (5.40) Pelo critério de máxima tensão, temos: OK171,0 55 78,38 S S FALHA138,3 28 713,94 Y OK1006,0 1380 917,8 X 12 c 2 t 1 <== >== σ <== σ Pelo critério de Tsai-Hill, temos: FALHA194,11 55 78,38 1380 713,94.917,8 28 713,94 1380 917,8 2 2 22 >=     +     −     +      Para o ponto à z = 0,5 mm ou para o ponto à z = - 0,5 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão também é o mesmo: Curso de projeto estrutural com materiais compostos 73           + +−− +−           −− − − =           τ σ σ 0,0x0,10,0 0,0x0,102e849,0 0,0x0,101e109,0 10 6,198,178,17 8,175,235,19 8,175,195,23 3 xy y x (5.41) O que resulta: MPa 898,42 035,13 595,90 xy y x           − =           τ σ σ (5.42) Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que 2 2)45cos( =− e 2 2)45sen( −=− , temos:           τ σ σ           − − =           − 12 2 1 022 422 422 4 1 898,42 035,13 595,90 (5.43) Logo: MPa 78,38 713,94 917,8 898,42 035,13 595,90 011 211 211 2 1 12 2 1           − =           −          − −=           τ σ σ (5.44) Pelo critério de máxima tensão, temos: OK171,0 55 78,38 S S FALHA138,3 28 713,94 Y OK1006,0 1380 917,8 X 12 c 2 t 1 <= − − = >== σ <== σ Pelo critério de Tsai-Hill, temos: Critérios de ruptura 76 MPa 032,12 516,7 476,32 xy y x           − − − =           τ σ σ (5.49) Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que 2 245cos = e 2 245sen = , temos:           τ σ σ           − −=           − − − 12 2 1 022 422 422 4 1 032,12 516,7 476,32 (5.50) Logo: MPa 48,12 028,32 964,7 032,12 516,7 476,32 011 211 211 2 1 12 2 1           − − − =           − − −           − − =           τ σ σ (5.51) Pelo critério de Tsai-Hill, temos: OK110,0 55 48,12 280 )028,32.(964,7 140 028,32 280 964,7 2 2 22 <=      − − +      −−−      − − +      − − Pelo critério de Hoffman: FALHA120,1 55 48,12028,32 )140.(28 28140 964,7 )280.(1380 1380280 )280.(1380 028,32.964,7 )140.(28 )028,32( )280.(1380 )964,7( 2 22 >=     + − −− + − −− + − − − − + − − Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos: Curso de projeto estrutural com materiais compostos 77 FALHA120,1 55 48,12028,32 )140.(28 28140 964,7 )280.(1380 1380280 )280.(1380 028,32.964,7 )140.(28 028,32 )280.(1380 964,7 2 22 >=     + − −− + − −− + − − − + − Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:           −+ −+ −−+           −− − − =           τ σ σ 3e930,0x5,00,0 2e227,0x5,00,0 2e397,0x5,00,0 10 6,198,178,17 8,175,235,19 8,175,195,23 3 xy y x (5.52) O que resulta: MPa 244,24 312,20 792,32 xy y x           − − =           τ σ σ (5.53) Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que 2 2)45cos( =− e 2 2)45sen( −=− , temos:           τ σ σ           − − =           − − 12 2 1 022 422 422 4 1 244,24 312,20 792,32 (5.54) Logo: MPa 24,6 796,50 303,2 244,24 312,20 792,32 011 211 211 2 1 12 2 1           − − =           − −           − −=           τ σ σ (5.55) Pelo critério de Tsai-Hill, temos: Critérios de ruptura 78 OK114,0 55 24,6 )280( )796,50).(303,2( 140 796,50 280 303,2 2 2 22 >=     +      − −− −      − − +      − − Pelo critério de Hoffman: FALHA119,2 55 24,6)796,50( )140.(28 28140 )303,2( )280.(1380 1380280 )280.(1380 )796,50).(303,2( )140.(28 )796,50( )280.(1380 )303,2( 2 22 −>−=     +− − −− +− − −− + − −− − − − + − − Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos: FALHA118,2 55 24,6)796,50( )140.(28 28140 )303,2( )280.(1380 1380280 )280.(1380 )796,50).(303,2(2 )140.(28 )796,50( )280.(1380 )303,2( 2 22 −>−=     +− − −− +− − −− + − −− − − − + − − 5.4 – Método de degradação Os métodos de degradação aplicados à estruturas laminadas são métodos iterativos de avaliação de falha em lâminas, que consistem em alterar as propriedades mecânicas de lâminas rompidas segundo o modo de falha identificado, de forma a melhor avaliar o processo de ruptura da estrutura. Os modos de falha de uma lâmina podem ser: trinca da matriz, ruptura da fibra, delaminação, etc. São inúmeros os métodos de degradação utilizados para alterar as propriedades mecânicas de lâminas rompidas. Um dos métodos mais simples considera que, na falha por trinca da matriz, as propriedades E2, E3, ν12, ν13, ν23, G12, G13 e G23 são anuladas, E1 permanecendo inalterado. Na falha por ruptura da fibra, as propriedades E1, ν12, ν13, G12 e G13 são anuladas, enquanto E2, E3, ν23 e G23 permanecem inalteradas. Na falha por delaminação, as propriedades G13 e G23 são anuladas, enquanto que as restantes permanecem inalteradas. Curso de projeto estrutural com materiais compostos 81 Pelo critério de máxima tensão, temos: FALHA117,1 28 74,32 Y OK104,0 280 60,10 X c 2 t 1 <== σ <= − − = σ Considerando que o modo de falha das lâminas à 90° é do tipo trinca da matriz, as propriedades mecânicas somente destas lâminas serão alteradas da seguinte forma: E2 = 0, ν12 = 0 e G12 = 0. Logo a matriz constitutiva para estas lâminas é agora da forma: [ ] MPa10 000 07,760 000 Q 3900           = (5.63) A matriz de comportamento para o laminado considerado degradado é da forma: 3 xy y x 0 xy 0 x 0 x xy y x xy y x 10 17,100000 020,4513,1000 013,174,44000 00000,200 000025,8294,1 000094,17,76 0M 0M 0M 0N 0N 500N                     κ κ κ γ ε ε                     =                     = = = = = = (5.64) Resolvendo o novo sistema de equações dado pela eq. (5.64), as novas deformações e as curvaturas são: ε0x = 6,5e-03, ε0y =-1,5e-04 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0 Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:           + +−− +−           =           τ σ σ 0,0x0,10,0 0,0x0,104e5,1 0,0x0,103e5,6 10 0,200 055,594,1 094,17,76 3 xy y x (5.65) Critérios de ruptura 82 Logo: MPa 0 78,11 26,498 xy y x 12 2 1           =           τ σ σ =           τ σ σ (5.66) Pelo critério de máxima tensão, temos: OK142,0 28 78,11 Y OK136,0 1380 26,498 X c 2 t 1 <== σ <== σ Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à 90°, o estado de tensão é:           + +−− +−           =           τ σ σ 0,0x0,10,0 0,0x0,104e5,1 0,0x0,103e5,6 10 000 07,760 000 3 xy y x (5.67) O que resulta: MPa 0 51,11 0 xy y x           −=           τ σ σ (5.68) Logo: MPa 0 0 51,11 xy x y 12 2 1          − =           τ σ σ =           τ σ σ (5.69) Pelo critério de máxima tensão, temos: FALHAHAVIDOTINHAJA OK104,0 280 51,11 X 2 t 1 ==>σ <= − − = σ Curso de projeto estrutural com materiais compostos 83 Conclusão: Como não houve mais nenhuma falha, o laminado suportaria o carregamento mesmo havendo ruptura em uma das lâminas. Exemplo 5.3 – Considere um laminado simétrico (0°/45°/-45°)S em kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Aplique um método de degradação para verificar se haverá se todo o laminado se romperá quando submetido a um carregamento W = 20 kN/m2. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, XT = 1380 MPa, XC = -280 MPa, YT = 28 MPa, YC = -280 MPa e S = 55 MPa. Considerando que o carregamento W pode ser substituído por uma força distribuída em x = 250 mm de intensidade 10 kN/m, as reações nos apoios são iguais e de intensidade 5 kN/m. Assim, o momento máximo situado em x = 250 mm, pode ser obtido da forma: x y z W = 20 kN/m2 500 mm 100 mm x yz Mx 250 mm 100 mm 5 kN/m Critérios de ruptura 86 OK171,0 55 78,38 S S FALHA138,3 28 713,94 Y OK1006,0 1380 917,8 X 12 c 2 t 1 <= − − = >== σ <== σ Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:           −+ −+ −−+           −− − − =           τ σ σ 3e930,0x5,00,0 2e227,0x5,00,0 2e397,0x5,00,0 10 6,198,178,17 8,175,235,19 8,175,195,23 3 xy y x (5.77) O que resulta: MPa 244,24 312,20 792,32 xy y x           − − =           τ σ σ (5.78) Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que 2 2)45cos( =− e 2 2)45sen( −=− , temos:           τ σ σ           − − =           − − 12 2 1 022 422 422 4 1 244,24 312,20 792,32 (5.79) Logo: MPa 24,6 796,50 303,2 244,24 312,20 792,32 011 211 211 2 1 12 2 1           − − =           − −           − −=           τ σ σ (5.80) Pelo critério de máxima tensão, temos: Curso de projeto estrutural com materiais compostos 87 OK171,0 55 78,38 S S FALHA138,3 28 713,94 Y OK1006,0 1380 917,8 X 12 c 2 t 1 <= − − = >== σ <== σ Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 88 6 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO AOS MATERIAIS COMPOSTOS TEORIA DE PRIMEIRA ORDEM: A Teoria de Primeira Ordem considera que as seções que eram planas antes de aplicar o carregamento, permanecem planas após aplicar o carregamento, mas não perpendiculares à superfície neutra. Esta hipótese considera portanto que o cisalhamento transverso é não nulo, γxz ≠ 0 e γyz ≠ 0. Seja então uma placa laminada carregada no plano (x,z), onde x ww x´ ∂ ∂ = , Figura 6.1. Figura 6.1 – Hipóteses de deslocamento da Teoria de Primeira Ordem 6.1 – Campo de deslocamentos O deslocamento de um ponto genérico distante z da superfície neutra é dado da forma: x z u0 w0 α w´x w´x γxz Curso de projeto estrutural com materiais compostos 91 Substituindo a eq. (6.10) na eq. (6.5), e considerando que as deformações cisalhantes são constantes ao longo da espessura, temos: k k 1 kzn y yz44 45 k 1 54 55x xzz Q Q Q dz Q QQ −= γ     =     γ     ∑ ∫ (6.11) kn y yz44 45 k 54 55k 1x xz Q Q Q h Q QQ = γ     =     γ     ∑ (6.12) y yz44 45 54 55x xz Q F F F FQ γ     =     γ     (6.13) A equação de comportamento que inclui o efeito do cisalhamento transverso é portanto da forma : 11 12 16 11 21 61x 21 22 26 21 22 26y 61 62 66 61 62 66xy 11 12 16 11 12 16x 21 22 26 21 22 26y 61 62 66 61 62 66xy 44 45y 54 55x A A A B B B 0 0N A A A B B B 0 0N A A A B B B 0 0N B B B D D D 0 0M B B B D D D 0 0M B B B D D D 0 0M 0 0 0 0 0 0 F FQ 0 0 0 0 0 0 F FQ             =              0 x tx 0 y ty 0 xy txy x tx y ty xy txy yz xz N N N M M M 0 0   ε      ε       γ     κ    −    κ       κ     γ        γ      (6.14) É importante lembrar que as tensões de cisalhamento transverso são constantes e descontínuas quando obtidas da forma: k k yz yz44 45 54 55xz xz Q Q Q Q τ γ       =    τ γ        (6.15) Para corrigir esta falha da Teoria de Primeira Ordem, as tensões de cisalhamento transverso são multiplicadas por um fator de correção kc, obtido através da equivalência da energia de deformação exata, na qual a distribuição é parabólica ao Método dos Elementos Finitos aplicado aos materiais compostos 92 longo da espessura, com a energia de deformação obtida com esta teoria. Assim, a eq. (6.15) se coloca da forma: k k yz yz44 45 c 54 55xz xz Q Q k Q Q τ γ     =    τ γ     (6.16) 6.2 – Energia de deformação elementar A energia de deformação em um elemento infinitesimal pode ser colocada da forma: t tx x yz yz e y y xz xzV V xy xy 1 1U dV dV 2 2    ε σ γ τ          = ε σ +        γ τ         γ τ    ∫ ∫ (6.17) onde, a primeira integral corresponde a energia devido ao estado plano de tensão e a segunda corresponde a energia devido ao cisalhamento transverso. Substituindo as deformações obtidas anteriormente, temos: t0 h hx x tx2 2 yz yz0 e y y y h h xz xzA A02 2xyxy xy z 1 1U z dz dx dy dz dx dy 2 2 z− −    ε + κ σ  γ τ          = ε + κ σ +        γ τ         τγ + κ     ∫ ∫ ∫ ∫ (6.18) Desenvolvendo a expressão acima temos: t t0 h hx x x x2 2 0 e y y y y h hA A02 2xy xy xyxy h t2 yz yz h xz xzA 2 1 1U dz dx dy z dz dx dy 2 2 1 dz dx dy 2 − − −        ε σ κ σ        = ε σ + κ σ +               τ κ τγ         γ τ           γ τ       ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (6.19) Sabe-se que: Curso de projeto estrutural com materiais compostos 93 dz N N N 2h 2 h xy y x xy y x ∫ −           τ σ σ =           , dzz M M M 2h 2 h xy y x xy y x ∫ −           τ σ σ =           e h / 2 y yz x xzh / 2 Q dz Q − τ      =    τ       ∫ (6.20) Logo: t t0 x tx x x yz y0 e y y y y xz xA A A0 xy xy xyxy N M Q1 1 1U N dx dy M dx dy dx dy 2 2 2 Q N M        ε κ  γ              = ε + κ +            γ             κγ         ∫ ∫ ∫ (6.21) Reagrupando a eq. (6.21): t0 x x 0 yy 0 xyxy xx e yA y xyxy yyz xxz N N N M1U dx dyM2 M Q Q  ε      ε       γ          κ=     κ       κ       γ         γ  ∫ (6.22) Sabe-se que, desconsiderando os efeitos térmicos: 0 xx 0 y y 0xy xy x x y y xy xy y yz x xz N N N A B 0M B D 0M 0 0 F M Q Q  ε     ε      γ          κ =     κ        κ       γ          γ  (6.23) Substituindo a eq. (6.23) na eq. (6.22), tem-se finalmente: